একটি জান্তা বিভক্ত করার দৃust়তা

Question

আমরা বলি যে একটি বুলিয়ান ফাংশন একটি জুন্টা যদি এর সর্বাধিক প্রভাবিত করে চলক থাকে।$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$k$$f$$k$

আসুন a জুন্তা হোক। দ্বারা এর ভেরিয়েবলগুলি চিহ্নিত করুন । ফিক্স স্পষ্টত, অস্তিত্ব আছে যেমন যে অন্তত রয়েছে এর প্রভাব ভেরিয়েবল ।$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$2k$$f$$x_1, x_2, \ldots, x_n$

$$S_1 = \left\{ x_1, x_2, \ldots, x_{\frac{n}{2}} \right\},\quad S_2 = \left\{ x_{\frac{n}{2} + 1}, x_{\frac{n}{2} + 2}, \ldots, x_n \right\}.$$ $S \in \{S_1, S_2\}$$S$$k$$f$

এখন দিন , এবং যে অনুমান হয় -far থেকে 2k -junta (অর্থাত, এক ভগ্নাংশ পরিবর্তন করতে হয়েছে অন্তত \ Epsilon এর মান চ যাতে এটা একটি করার জন্য 2k -junta)। আমরা কি উপরের বিবৃতিটির একটি "শক্তিশালী" সংস্করণ তৈরি করতে পারি? যে সেখানে একটি সার্বজনীন ধ্রুবক হয় গ , এবং একটি সেট এস \ এ \ {S_1, S_2 \} যেমন যে চ হয় অর্থাত \ frac {\ Epsilon} {গ} যে ফাংশন যা সর্বাধিক ধারণ করে থেকে -far ট মধ্যে প্রভাব ভেরিয়েবল এস ?$\epsilon > 0$$f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$\epsilon$$2k$$\epsilon$$f$$2k$$c$$S \in \{S_1, S_2\}$$f$$\frac{\epsilon}{c}$$k$$S$

দ্রষ্টব্য: প্রশ্নের মূল সূচনায় $c$ কে 2 হিসাবে স্থির করা হয়েছিল $2$। নীলের উদাহরণ দেখায় যে $c$ এই জাতীয় মান যথেষ্ট নয়। তবে সম্পত্তি পরীক্ষায় যেহেতু আমরা সাধারণত ধ্রুবকের সাথে খুব বেশি উদ্বিগ্ন নই, আমি শর্তটি কিছুটা শিথিল করেছি।

Comments

আপনি কি আপনার শর্তাদি পরিষ্কার করতে পারবেন? একটি ভেরিয়েবল "প্রভাবক" হয় যদি না চ এর মান সর্বদা ভেরিয়েবলের থেকে স্বতন্ত্র থাকে? " চ এর মান পরিবর্তন করা $f$" এর অর্থ কি কোনও নির্দিষ্ট এক্সের জন্য চ (এক্স) মানগুলির একটি পরিবর্তন করা হয় ? $f(x)$$x$

— নিল ইয়ং

অবশ্যই, ভেরিয়েবল প্রভাবিত করছে যদি এমন কোনও বিট স্ট্রিং যেমন , যেখানে তার তম স্থানাঙ্কের সাথে স্ট্রিং হয় । এর মান পরিবর্তন করার অর্থ এর সত্য সারণীতে পরিবর্তন করা। $x_i$$n$$y$$f(y) \neq f(y')$$y'$$y$$i$$f$

Answer 1

উত্তরটি হল হ্যাঁ". এর প্রমাণ হল দ্বন্দ্ব by

চিহ্নিত সুবিধার জন্য, আসুন আমরা প্রথম ভেরিয়েবলগুলি দ্বারা এবং দ্বিতীয় ভেরিয়েবলগুলি দ্বারা চিহ্নিত করতে পারি । ধরুন যে হল কোনও ফাংশন যা কেবল স্থানাঙ্কের উপর নির্ভর করে । টি-এর মাধ্যমে এর প্রভাবশালী স্থানাঙ্কগুলি । একইভাবে, যে অনুমান করা হয় একটি ফাংশন -close যা শুধুমাত্র উপর নির্ভর করে এর স্থানাঙ্ক । এর প্রভাবশালী স্থানাঙ্ককে টি দ্বারা । আমাদের তা প্রমাণ করা দরকার$n/2$$x$$n/2$$y$$f(x,y)$$\delta$$f_1(x,y)$$k$$x$$T_1$$f(x,y)$$\delta$$f_2(x,y)$$k$$y$$T_2$$f$ হল - জুনতা টিলডে ।$4\delta$$2k$$\tilde f(x,y)$

Let us বলে যে যদি এবং সমস্ত স্থানাঙ্ক একমত এবং এবং সমস্ত স্থানাঙ্ক একমত । আমরা প্রতিটি সমতুল্য ক্লাসের এলোমেলোভাবে প্রতিনিধি নির্বাচন করি। যাক এর বর্গ জন্য প্রতিনিধি হতে । হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন : $(x_1,y_1) \sim (x_2,y_2)$$x_1$$x_2$$T_1$$y_1$$y_2$$T_2$$(\bar x, \bar y)$$(x,y)$$\tilde f$

$$\tilde f(x,y) = f(\bar x, \bar y).$$

এটা সুস্পষ্ট যে টিল্ডে একটি জুন্তা (এটি কেবল ভেরিয়েবলের উপর নির্ভর করে । আমরা প্রমাণ করব যে দুরত্ব হল থেকে প্রত্যাশা করেন।$\tilde f$$2k$$T_1 \cup T_2)$$4\delta$$f$

আমরা প্রমাণ করতে চাই যে যেখানে এবং এলোমেলোভাবে একত্রে নির্বাচিত হয়। একটি র্যান্ডম ভেক্টর বিবেচনা করুন থেকে প্রাপ্ত সমস্ত বিট রেখে এবং এলোমেলোভাবে সমস্ত বিট নেই আলোকসম্পাতের , এবং একটি ভেক্টর একভাবে সংজ্ঞায়িত। দ্রষ্টব্য যে

$$\Pr_{\tilde f}(\Pr_{x,y}(\tilde f(x,y) \neq f(x,y))) = \Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y)) \leq 4\delta,$$ $x$$y$$\tilde x$$x$$T_1$$T_1$$\tilde y$ $$\Pr(\tilde f(x,y) \neq f(x,y)) = \Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y))= \Pr(f(\tilde x, \tilde y) \neq f(x,y)).$$

আমাদের কাছে,

$$\Pr(f(x,y) \neq f(\tilde x, y)) \leq \Pr(f(x,y) \neq f_1(x, y)) + \Pr(f_1(x,y) \neq f_1(\tilde x, y)) + \Pr(f_1(\tilde x,y) \neq f(\tilde x, y)) \leq \delta + 0 + \delta = 2\delta.$$

একইভাবে, । আমাদের কাছে Qed$\Pr(f(\tilde x,y) \neq f(\tilde x, \tilde y)) \leq 2\delta$

$$\Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y)) \leq 4\delta.$$

এই প্রমাণটিকে "ড্যারানডমাইজ করা" সহজ। প্রত্যেক যাক যদি সবচেয়ে এর সমানতা ক্লাসে , এবং , অন্যথায়।$(x,y)$$\tilde f(x,y) = 1$$f(x,y) = 1$$(x',y')$$(x,y)$$\tilde f(x,y) = 0$

Answer 2

সীমাবদ্ধতম ক্ষুদ্রতম হল ।$c$$c = \frac{1}{\sqrt 2 - 1} \approx 2.41$

লেমাস 1 এবং 2 দেখায় যে এই জন্য আবদ্ধ থাকে । লেমা 3 দেখায় যে এই সীমাটি শক্ত।$c$

(তুলনায়, জুরির মার্জিত সম্ভাব্য যুক্তিটি দেয় )$c=4$

যাক । লেমা 1 টি জন্য উপরের বাউন্ড দেয় ।$c=\frac{1}{\sqrt 2 - 1}$$k=0$

থিম 1: যদি হয় -near একটি ফাংশন কোনো ভেরিয়েবল প্রভাব ফেলেছে এবং হয় -near একটি ফাংশন কোন প্রভাব ভেরিয়েবল আছে , তারপর হয় -near একটি ধ্রুবক ফাংশন, যেখানে ।$f$$\epsilon_g$$g$$S_2$$f$$\epsilon_h$$h$$S_1$$f$$\epsilon$$\epsilon \le \frac{(\epsilon_g+\epsilon_h)/2}{c}$

প্রুফ। আসুন থেকে একটি ধ্রুবক ফাংশনের দূরত্ব হয় । মনে করুন যে দ্বন্দ্বের জন্য দাবি করা বৈষম্য পূরণ করে না। যাক এবং এবং লেখার , এবং যেমন , এবং , তাই স্বাধীন এবং স্বাধীন ।$\epsilon$$f$$\epsilon$$y=(x_1,x_2,\ldots,x_{n/2})$$z=(x_{n/2}+1,\ldots,x_n)$$f$$g$$h$$f(y,z)$$g(y,z)$$h(y,z)$$g(y,z)$$z$$h(y,z)$$y$

(আমি এটি সহায়ক ঠাহর খুঁজতে প্রান্তবিন্দু সেট সঙ্গে সম্পূর্ণ দ্বিপাক্ষিক গ্রাফ প্রান্ত-লেবেল হিসাবে এবং , যেখানে একটি প্রান্তবিন্দু-লেবেল দেয় , এবং দেয় একটি প্রান্তবিন্দু-লেবেল ।)$f$$\{y\}$$\{z\}$$g$$\{y\}$$h$$\{z\}$

কে এর ভগ্নাংশ হতে দিন যেমন । যাক জোড়া যেমন যে ভগ্নাংশ হতে । অনুরূপভাবে দিন যেমন যে যুগলের ভগ্নাংশ হতে , এবং দিন যুগলের ভগ্নাংশ হতে যেমন যে ।$g_0$$(y,z)$$g(y,z) = 0$$g_1=1-g_0$$g(y,z) = 1$$h_0$$h(y,z) = 0$$h_1$$h(y,z) = 1$

সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই, ধরে নিন যে, যে কোনও জোড় এটিও । (অন্যথায়, এর মান টগল করানোর আমাদের হ্রাস করার অনুমতি দেয় উভয় এবং দ্বারা , যখন কমছে দ্বারা সর্বাধিক , তাই ফলে ফাংশন এখনও একটি পাল্টা উদাহরণ।) বলুন যে এই জাতীয় কোনও জুটি agreement agreement চুক্তিতে '।$g(y,z) = h(y,z)$$f(y,z) = g(y,z) = h(y,z)$$f(y,z)$$\epsilon_g$$\epsilon_h$$1/2^n$$\epsilon$$1/2^n$

থেকে দূরত্ব করার প্লাস থেকে দূরত্ব করার ভগ্নাংশ হয় জোড়া সেই চুক্তির অংশ নয়। এটি হ'ল, ।$f$$g$$f$$h$$(x,y)$$\epsilon_g + \epsilon_h = g_0 h_1 + g_1 h_0$

থেকে অল-শূন্য ফাংশনের দূরত্ব সর্বাধিক ।$f$$1 - g_0 h_0$

ক্রিয়াকলাপের থেকে দূরত্ব সর্বাধিক ।$f$$1-g_1 h_1$

আরও, থেকে নিকটতম ধ্রুবক ফাংশনের দূরত্ব সর্বাধিক ।$f$$1/2$

সুতরাং, অনুপাত সর্বাধিক যেখানে এবং এবং ।$\epsilon/(\epsilon_g+\epsilon_h)$

$$\frac{\min(1/2, 1-g_0 h_0, 1-g_1 h_1)}{g_0 h_1 + g_1 h_0},$$ $g_0,h_0 \in [0,1]$$g_1 = 1-g_0$$h_1=1-h_0$

গণনা অনুসারে, এই অনুপাতটি সর্বাধিক । Qed$\frac{1}{2(\sqrt 2 - 1)} = c/2$

লেকমা 2 প্রভাবিত ভেরিয়েবলের প্রতিটি সম্ভাব্য সেটিংয়ের উপরে, পয়েন্টওয়াইজ যুক্তি দিয়ে লেম্মাকে 1 কে সাধারণ পর্যন্ত প্রসারিত করে । পুনরাহ্বান যে ।$k$$2k$$c=\frac{1}{\sqrt 2 - 1}$

লেমা 2: কোনও স্থির করুন । তাহলে হয় -near একটি ফাংশন আছে মধ্যে ভেরিয়েবল প্রভাব এবং হয় -near একটি ফাংশন আছে মধ্যে ভেরিয়েবল প্রভাব , তারপর হয় -near একটি ফাংশন আছে সর্বাধিক প্রভাব ভেরিয়েবল, যেখানে ।$k$$f$$\epsilon_g$$g$$k$$S_2$$f$$\epsilon_h$$h$$k$$S_1$$f$$\epsilon$$\hat f$$2k$$\epsilon \le \frac{(\epsilon_g+\epsilon_h)/2}{c}$

প্রুফ। এক্সপ্রেস যেমন যেখানে মধ্যে ভেরিয়েবল রয়েছে সঙ্গে যারা ধারণকারী যে প্রভাব , যখন মধ্যে ভেরিয়েবল রয়েছে সঙ্গে ঐ প্রভাব ধারণকারী । তাই স্বাধীন , এবং স্বাধীন ।$f$$f(a,y,b,z)$$(a,y)$$S_1$$a$$h$$(b,z)$$S_2$$b$$g$$g(a,y,b,z)$$z$$h(a,y,b,z)$$y$

প্রতিটি নির্দিষ্ট মান জন্য এবং , নির্ধারণ , এবং সংজ্ঞায়িত এবং একইভাবে থেকে ছ এবং জ যথাক্রমে। Ε g a b কে F a b থেকে G a b ( ( y , z ) জোড়ের মধ্যে সীমাবদ্ধ ) হতে দূরত্ব হওয়া যাক । অনুরূপভাবে দিন ε জ একটি খ থেকে দূরত্ব হতে এফ একটি খ থেকে এইচ একটি খ$a$$b$$F_{ab}(y,z) = f(a,y,b,z)$$G_{ab}$$H_{ab}$$g$$h$$\epsilon^g_{ab}$$F_{ab}$$G_{ab}$$(y,z)$$\epsilon^h_{ab}$$F_{ab}$$H_{ab}$।

দ্বারা থিম 1, সেখানে একটি ধ্রুবক বিদ্যমান গ একটি খ দূরত্ব (কল এটা যেমন যে ε একটি খ থেকে) এফ একটি খ ধ্রুবক ফাংশন গ একটি খ সর্বাধিক হয় ( ε জ একটি খ + + ε ছ একটি খ ) / ( 2 গ ) । নির্ধারণ চ ( একটি , Y , খ , z- র ) = গ একটি খ । $c_{ab}$$\epsilon_{ab}$$F_{ab}$$c_{ab}$$(\epsilon^h_{ab} + \epsilon^g_{ab})/(2c)$$\hat f(a,y,b,z) = c_{ab}$

স্পষ্টত চ শুধুমাত্র উপর নির্ভর করে একটি এবং খ (এবং এইভাবে সর্বাধিক ট ভেরিয়েবল)।$\hat f$$a$$b$$k$

যাক ε চ গড় হতে, ওভার ( একটি , খ ) জোড়া, এর ε একটি খ , 'গুলি তাই দূরত্ব থেকে চ করার চ হয় ε চ ।$\epsilon_{\hat f}$$(a,b)$$\epsilon_{ab}$$f$$\hat f$$\epsilon_{\hat f}$

অনুরূপভাবে, থেকে দূরত্বের চ করার ছ থেকে চ করার জ (যে, ε ছ এবং ε জ ) গড়, ওভার ( একটি , খ ) জোড়া, এর যথাক্রমে ε ছ একটি খ এবং ε জ একটি খ ।$f$$g$$f$$h$$\epsilon_g$$\epsilon_h)$$(a,b)$$\epsilon^g_{ab}$$\epsilon^h_{ab}$

যেহেতু ε একটি খ ≤ ( ε জ একটি খ + + ε ছ একটি খ ) / ( 2 গ ) সকলের জন্য একটি , খ , এটা যে ε চ ≤ ( ε ছ + + ε জ ) / ( 2 গ ) । Qed$\epsilon_{ab} \le (\epsilon^h_{ab} + \epsilon^g_{ab})/(2c)$$a, b$$\epsilon_{\hat f} \le (\epsilon_g + \epsilon_h)/(2c)$

লেমা 3 দেখায় যে উপরের ধ্রুবক সিটি আপনি আশা করতে পারেন সেরা (এমনকি কে = 0 এবং ϵ = 0.5 এর জন্যও )।$c$$k=0$$\epsilon=0.5$

থিম 3: বিদ্যমান চ যেমন যে চ হয় ( 0.5 / গ ) -near দুটি ফাংশন ছ এবং জ , যেখানে G কোন প্রভাব ভেরিয়েবল হয়েছে এস 2 এবং H কোন প্রভাব ভেরিয়েবল হয়েছে এস 1 এবং চ হয় 0.5 প্রত্যেক থেকে -far ধ্রুবক কার্য।$f$$f$$(0.5/c)$$g$$h$$g$$S_2$$h$$S_1$$f$$0.5$

প্রুফ। যাক Y এবং z- র করা এক্স সীমাবদ্ধ করা, যথাক্রমে S 1 এবং এস 2 । এটি, y = ( x 1 , … , x n / 2 ) এবং z = ( x n / 2 + 1 , … , x n ) ।$y$$z$$x$$S_1$$S_2$$y=(x_1,\ldots,x_{n/2})$$z=(x_{n/2+1},\ldots,x_n)$

প্রতিটি সম্ভাব্য ওয়াকে [ এন ] এর একটি অনন্য উপাদান দিয়ে সনাক্ত করুন , যেখানে এন = 2 এন / 2 । তেমনি, প্রতিটি সম্ভাব্য জেডকে [ এন ] এর একটি অনন্য উপাদান দিয়ে সনাক্ত করুন । সুতরাং, আমরা মনে চ থেকে একটি ফাংশন হিসাবে [ এন ] × [ এন ] থেকে { 0 , 1 } ।$y$$[N]$$N=2^{n/2}$$z$$[N]$$f$$[N]\times[N]$$\{0,1\}$

নির্ধারণ চ ( Y , z- র ) হতে 1 iff সর্বোচ্চ ( Y , z- র ) ≥ $f(y,z)$√2 এন।$\max(y,z) \ge \frac{1}{\sqrt 2}N$

গণনা দ্বারা, f এর মানগুলির ভগ্নাংশটি শূন্য ( $f$√2 )2=12 , সুতরাং উভয় ধ্রুবক ফাংশনের দূরত্ব$(\frac{1}{\sqrt 2})^2 = \frac{1}{2}$2 থেকেচ।$\frac{1}{2}$$f$

G ( y , z ) কে 1 iff y ≥ 1 হতে নির্ধারণ করুন$g(y,z)$√2 এন। তারপরছকোন ভেরিয়েবল প্রভাব ফেলেছেএস2। Fথেকেgএর দূরত্বহ'ল জোড়ার ভগ্নাংশ(y,z) যেমনy<$y\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$$g$$S_2$$f$$g$$(y,z)$√2 এনএবংজেড≥$y<\frac{1}{\sqrt 2}N$√2 এন। গণনা দ্বারা, এটি সর্বাধিক$z\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$$\frac{1}{\sqrt 2}(1-\frac{1}{\sqrt2}) = 0.5/c$

একইভাবে, চ থেকে h এর দূরত্ব যেখানে h ( y , z ) = 1 iff z ≥ $f$$h$$h(y,z)=1$√2 এন, সর্বাধিক0.5/সি হয়।$z\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$$0.5/c$

Qed

Comments

সবার আগে, ধন্যবাদ নিল! এটি প্রকৃতপক্ষে কে = 0 এর জন্য যোগফল দেয় এবং সাধারণ সমস্যার উপর কিছুটা আলোকপাত করে। তবে কে = 0 এর ক্ষেত্রে সমস্যাটি কিছুটা হ্রাসপ্রাপ্ত (যেমন 2 কে = কে ), তাই আমি কে ≥ 1 এর ক্ষেত্রে আরও কৌতূহলী । আমি কে > 0 এর জন্য এই দাবিটি বাড়ানোর ব্যবস্থা করতে পারি নি , সুতরাং এটি কীভাবে করবেন সে সম্পর্কে আপনার যদি ধারণা থাকে - আমি এটির প্রশংসা করব। যদি এটি সমস্যাটিকে সহজতর করে তোলে তবে সঠিক ধ্রুবকগুলি গুরুত্বপূর্ণ নয়; অর্থাৎ, ϵ / 2 -far ϵ / c দ্বারা প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে$k=0$$k=0$$2k=k$$k \ge 1$$k>0$$\epsilon/2$$\epsilon/c$-ফার, কিছু সর্বজনীন ধ্রুবক জন্য গ । $c$

সাধারণ কে-তে এক্সটেনশন যুক্ত করার জন্য আমি এটি সম্পাদনা করেছি। এবং নীচে ইউরিয়ের যুক্তি একটি মার্জিত সম্ভাব্য যুক্তিযুক্ত সাথে কিছুটা আলগা ফ্যাক্টর দেয়।

— নিল ইয়ং

আন্তরিক ধন্যবাদ নিল! এই যুক্তির রেখাটি বেশ আলোকিত।