স্বাচ্ছন্দ্য যখন গণনা কঠিন?

ধরা যাক আমরা নিম্নরূপে ওজনযুক্ত রঙগুলি গণনা করে যথাযথ রঙগুলি গণনা করার সমস্যাটি শিথিল করেছি: প্রতিটি যথাযথ রঙিন ওজন 1 পায় এবং প্রতিটি অনুপযুক্ত রঙের ওজন যেখানে কিছু ধ্রুবক এবং শেষ প্রান্তগুলির সাথে প্রান্তগুলির সংখ্যা একই হয়। হিসাবে 0 যাওয়ার সাথে সাথে, এটি সঠিক রঙগুলি গণনা হ্রাস করে যা অনেকগুলি গ্রাফের জন্য শক্ত। যখন সি 1 হয়, প্রতিটি রঙিন একই ওজন পায় এবং সমস্যাটি তুচ্ছ। যখন গ্রাফের সংলগ্ন ম্যাট্রিক্সটি সাথে বর্ণালি ব্যাসার্ধ $c^v$ $c$ $v$ $c$ $-\log(c)/2$ $1-\epsilon$ , এই যোগটি কনভার্জেন্স গ্যারান্টি সহ বিশ্বাসের প্রচারের দ্বারা প্রায় অনুমান করা যায়, সুতরাং এটি অনুশীলনে সহজ। এটি তত্ত্বের ক্ষেত্রেও সহজ কারণ একটি নির্দিষ্ট গণনা গাছ পারস্পরিক সম্পর্কের ক্ষয় প্রদর্শন করে এবং তাই গ্যারান্টিযুক্ত আনুমানিকতার জন্য একটি বহুবর্ষীয় সময়ের অ্যালগরিদমকে অনুমতি দেয় - তেতালি, (২০০))

আমার প্রশ্নটি হল - গ্রাফের অন্যান্য কোন বৈশিষ্ট্য স্থানীয় অ্যালগরিদমের জন্য এই সমস্যাটিকে শক্ত করে? শক্তিশালী অর্থে যে কেবলমাত্র এর একটি ছোট পরিসরকে সম্বোধন করা যেতে পারে। $c$

09/23 সম্পাদনা করুন : এ পর্যন্ত আমি এই শ্রেণীর সমস্যার (ওয়েটসের STOC2006 কাগজের ডেরাইভেটিভস এবং গামার্নিকের "গহ্বরের সম্প্রসারণ" আনুমানিক গণনা সম্পর্কিত উপকরণ) এর জন্য দুটি ডিস্ট্রিমেন্টিক পলিনোমিয়াল আনুষঙ্গিক অ্যালগরিদমগুলি পেরিয়ে এসেছি এবং উভয়ই দৃষ্টিভঙ্গি স্ব-শাখার শাখা কারণের উপর নির্ভর করে গ্রাফের উপর হাঁটা এড়ানো। বর্ণালী ব্যাসার্ধ উঠে আসে কারণ এটি এই শাখা ফ্যাক্টরের উপরের একটি আবদ্ধ। প্রশ্নটি তখন - এটি কি ভাল অনুমান? আমাদের কী এমন গ্রাফের ক্রম থাকতে পারে যেখানে স্ব-পরিহারের হাঁটার শাখাগুলির সীমাবদ্ধ থাকে, যখন নিয়মিত পদচারণায় শাখা-প্রশাখা বিন্যাস ছাড়াই বৃদ্ধি পায়?

10/06 সম্পাদনা করুন : অ্যালান স্লি (FOCS 2010) এর এই কাগজটি প্রাসঙ্গিক বলে মনে হচ্ছে ... ফলাফল বলেছে যে স্ব- পরিহারকারী পদক্ষেপের অসীম গাছের শাখা ফ্যাক্টরটি সঠিকভাবে সেই স্থানটি ধারণ করে যেখানে গণনা শক্ত হয়ে যায়।

10/31 সম্পাদনা করুন : অ্যালান সোকাল অনুমান ( "মাল্টিভারিয়েট টুট পোলিনোমিয়া" এর p.42) যে ক্রোমাটিক বহুবর্ষের শূন্য-মুক্ত অঞ্চলের ব্যাসার্ধের উপরে একটি উপরের আবদ্ধ রয়েছে যা ম্যাক্সম্যাক্সফ্লো প্রবাহের ক্ষেত্রে লিনিয়ার (সর্বাধিক সেন্ট প্রবাহ উপরের দিকে) সমস্ত জোড়া এস, টি)। এটি প্রাসঙ্গিক বলে মনে হচ্ছে কারণ সঠিক বর্ণের সংখ্যা 0-এ পৌঁছানোর সাথে সাথে দূরপাল্লার পারস্পরিক সম্পর্কগুলি উপস্থিত হয়।

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ
সূত্র

দুর্দান্ত প্রশ্ন।

— আন্দ্রেস সালামন

এটি এই অঞ্চলে কাজ করা যে কোনও ব্যক্তির সাথে পরিচিত হবে, তবে সম্ভবত আপনি উল্লেখ করতে পারেন যে

রঙ এবং

এর সঠিক সমস্যাটি A দ্বারা "পার্টিশন ফাংশনগুলির জটিলতা" এর থিয়েরেম 1 দ্বারা # পি-হার্ড হিসাবে পরিচিত is । Bulatov & Grohe, কারণ

ম্যাট্রিক্স সঙ্গে

তির্যক ও

অন্যত্র হয়েছে র্যাঙ্ক অন্তত 2.

k \geq 3

$k\geq3$

c \neq 1

$c\neq 1$

k \times k

$k\times k$

c

$c$

1

$1$

— কলিন McQuillan

এছাড়াও, এটি অ্যান্টিফেরোম্যাগনেটিক কিউ-স্টেট পটস মডেল, সঠিক?

— কলিন ম্যাককুইলান

@ কাভাহ: আপনি কি তা পিছনে রোল করতে পারবেন? এই দুটি ট্যাগ, যদিও কমপক্ষে জনপ্রিয়, এই প্রশ্নটিকে সর্বোত্তমভাবে বর্ণনা করেছে। কেবলমাত্র সর্বাধিক জনপ্রিয় ট্যাগগুলি অন্তর্ভুক্ত করতে প্রতিটি প্রশ্ন পুনরায় চালু করা আমার কাছে আপত্তিজনক বলে মনে হয়।

— আরজেকে

@ কাভেঃ জনপ্রিয়তা অনুসারে একতরফা পছন্দ করার বিরোধিতা করে আপনি ওপি-কে জিজ্ঞাসা করবেন না যে তিনি আরক্সিভিগ ট্যাগ (গুলি) চান এবং কোন নন-আরক্সিব ট্যাগ (গুলি) সরাতে চান? আরও সাধারণ ট্যাগ দেওয়ার ফলে সাইটটি আরও ভালভাবে সংগঠিত হয় এমন তর্ক নিয়ে আমি মোটেও একমত নই। আমার প্রিয় ট্যাগগুলিতে কোনও শীর্ষ স্তরের কোনও অন্তর্ভুক্ত নেই।

— আরজেেকে

উত্তর:

এটি প্ল্যানার গ্রাফগুলির পক্ষে কমপক্ষে ছয় রঙের বা তারও বেশি শক্ত। গোল্ডবার্গ এবং জের্রাম দ্বারা "প্ল্যানার গ্রাফের টুট বহুত্বের অযোগ্যতা" দেখুন

— কলিন ম্যাককুইলান
সূত্র

নোট করুন যে এটি গণনার স্বচ্ছ সংস্করণ সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছে। যে কোনও গ্রাফের জন্য সি এর বিস্তৃতি রয়েছে যার জন্য স্বাচ্ছন্দ্য গণনা সহজ। প্রশ্নটি কীভাবে এই ব্যাপ্তির পরিমাণ নির্ধারণ করবেন

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

ঠিক আছে. আপনার দেওয়া অনুগ্রহটি আমার কাছে চুরি হয়ে গেছে বলে মনে হচ্ছে, তাই আমি এই প্রশ্নের 50 টি পয়েন্ট পুনরায় উল্লেখ করব।

— কলিন ম্যাককুইলান

ভাল ইশারা, কলিন!

— সুরেশ ভেঙ্কট

অন্য কোন উত্তর ছিল না এবং 50 পয়েন্ট অন্যথায় হারিয়ে যেত! সিস্টেম অনুদানের জন্য একটি নির্বিচারে 7 দিনের সীমা প্রয়োগ করে for সিস্টেমে সাম্প্রতিকতম পরিবর্তনের আলোচনার জন্য মেটা.স্ট্যাকেক্সেঞ্জার / প্রশ্নগুলি / ১৪১৩ / দেখুন দেখুন ।

— আন্দ্রেস সালামন

আরও কিছু মন্তব্য:

গণনার জন্য স্থানীয় অ্যালগরিদম প্রতি নোডের পরিসংখ্যানের একটি সেট থেকে গণনাটি গণনা করবে যেখানে প্রতিটি পরিসংখ্যান নোডের কিছু গ্রাফ পাড়ার একটি ফাংশন। রঙিনগুলির জন্য, এই পরিসংখ্যানগুলি "রঙিন সি এর মুখোমুখি হওয়ার প্রান্তিক সম্ভাবনা" এর সাথে সম্পর্কিত। একটি সাধারণ গ্রাফের জন্য এই হ্রাসের উদাহরণ এখানে ।

এটি অ্যালান স্লির সাম্প্রতিক কাগজ থেকে এসেছে যে কোনও স্থানীয় অ্যালগরিদম ব্যবহার করে স্বতন্ত্র সেট গণনা করা কোনও অ্যালগরিদম ব্যবহার করে স্বতন্ত্র সেট গণনা করার মতোই শক্ত। আমার সন্দেহ যে গ্রাফগুলিতে সাধারণ গণনার ক্ষেত্রে এটি সত্য।

স্থানীয় অ্যালগরিদমগুলির জন্য, নোডগুলির মধ্যে দূরত্বের ক্ষেত্রে নোডগুলির মধ্যে সম্পর্ক কীভাবে আচরণ করে তার উপর কঠোরতা নির্ভর করে। বড় পরিমাণে দূরত্বের জন্য, এই পারস্পরিক সম্পর্কের মূলত দুটি মাত্র আচরণ রয়েছে - হয় গ্রাফের দূরত্বে পারস্পরিক সম্পর্ক দ্রুত ক্ষয় হয়, বা এটি মোটে ক্ষয় হয় না।

ক্ষণস্থায়ী ক্ষয় যদি হয়, স্থানীয় পরিসংখ্যানগুলি এমন এক পাড়ার উপর নির্ভর করে যার আকার গ্রাফের আকারে বহুপদী, সুতরাং গণনা করার সমস্যাটি সহজ।

পরিসংখ্যান পদার্থবিজ্ঞানের মডেলগুলিতে এটি (যেমন, ডি জেনেস, এমেরি) স্বীকৃত ছিল যে স্ব-পরিহারের পদক্ষেপ, পারস্পরিক সম্পর্কের ক্ষয় এবং পর্যায় স্থানান্তরের মধ্যে একটি সংযোগ রয়েছে। যে সময়ে বিন্দুতে স্ব-পরিহারের জন্য চলার জন্য ফাংশন উত্পন্ন করার ক্ষমতাটি সেই তাপমাত্রার সাথে সামঞ্জস্য করে যেখানে দীর্ঘ-পরিসরের পারস্পরিক সম্পর্ক মডেলটিতে উপস্থিত হয়।

আপনি ওয়েটসের স্ব-পরিহারকারী হাঁটার গাছের নির্মাণ থেকে দেখতে পাচ্ছেন যে কেন আত্ম-এড়ানো হাঁটাচলা পরস্পর সম্পর্কহীন ক্ষয়রূপে আসে - প্রান্তিককে হ'ল স্ব-পরিহারকারী পদক্ষেপের গাছের গোড়া হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, তাই যদি এই গাছের শাখা ফ্যাক্টরটি হয় যথেষ্ট ছোট, গাছের পাতা অবশেষে অপ্রাসঙ্গিক হয়ে যায়।

যদি "স্থানীয় কঠোরতা" দৃness়তার পরিচয় দেয়, তবে স্ব-পরিহারের পদক্ষেপের বৃদ্ধির হার নির্ধারণ করে এমন বৈশিষ্ট্যগুলি মাপার পক্ষে এটি যথেষ্ট। স্ব-পরিহারের পদক্ষেপের জন্য উত্পাদক ক্রিয়াকলাপ থেকে সুনির্দিষ্ট প্রবৃদ্ধির হার বের করা যেতে পারে তবে এটি গণনা করার জন্য জটিল। বর্ণালী ব্যাসার্ধ গণনা করা সহজ, এবং একটি নিম্ন সীমা দেয়।

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ
সূত্র

এটি একটি দুর্দান্ত সংক্ষিপ্তসার এবং অ্যালান স্লির কাগজের পয়েন্টারটির জন্য ধন্যবাদ: এখন আমি আলোচনায় অংশ নিতে অনুপ্রাণিত হয়েছি!

— সুরেশ ভেঙ্কট

কিছু মন্তব্য: একটি উত্তর নয়।

যদি গ্রাফের উল্লম্ব সংখ্যার সাথে সামঞ্জস্য রেখে যথেষ্ট পরিমাণে ছোট হয় তবে অযৌক্তিক রংগুলি ১ এরও কম হবে Hence সুতরাং এই ক্ষেত্রে ওজন -0 কেস থেকে একটি তুচ্ছ হ্রাস আছে: কেবল ছোট হতে ছোট নির্বাচন করুন যথেষ্ট. এর অর্থ হ'ল সমস্যাটি কোনও জন্য যে কোনও দৃষ্টান্ত সংগ্রহের ক্ষেত্রে # পি-হার্ড । (এখানে আমি অনুমতি বিভিন্ন স্থানেই আলাদা হতে, তাই ক্লাস সংশোধন সঙ্গে ক্লাস ইউনিয়ন হয় ।) $c$ $c$ $c \in [0,\epsilon)$ $\epsilon > 0$ $c$ $c$

$c$

আপনি গ্রাফের শ্রেণীর কাঠামোগত বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য জিজ্ঞাসা করছেন যা সমস্যাটি শক্ত থাকার সুযোগ দেয়। আমি যতদূর বলতে পারি এটি প্রায় সর্বদা কঠিন হবে। তবে এটি খুব স্কেচি এবং আরও কাজ করা দরকার।

— আন্দ্রেস সালামন
সূত্র