যে কারণগুলির জন্য কোনও গ্রাফটি

Question

এই প্রশ্নের উপর কিছুটা যুক্তি দেওয়ার সময় , আমি গ্রাফ কে সমুদ্রের আকর্ষণীয় $G = (V_G,E_G)$হতে ব্যর্থ হতে পারে তার জন্য বিভিন্ন কারণগুলি সনাক্ত করার চেষ্টা করেছি । এগুলি কেবলমাত্র 2 টি কারণ যা আমি এখনও পর্যন্ত সনাক্ত করতে পেরেছি:$k$

1. কে + $G$ আকারের একটি চক্র রয়েছে। এটাই সুস্পষ্ট কারণ।$k+1$

2. একটি উপগ্রহ রয়েছে যাতে নিম্নলিখিত দুটি বিবৃতি সত্য:$H = (V_H, E_H)$$G$

   • $H$ নয় মেকী।$k-1$
   • x G H X $\exists x \in V_G - V_H\ \forall y \in V_H\ \{x,y\} \in E_G$ । অন্য কথায় অস্তিত্ব আছে একটি নোড মধ্যে কিন্তু না , যেমন যে প্রতিটি নোডের সাথে সংযুক্ত করা হয় ।$x$$G$$H$$x$$H$

আমরা নিয়ম হিসাবে উপরের দুটি কারণ দেখতে পারি। এগুলি পুনরাবৃত্তভাবে প্রয়োগ করে, নন- কলয়েটাল গ্রাফ তৈরির একমাত্র দুটি উপায় যা একটি ধারণ করে না$k$$k+1$ চক্র:

1. এমনকি দৈর্ঘ্যের চক্র থেকে শুরু করুন (যা $2$ আকর্ষণীয়) তবে $k-1$ বারের জন্য বিধি 2 প্রয়োগ করুন । নোট করুন যে একটি প্রান্তটি দৈর্ঘ্য চক্র হিসাবে বিবেচিত হয় না $2$(অন্যথায় এই প্রক্রিয়াটি $k+1$ চক্র তৈরির প্রভাব ফেলবে )।
2. বিজোড় দৈর্ঘ্যের চক্র থেকে শুরু করুন (যা $3$ আকর্ষণীয়), তারপরে $k-2$ বার নিয়ম 2 প্রয়োগ করুন । প্রারম্ভিক চক্রের দৈর্ঘ্য অবশ্যই বেশি হতে হবে $3$(অন্যথায় এই প্রক্রিয়াটি $k+1$ চক্র তৈরির প্রভাব ফেলবে )।

প্রশ্ন

উপরের ২ টি ব্যতীত অন্য কোনও কারণ রয়েছে যা গ্রাফটিকে নন- $k$ আকর্ষণীয় করে তোলে ?

$\ $
30/11/2012 আপডেট করুন

আরও স্পষ্টভাবে, আমার যা দরকার তা হ'ল ফর্মটির কিছু উপপাদ্য:

একটি গ্রাফ $G$ এর ক্রোমেটিক সংখ্যা $\chi(G) = k + 1$ থাকে এবং কেবল যদি ...

Hajós ক্যালকুলাস , তার উত্তরে ইউভাল Filmus দ্বারা নির্দিষ্ট, এর একটি নিখুঁত উদাহরণ কি আমি খোঁজ করছি, রেখাচিত্র বর্ণীয় নম্বর আছে χ ( জি ) = ট + + 1 যদি এবং কেবল যদি এটা সবর্জনবিদিত থেকে আহরিত হতে পারে কে ট + 1 বারবার ক্যালকুলাসের অনুক্রমের 2 টি নিয়ম প্রয়োগ করে। Hajós সংখ্যা জ ( জি ) তারপর আহরণ প্রয়োজনীয় পদক্ষেপ ন্যূনতম সংখ্যা জি (ie এটা সবচেয়ে কম প্রমাণের দৈর্ঘ্য হল)।$G$$\chi(G) = k + 1$$K_{k+1}$$h(G)$$G$

এটি খুব আকর্ষণীয় যে:

• আছে কিনা গ্রাফ বিদ্যমান প্রশ্নে যার জ ( জি ) সূচকীয় হয় মাপ জি এখনও খোলা আছে।$G$$h(G)$$G$
• যেমন যদি বিদ্যমান নয়, তারপর এন পি = গ ণ এন পি ।$G$$NP = coNP$

Comments

আপনি এরডের উপপাদ্যটি সম্পর্কে ধারণা না রাখার ক্ষেত্রে (যে বর্ণ সম্পর্কে ভাবছেন প্রত্যেকেরই হওয়া উচিত) আপনি যে প্রশ্নটি যুক্ত করেছেন তার সাথে আমি আমার মন্তব্যটি পুনর্বার করব: প্রাকৃতিক সংখ্যা জি এবং কে দেওয়া, কমপক্ষে জি এবং ক্রোমেটিকের সাথে একটি গ্রাফ রয়েছে সংখ্যা কমপক্ষে কে। গ্রাফের ঘেরটি হ'ল ক্ষুদ্রতম চক্রের আকার, যার অর্থ আপনার যদি ঘের কমপক্ষে 3 থাকে তবে প্রতিটি সর্বাধিক চক্রের আকার 2 হয় (প্রতিটি প্রান্তটি সর্বাধিক চক্র)।

— পল জিডি

en.wikipedia.org/wiki/Hadwiger_conjecture_%28graph_theory%29 $\hspace{1.65 in}$

একটি সাধারণ পর্যবেক্ষণ যা প্রায়শই সহায়ক: প্রতিটি রঙের শ্রেণি একটি স্বতন্ত্র সেট। আপনি যদি দেখান যে কোনও বড় স্বাধীন সেট নেই, তবে আপনি জানেন যে আপনার প্রচুর রঙের প্রয়োজন হবে।

— Jukka Suomela

যদি গ্রাফগুলি অ- প্রশংসনীয় হওয়ার জন্য সর্বদা একটি সহজ কারণ থাকে তবে গ্রাফের রঙিন সমস্যাটি এনপি-হার্ড হবে না। পি = দ্বারা NP যদি কিছু গ্রাফ অ- হয় ট -colorable মাত্র কারণ । $k$$k$

— জেফি

@ জে ff ই: একটি কারণ সহজ হতে পারে তবে গণনা করা শক্ত। গ্রাফের ক্লিক না থাকার খুব সহজ কারণ রয়েছে তবে এটি এখনও এনপি-হার্ড। $k$

— লুক ম্যাথিসন

Answer 1

আপনার হাজের ক্যালকুলাসটি পরীক্ষা করা উচিত । হাজরা দেখিয়েছে যে ক্রোম্যাটিক সংখ্যাযুক্ত প্রতিটি গ্রাফের কমপক্ষে এর সাবগ্রাফ থাকে যা কে রঙের প্রয়োজনীয়তার জন্য একটি "কারণ" থাকে । প্রশ্নের কারণটি হল কে রঙের প্রয়োজনীয়তার জন্য একটি প্রমাণ সিস্টেম । একমাত্র অ্যালিকোম হল কে কে , এবং অনুমানের দুটি নিয়ম রয়েছে। এই প্রুফ সিস্টেমের দক্ষতা সম্পর্কে পিটাসি এবং উরকিহার্টের এই কাগজটিও দেখুন ।$k$$k$$k$$K_k$

Comments

দুর্দান্ত, আমি এটিই খুঁজছিলাম।

— জর্জিও ক্যামেরানি

পয়েন্টারের জন্য ধন্যবাদ। হাজোস নির্মাণ সম্পর্কে আগে জানতাম না।

— চন্দ্র চেকুরি

Answer 2

একটি আংশিক উত্তর, এর মধ্যে আমি একটি সাধারণ "কারণ" জানি না যা সাধারণীকরণ করা যায় তবে নীচের গ্রাফটি (নির্লজ্জভাবে এখান থেকে টানা ):

3-কলয়েবল নয়, তবে এটি স্পষ্টত 4-colorable (প্ল্যানার হচ্ছে), এবং এতে কোনও , বা কোনও অতিরিক্ত অনুভূমিকের সাথে কোনও চক্র সমস্ত চক্রের কোণে সংযুক্ত নেই (যদি না আমি কিছু অনুপস্থিত তবে কেবলমাত্র একটি শীর্ষে) একটি ভার্টেক্সের সাথে সংযুক্ত এবং এর প্রতিবেশী 3-চক্রে রয়েছে)। এটিকে আরও এগিয়ে নিয়ে গেলে, আপনি ক্রোমাটিক নম্বর 5 এর একটি গ্রাফ পেতে নিয়ম 2 এর একটি সংস্করণ প্রয়োগ করতে পারেন।$K_{4}$

আমি সন্দেহ করব যে কোনও প্রদত্ত জেনোসের জন্য, একটি নির্দিষ্ট ন্যূনতম ক্রোমাটিক সংখ্যার একটি গ্রাফ রয়েছে ( হিউড অনুমান দেখুন ) যা নিয়ম 1 বা 2 অনুসরণ করে না। অবশ্যই স্বজ্ঞাততা ছাড়া আমার আর কোনও প্রমাণ নেই।

Comments

পিটারসেন গ্রাফ একই জিনিসটির একটি ছোট উদাহরণ। উপরোক্ত এবং পিটারসন গ্রাফ উভয়েরই নাবালিক রয়েছে , যা হ্যাডভিগার সম্পর্কে উপরের মন্তব্যে ফিরে যায়। $K_4$

— উইলিয়াম ম্যাক্রে

যদিও হ্যাডভিগার কনজেকচারটি একটি প্রয়োজনীয় শর্ত, তবে পর্যাপ্ত নয়, সুতরাং কোনও গ্রাফের ক্রোম্যাটিক সংখ্যা যদি এটিতে কে কে মাইনর এবং অন্য কিছু থাকে । জেফি অবশ্যই উল্লেখ করেছেন যে, সম্ভবত অন্য কিছু হ'ল কারণেই (এই অর্থে যে এটি কোনও সহজ উত্তর নয়)। $k$$K_{k}$

— লুক ম্যাথিসন

@ লুকম্যাথিসন: অত্যন্ত আকর্ষণীয়। আপনার কাছে এমন কোনও গ্রাফের উদাহরণ রয়েছে যা নাবালিক এবং কোনটি কে - 1 টি আকর্ষণীয়? $K_k$$k-1$

— জর্জিও ক্যামেরানি

একটি নিন এবং সমস্ত প্রান্তটি উপ-বিভাগ করুন। ফলাফল গ্রাফ দ্বিপক্ষীয় এবং এইভাবে দুটি রঙ সক্ষম, তবে স্পষ্টতই একটি নাবালিক হিসাবে সম্পূর্ণ গ্রাফ রয়েছে। $K_{k}$

— লুক ম্যাথিসন

Answer 3

লোভাস কে-রঙিনযোগ্যতার জন্য টপোলজিকাল বাধা পেয়েছিলেন এবং নাসেরের অনুমানটি সমাধান করতে তাঁর তত্ত্বটি ব্যবহার করেছিলেন। তার উপপাদ্যটি নিম্নলিখিত। G কে একটি সংযুক্ত গ্রাফ হতে দিন এবং এন (জি) কে একটি সরল জটিল হতে দিন যার মুখগুলি সাধারণ প্রতিবেশী ভি এর উপগঠন। তারপরে যদি এন (কে) কে-সংযুক্ত থাকে (যথা, এর সমস্ত হ্রাস করা হোমোলজি গোষ্ঠী 0-মাত্রা কে -1 পর্যন্ত 0 হয়) তবে জি বর্ণের জন্য প্রয়োজনীয় রঙগুলির সংখ্যা কমপক্ষে কে + 3।

Answer 4

একটি বৃহত্তর স্বতন্ত্র সেট না থাকা যেমন একটি বড় চক্র থাকার মতো গুরুত্বপূর্ণ হতে পারে।

গ্রাফটি অ-কে-কলয়েবল হওয়ার জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ বাধা হ'ল একটি স্বাধীন সেটের সর্বাধিক আকার এন / কে এর চেয়ে ছোট হয়, যেখানে এনটি সংখ্যাটির সংখ্যা। এটি একটি খুব গুরুত্বপূর্ণ বাধা। উদাহরণস্বরূপ এটি সূচিত করে যে জি (এন, 1/2) এলোমেলো গ্রাফের নূন্যতম সংখ্যা কমপক্ষে এন / লগ এন রয়েছে।

আরও পরিমার্জনীয় বাধা হ'ল অনুভূমিকের জন্য নন-নেগেটিভ ওজনের প্রতিটি অ্যাসাইনমেন্টের জন্য কোনও স্বাধীন সেট নেই যা মোট ওজনের একটি ভগ্নাংশ 1/5 (বা আরও বেশি) ক্যাপচার করে। দ্রষ্টব্য যে এটিতে "চক্রের কোনও বাধা নেই" অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। এলপি-দ্বৈততা আপনাকে জানায় যে এই বাধা কে এর চেয়ে বড় হওয়ার জি "ভগ্নাংশ ক্রোমাটিক সংখ্যা" এর সমান।

আলাদা প্রকৃতির কে-কালারিবিলিটির ক্ষেত্রেও বাধা রয়েছে যা কখনও কখনও ভগ্নাংশ ক্রোম্যাটিক সংখ্যা বাধা ছাড়িয়ে যায়। আমি তাদের একটি পৃথক asnwer উত্সর্গ করব।

Comments

আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ! ওজন এবং স্বতন্ত্র সেটগুলি আবদ্ধ করার সাথে আরও পরিশুদ্ধ বাধা বাঁধাই অত্যন্ত আকর্ষণীয় ...

— জর্জিও ক্যামেরানি

Answer 5

$G$$\chi(G)=k+1$

$G$$\chi(G)\ge k$$G$$k-1$

Comments

ধন্যবাদ! এটি অবশ্যই 100% পর্যাপ্ত। এটি পুরোপুরি প্রশ্নের সংস্কারের সাথে খাপ খায়।

— জর্জিও ক্যামেরানি