পরামিতি ক্লিকের কঠোরতা?

Question

যাক $0\le p\le 1$ এবং সিদ্ধান্ত সমস্যা বিবেচনা

উপদল পি ইনপুট: পূর্ণসংখ্যা গুলি , গ্রাফ জি সঙ্গে টি ছেদচিহ্ন এবং প্রান্ত প্রশ্ন: কী অন্তত একটি উপদল ধারণ গুলি ছেদচিহ্ন?$_p$
$s$$G$$t$$\lceil p\binom{t}{2} \rceil$
$G$$s$

চক্রের একটি দৃষ্টান্ত $_p$ অনুপাতে রয়েছে $p$ সব সম্ভব প্রান্ত বাইরে। স্পষ্টত উপদল $_p$ কিছু মানের জন্য সহজ $p$ । উপদল $_0$ শুধুমাত্র সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন গ্রাফ রয়েছে এবং উপদল $_1$ সম্পূর্ণ গ্রাফ রয়েছে। উভয় ক্ষেত্রেই, উপদল $_p$ রৈখিক সময় সিদ্ধান্ত নিয়েছে করা যেতে পারে। অন্যদিকে, এর মানের জন্য $p$ পাসে $1/2$ , চক্রান্তকারী $_p$ উপদল নিজেই থেকে কমানো করে NP-কষ্টকর: মূলত তার সাথে অসংলগ্ন করা ইউনিয়ন নিতে যথেষ্ট Turan গ্রাফ $T(t,s-1)$ ।

আমার প্রশ্ন:

উপদল হয় $_p$ পারেন প্রতিটি মানের জন্য সম্পূর্ণ দ্বারা NP-PTIME বা $p$ ? নাকি এর মান $p$ , যার জন্য উপদল $_p$ অন্তর্বর্তী জটিলতা আছে (যদি পি ≠ দ্বারা NP)?

এই প্রশ্নটি হাইপারগ্রাফিক্স সম্পর্কিত সম্পর্কিত প্রশ্ন থেকে উত্থাপিত হয়েছিল, তবে এটি নিজস্বভাবে আকর্ষণীয় বলে মনে হয়।

Comments

মজার প্রশ্ন!

— সুরেশ ভেঙ্কট

Pa আসল সংখ্যাটি 0 এবং 1 এর মধ্যে, বা p টি এর ফাংশন হতে পারে?

— রবিন কোঠারি

@ রবিন: আমি নির্দিষ্ট করে নেই, দুটোই আকর্ষণীয় হবে।

— আন্দ্রেস সালামন

যদি প্রান্তের অনুপাতটি একটি উচ্চতর বাউন্ড হয় (এবং সঠিক গণনার প্রয়োজন বা নিম্ন সীমা নয়) তবে কোনও ধ্রুবক এই সমস্যাটি ক্লিকিউ থেকে হ্রাস দ্বারা এনপি-হার্ড হয়: বিচ্ছিন্ন উল্লম্বের পর্যাপ্ত পরিমাণে বড় সংযোজন যুক্ত করুন । সংখ্যার প্রান্তটি প্রদত্ত প্রকাশের সমান ? বা আমি কি স্পষ্টতই স্পষ্ট জিনিস মিস করছি? :-)$0<p<1$

— 0-10 এ গফিলিপ

@ জিফিলিপ: আপনি উল্লেখ করেছেন যে হ্রাস তাত্ক্ষণিকভাবে যদি অনুপাতটি কেবলমাত্র একটি উপরের বাউন্ড হয়; এই কারণেই প্রশ্নটি সঠিক অনুপাতের শর্তে চিহ্নিত করা হয়।

— আন্দ্রেস সালামন

Answer 1

আমি ধরে নিয়েছি যে সমস্যার সংজ্ঞা হিসাবে প্রশ্নটি সম্পর্কে gphilip এর মন্তব্যের বিপরীতে CLIQUE _p গ্রাফের প্রান্তের সংখ্যার সমান।$\left\lceil p \binom{t}{2} \right\rceil$

ক্লিকিউ _পি সমস্যাটি সাধারণ ক্লিক্যু সমস্যা থেকে হ্রাস করে কোনও যুক্তিযুক্ত ধ্রুবক 0 < পি <1 এর জন্য এনপি-সম্পূর্ণ । (ভাবনাটি হলো এই যে পি মূলদ শুধুমাত্র যাতে প্রয়োজন বোধ করা হয় থেকে নির্ণিত করা যেতে পারে এন সময় বহুপদী মধ্যে এন ।)$\lceil pN \rceil$

যাক ট ≥3 একটি পূর্ণসংখ্যা উভয় পরিতৃপ্ত হতে ট ² ≥1 / পি এবং (1-1 / ট ) (1-2 / ট )> P । গ্রাফ দেওয়া জি সঙ্গে এন ছেদচিহ্ন এবং মি একটি থ্রেশহোল্ড মান সহ প্রান্ত গুলি , হ্রাস হিসাবে অনুসরণ করে কাজ করে।

1. তাহলে গুলি < ট , আমরা সময় হে (ইন উপদল সমস্যা সমাধানের এন ^গুলি ) সময়। যদি অন্তত আকারের একটি উপদল হয় গুলি , আমরা একটি নির্দিষ্ট হ্যা-উদাহরণস্বরূপ উত্পাদন। অন্যথায়, আমরা একটি নির্দিষ্ট নো-ইনস্ট্যান্স উত্পাদন করি।
2. যদি এন < গুলি হয় তবে আমরা একটি স্থির নো-ইনস্ট্যান্স তৈরি করি।
3. যদি n ≥ s ≥ k হয় , আমরা G a ( k −1)-পার্টিটাইট গ্রাফ যুক্ত করব যেখানে প্রতিটি সেট n টি উল্লম্ব সমন্বয়ে থাকে যার ঠিক প্রান্ত এবং এই গ্রাফ উত্পাদন।$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m$

নোট যে ক্ষেত্রে 1 হে (নেয় এন ^{ট -1} ) সময়, যা বহুপদী হয় এন প্রত্যেক জন্য পি । কেস 3 সম্ভব কারণ কারণ যদি n ≥ s ≥ k হয় , তবে নন-নেগেটিভ এবং সম্পূর্ণ (ইন প্রান্ত অধিকাংশ সংখ্যা হয়ট-1) -partite গ্রাফ কে_{এন, ...,এন}নিম্নলিখিত দুটি দাবির মধ্যে দেখানো হয়েছে।$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m$

দাবী ঘ । ।$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m \ge 0$

প্রুফ । যেহেতু , আমরা যদিপি ( এনকে ) প্রমাণ করি তবে এটি যথেষ্ট$m \le \binom{n}{2}$ , বা সমানভাবেপিএনকে(এন কে−1) ≥এন(এন−1)। যেহেতুপি≥ 1 /ট², আমরাpnk(Nk-1) ≥এন(এন-1 /ট) ≥এন(এন-1)। Qed।$p \binom{nk}{2} \ge \binom{n}{2}$

দাবি 2 । । (দ্রষ্টব্য যে ডান দিকের দিকটি সম্পূর্ণ (কে − 1) প্রান্তের গ্রাফ কে_{এন,…,এন}এর প্রান্তের সংখ্যা)$\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m \lt n^2 \binom{k-1}{2}$

প্রুফ । যেহেতু এবং m ≥ 0, আমরা যদি পি ( এন কে) প্রমাণ করি তবে এটি যথেষ্ট$\lceil x \rceil \lt x+1$ , বা সমতুল্যএন²(কে−1) (কে−2) -পিএনকে(এন কে−1) - 2 ≥ 0. যেহেতুপি<(1−1 /কে) (1−2 /কে), আমাদের এন2(কে-1)(কে-2)-পিএনকে(এনকে-1)-2≥এন2(কে-1)(কে-$p \binom{nk}{2} + 1 \le n^2 \binom{k-1}{2}$

$$n^2(k-1)(k-2) - pnk(nk-1) - 2$$ = $$\ge n^2(k-1)(k-2) - n \left( n-\frac{1}{k} \right) (k-1)(k-2) - 2$$ কিউইডি। $$= \frac{n}{k} (k-1)(k-2) - 2 \ge (k-1)(k-2) - 2 \ge 0.$$

সম্পাদনা করুন : পুনর্বিবেচনা 1 হ্রাস একটি ত্রুটি ছিল; কখনও কখনও এটিতে নেতিবাচক সংখ্যার প্রান্তের একটি গ্রাফের প্রয়োজন হয় (যখন পি ছোট ছিল)। এই ত্রুটি এখন স্থির করা হয়েছে।

Comments

এটি নির্দিষ্ট বাক্যাংশের নিকটতম, সুতরাং এটি মোকাবেলার জন্য ধন্যবাদ। কেস 3 আমার মনে যা ছিল তার থেকে নিকটতম। তবে, আমি হিসাবটি অনুসরণ করি না - আপনি কি আরও কিছুটা প্রসারিত করতে পারেন?

— আন্দ্রেস সালামন

@ আন্দ্রেস সালামন: সম্পন্ন হয়েছে।

— Tsuyoshi Ito

Answer 2

$p$$t$$p$$\log^4 t$$s$$\log^2 t$$t^{\log^2 t}$

$\log^2 t$

$p$