বহুবিধ-সময় কঠোরতার ফলাফলগুলি দেখাতে যে সমস্যাগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে

Question

যখন কোনও নতুন সমস্যার জন্য অ্যালগরিদম ডিজাইন করার সময়, আমি যদি কিছুক্ষণ পরে বহু-কালীন অ্যালগরিদম না পাই, তবে আমি এটি পরিবর্তে এনপি-হার্ড প্রমাণ করার চেষ্টা করতে পারি। আমি যদি সফল হয় তবে আমি ব্যাখ্যা করেছি যে কেন আমি বহুবর্ষের সময় অ্যালগরিদম খুঁজে পাই না। আমি জানি না যে আমি পি! = এনপি নিশ্চিতভাবেই জানি, বর্তমান জ্ঞানের সাহায্যে এটিই সবচেয়ে ভাল, এবং প্রকৃতপক্ষে theকমত্য যে পি! = এনপি।

একইভাবে, বলুন যে আমি কিছু সমস্যার জন্য একটি বহু-সময় সমাধান পেয়েছি, তবে চলমান সময় হ'ল । অনেক চেষ্টা করার পরেও আমি এর উন্নতিতে কোন অগ্রগতি করি না। সুতরাং পরিবর্তে, আমি এটির পরিবর্তে 3SUM-হার্ড প্রমাণ করার চেষ্টা করতে পারি। এটি সাধারণত আমার সন্তুষ্ট বিশ্বাসের কারণে নয় যে 3 এসএমের জন্য সত্যই সময় প্রয়োজন হয় না, তবে এটি শিল্পের বর্তমান অবস্থা, এবং প্রচুর স্মার্ট লোক উন্নতির চেষ্টা করেছে এটা, এবং ব্যর্থ হয়েছে। সুতরাং এটি আমার সবচেয়ে বেশি দোষ নয় যে আমি এটি করতে পারি সেরা।Θ ( এন 2$O(n^2)$$\Theta(n^2)$

এই জাতীয় ক্ষেত্রে, আমরা সবচেয়ে ভাল যা করতে পারি তা হ'ল একটি দৃ result়তার ফলস্বরূপ, একটি আসল নিম্ন বাউন্ডের পরিবর্তে, যেহেতু এনপিতে সমস্যাগুলির জন্য আমাদের কাছে টুরিং মেশিনগুলির জন্য কোনও সুপার-লিনিয়ার নিম্নতর সীমা নেই।

সমস্যাগুলির একটি অভিন্ন সেট রয়েছে যা সমস্ত বহুপদী সময় চলার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে? উদাহরণস্বরূপ, যদি আমি প্রমাণ করতে চাই যে এটির কোনও সম্ভাবনা চেয়ে ভাল একটি অ্যালগোরিদম রয়েছে তবে এটির ক্ষেত্রে X এর মতো কিছু সমস্যা আছে যা আমি এটি এক্স-হার্ড দেখিয়ে এটি ছেড়ে দিতে পারি?$O(n^7)$

আপডেট : এই প্রশ্নটি মূলত সমস্যার পরিবারগুলির জন্য জিজ্ঞাসা করেছিল। যেহেতু সমস্যাগুলির অনেকগুলি পরিবার নেই, এবং এই প্রশ্নটি ইতিমধ্যে স্বতন্ত্র হার্ড সমস্যার চমৎকার উদাহরণ পেয়েছে, তাই আমি বহুবর্ষীয় কঠোরতার ফলাফলের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে এমন কোনও সমস্যার জন্য প্রশ্নটি শিথিল করছি। আরও উত্তর উত্সাহিত করতে আমি এই প্রশ্নে একটি অনুগ্রহ যুক্ত করছি।

Comments

পৃষ্ঠা maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P11.html 3SUM এর নিম্ন (এবং উপরের) সীমা এবং সম্পর্কিত সমস্যাগুলি সম্পর্কে কিছু ফলাফলের সংক্ষিপ্তসার জানিয়েছে এবং এটি পড়ার মতো।

— Tsuyoshi Ito

কম-বেশি দুটি টেপযুক্ত টিএমের জন্য সুপার-লিনিয়ার নিম্ন সীমানার অনুপস্থিতি, তাই না? আমার কোথাও পড়ার কথা মনে আছে যে একটি একক-টেপ টিএম-তে প্যালিনড্রোমের জন্য চেক করার সাথে চতুষ্কোণ-সময় নীচু থাকে। আমরা যখন নিম্ন সীমা সম্পর্কে কথা বলতে মধ্যে ধরনের, Ω ( ঢ আমি ) বনাম Ω ( ঢ আমি + + 1 ) , এটা এখনও ঠিক আছে যে টি এম সঠিক মডেল না ব্যাপার অনেক অনুমান করা হয়? $P$$\Omega(n^i)$$\Omega(n^{i+1})$

— gphilip

বন্ধ বিষয়: রবিন, স্যুওশি, নিম্ন সীমানার 3SUM পরিবারকে পরিচয় করিয়ে দেওয়ার জন্য ধন্যবাদ: আমি এর আগে কখনও শুনিনি।

— gphilip

@ শুয়োশি: তথ্যের জন্য ধন্যবাদ। এটি বিষয়টির উপর একটি দুর্দান্ত সমীক্ষা: cs.mcgill.ca/~jking/papers/3sumhard.pdf । @ জিফিলিপ: সম্প্রতি কিছু কম্পিউটারের জ্যামোমিটারের দ্বারা এই সমস্যাটির সাথে আমার পরিচয় হয়েছিল। আমার ধারণা এটি সেই অঞ্চলে খুব পরিচিত।

— রবিন কোঠারি

দুর্দান্ত প্রশ্ন। আপনি "ইউনিফর্ম" বলতে কী বোঝাতে চেয়েছিলেন তা কি আপনি পরিষ্কার করতে পারেন: আপনি কি প্যারামিটারের প্রিপ্রোসেসিংয়ের পরিমাণকে আবদ্ধ করতে চান?

— আন্দ্রেস সালামন

Answer 1

হ্যাঁ, সুমের জন্য সর্বাধিক পরিচিত অ্যালগরিদম ও ( এন ⌈ কে / ২ ⌉ ) সময়ে চালিত হয় , সুতরাং এটি খুব সম্ভব যে আপনি কিছু এন 7 সমস্যা তর্ক করতে পারেন এটি খুব কঠিন, কারণ এটি যদি এন 6.99 এ থাকে তবে আপনি 14 টি সমাধান করতে পারেন - এসইএম দ্রুত।$k$$O(n^{\lceil k/2 \rceil})$$n^7$$n^{6.99}$$14$

মনে রাখবেন যে সুম সমস্যাটি "সহজ" হয়ে ওঠে যেমন কে বৃদ্ধি পায়: কে- সুমের জন্য একটি উন্নত অ্যালগরিদম দেওয়া ভাল, 2 কে- সুমের জন্য একটি উন্নত অ্যালগরিদম পাওয়া মোটামুটি সহজ : সমস্ত ও ( এন 2 ) জোড়া সংখ্যক আপনার এন নিন 2 কে- সুম উদাহরণ দেওয়া হয়েছে , প্রতিটি জোড়কে দুজনের যোগফলের সাথে প্রতিস্থাপন করে এবং 0 টি সমান সংখ্যার মধ্যে কে সংখ্যার যোগফল সন্ধান করুন । তারপরে, কে- এসএমএম এর জন্য একটি ও ( এন কে / 2 - ε ) অ্যালগরিদম একটি বোঝায়$k$$k$$k$$2k$$O(n^2)$$n$$2k$$k$$0$$O(n^{k/2-\varepsilon})$$k$2 কে -সুমেরজন্য অ্যালগরিদম। অন্য কোনও উপায়ে বলুন, ২ কে- সুমের জন্য একটি কড়া নিম্ন বাঁধাই কে- এসএমএম-এরজন্য শক্ত নিম্নতরগণ্ডিরচেয়ে শক্তিশালী অনুমান।$O(n^{k-2\varepsilon})$$2k$$2k$$k$

একটি কঠিন সমস্যার জন্য অন্য প্রার্থী হলেন ক্লিক। সে সম্পর্কে আরও জানতে আমার ও ( লগ এন ) -প্লিক উত্তরটি দেখুন । যদি আপনি (উদাহরণস্বরূপ) দেখাতে পারেন যে আপনার সমস্যার জন্য আরও ভাল অ্যালগরিদমটি 3- ক্লিকের জন্য একটি O ( n 2 ) অ্যালগরিদমকে বোঝায়, তবে আপনার অ্যালগরিদমের উন্নতি করার জন্য একটি সুপার-ব্রেকথ্রু প্রয়োজন হবে। প্যারামিটারাইজড জটিলতা অন্যান্য সমস্যার অনেক উদাহরণ দেয়: কে- ক্লিক W \ [ 1 \] শ্রেণীর পক্ষে শক্ত , এবং K -SUM W \ [ 2 \] এর পক্ষে শক্ত ।$k$$O(\log n)$$O(n^2)$$3$$k$$W\[1\]$$k$$W\[2\]$

আমাকে আপনার সতর্ক করছে যে এর সাথে কাজ করা যদিও এই মত সমস্যার খুব সুবিধাজনক হয় যাক, মত সমস্যার -SUM হয় না "কঠিন" এ মধ্যে টি আমি এম ই [ এন 2 ] , যেমন, এটা খুব অসম্ভাব্য যে প্রতিটি সমস্যা টি আমি এম ই [ এন 2 ] আসলে রৈখিক-সময় হ্রাস করে 3 -SUM করা যেতে পারে। এর কারণ 3 -SUM লিনিয়ার সময়ে ননডেটেরিনিজমের ও ( লগ এন ) বিটের সাহায্যে সমাধান করা যায় , সুতরাং যদি চতুর্ভুজ সময়ে সমস্ত কিছু 3 -SUM-এ কমিয়ে দেওয়া যায়, তবে$3$$TIME[n^2]$$TIME[n^2]$$3$$3$$O(\log n)$$3$ এবং অন্যান্য চমত্কার ফলাফল ফলাফল। এইবিষয়টিতে আরওনিবন্ধে পাওয়া যাবে" এন 2- সমস্যাগুলিকতটা কঠিন?" (এক পর্যায়ে, "3SUM-হার্ড" বলা হত " এন 2 -হার্ড"; এই স্বাক্ষর নিবন্ধটি সঠিকভাবে সেই নামটির জন্য অভিযোগ করেছিল।)$P \neq NP$$n^2$$n^2$

Comments

কে-চক্র ব্যবহার করে আমার কেবল সমস্যাটি হ'ল 3- চক্রটি দ্রবণযোগ্য । যদি কেস- চক্রটিকে Θ ( n কে ) প্রয়োজন বলে মনে হয় তবে এটি ব্যবহারের জন্য একটি দুর্দান্ত প্রাকৃতিক পরিবার হবে। $O(n^2.376)$$\Theta(n^k)$

— রবিন কোঠারি

আমি সুম এবং কে- ক্লিক ব্যবহারের মধ্যে একটি মৌলিক পার্থক্য দেখতে পাচ্ছি না । এমনকি কে-এর জন্য কে- সুম ও ( এন কে / 2 ) এ রয়েছে । যদি আপনি এটি দেখাতে পারেন যে আপনার সমস্যার জন্য আরও ভাল অ্যালগরিদম থেকে বোঝা যায় যে কে- ক্লিকটি ও ( এন কে / 2 ) এ রয়েছে তবে এটি দৃ strong় প্রমাণ যে আপনার সমস্যার জন্য আরও ভাল অ্যালগরিদম খুঁজে পাওয়া বেশ শক্ত হবে। $k$$k$$k$$O(n^{k/2})$$k$$k$$O(n^{k/2})$

— রায়ান উইলিয়ামস

ঝরঝরে রেফারেন্স, রায়ান। জ্যামিতি সম্প্রদায়ের 3SUM কতটা জনপ্রিয় তা দেওয়া সম্পর্কে আমি লজ্জা পেয়েছি যে এর আগে আমি এটি সম্পর্কে জানতাম না। অবশ্যই এই প্রশ্নটি শুরু করে: শক্ত হওয়ার জন্য কোনও প্রাকৃতিক প্রার্থী আছে কি? $n^2$

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ রায়ান: আপনি ঠিক বলেছেন, তারা একই রকম। যদিও, কে-সুম সহ, কমপক্ষে আমাদের কাছে দুর্বল মডেলগুলিতে প্রমাণ রয়েছে যে অনুমান করা আবদ্ধটি সঠিক। আমি এমন কোনও যুক্তি জানি না যা 3-চক্রের প্রস্তাব ম্যাট্রিক্স গুণণের চেয়ে দ্রুত দ্রবণযোগ্য হওয়া উচিত নয়।

— রবিন কোঠারি

@ রবিন: আমি ভাবতাম যে কোনও প্রাকৃতিক পরিবার সম্ভাব্য নীচের সীমানা, এফ ( কে ) = Θ ( কে ) এর জন্য , একটি ভাল উত্তর হতে পারে। সুনির্দিষ্ট ধ্রুবক কম গুরুত্বপূর্ণ বলে মনে হচ্ছে? $n^{f(k)}$$f(k) = \Theta(k)$

— আন্দ্রেস সালামন

Answer 2

অল-জোড়ের সংক্ষিপ্ত পথগুলি (এপিএসপি) সমস্যাটি সময় প্রয়োজন বলে মনে করা হয় । এটিকে হ্রাস করা যুক্তিযুক্ত হওয়ার একটি দুর্দান্ত উপায় যে ফাস্ট ম্যাট্রিক্স গুণ (এফএমএম) এর ভিত্তিতে উন্নতিগুলি অসম্ভব।$\Omega^\star(n^3)$

Comments

গ্রাফের ব্যাস কেমন? আরও ভাল, এটি একটি সিদ্ধান্তে সমস্যা করুন "ব্যাস কমপক্ষে কে?"। যতদূর আমি জানি, এর কোনও সুস্পষ্ট সুপারলাইনার আবদ্ধ থাকার সুবিধা নেই।

— রাফেল

Answer 3

এটি বিশ্বাস করা হয় যে হে ( এন ডি ) সময়ে চালিত ডাইমেনশনাল স্পেসে অ্যাফাইন ডিজেনারি সমস্যার জন্য সেরা অ্যালগরিদম । সমস্যাটি নিম্নরূপ: পূর্ণসংখ্যা স্থানাঙ্কের সাথে ডি- মাত্রিক স্থানগুলিতে n পয়েন্ট দেওয়া , কোনও ডি + 1 পয়েন্টগুলি কোনও সাধারণ হাইপারপ্লেনের সাথে থাকে?$d$$O(n^d)$$n$$d$$d+1$

অ্যাফাইন অবক্ষয়জনিত সমস্যাটি -সুম শক্ত। আমরা প্লাগ নিম্ন জন্য আবদ্ধ অনুমিত তাহলে ট -SUM, আমরা একটি নিম্ন বাউন্ড প্রাপ্ত Ω ( ঢ ⌊ ঘ / 2 ⌋ + + 1 ) । অ্যাফাইন অবক্ষয়জনিত সমস্যার জটিলতার জন্য অনুমান ড ≥ 3 এর জন্য অনেক বেশি শক্তিশালী ।$(d+1)$$k$$\Omega(n^{\lfloor d/2 \rfloor +1})$$d \geq 3$

জে। এরিকসন, এস হার-প্লেড এবং ডিএম মাউন্ট, দ্য লাস্ট মেডিয়ান স্কোয়ার প্রব্লেম, ডিস্ক্রিট অ্যান্ড কম্পিউটেশনাল জ্যামিতি, ৩,, ৫৯৩-60০7, 2006. http://www.cs.umd.edu/~mount/Papers /dcg06-lms.pdf

জে ইরিকসন এবং আর সিডেল। একটি ffi ne এবং গোলাকার অবক্ষয় সনাক্তকরণে আরও নিম্ন সীমা s স্বতন্ত্র কম্পিউটার জিম।, 13: 41–57, 1995. http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/degen.html

জে ইরিকসন। বিজোড় আকারে উত্তল হলের সমস্যার জন্য নতুন নিম্ন সীমা। সিয়াম জে.কম্পুট।, 28: 1198–1214, 1999. http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/convex.html

Comments

আমি এই উত্তরটি পছন্দ করি তবে আপনি কি তা ব্যাখ্যা করতে পারেন? কেন বিশ্বাস করা হয়?

— অ্যারন স্টার্লিং

Answer 4

$\Theta(n^{4/3})$$n$$n$

Comments

এমন কোনও জ্যামিতিক সমস্যা আছে যা হপকক্রফ্টের সমস্যার হ্রাস করে?

— সুরেশ ভেঙ্কট

আমি এই উত্তরের জন্য অনুগ্রহটি পুরষ্কার করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি কারণ আমি এই সমস্যার আগে কখনও শুনিনি।

— রবিন কোঠারি