একজন ডিএজি অবশ্যই কতটি বিচ্ছিন্ন প্রান্ত-কাট করবে?

নিচের প্রশ্নগুলোর বেলম্যান-ফোর্ড এর optimality সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত - সবচেয়ে কম পথ গতিশীল প্রোগ্রামিং আলগোরিদিম (দেখুন এই পোস্টে একটি সংযোগ জন্য)। এছাড়াও, একটি ইতিবাচক উত্তর সূচিত করা হবে যে একটি একঘেয়েমি ন্যূনতম আকার nondeterministic শাখাবিন্যাস প্রোগ্রাম জন্য STCONN সমস্যা । $s$ $t$ $\Theta(n^3)$

যাক একটি DAG (নির্দেশ acyclic গ্রাফ) এক উৎস নোড সাথে থাকতে এবং এক লক্ষ্য নোড । একজন - কাটা প্রান্ত একটি সেট, যার অপসারণ ধ্বংস সব - দৈর্ঘ্যের পাথ ; আমরা ধরে নিই যে এই জাতীয় পথ রয়েছে । লক্ষ্য করুন খাটো - পাথ প্রয়োজন না ধ্বংস করা। $G$ $s$ $t$ $k$ $s$ $t$ $\geq k$ $G$ $s$ $t$

প্রশ্ন: নেই থাকতে হবে কমপক্ষে (প্রায়) গ্রন্থিচ্যুত -cuts? $G$ $k$ $k$

তাহলে আছে কোন - পাথ চেয়ে খাটো , উত্তর হবে হ্যাঁ, কারণ আমরা নিম্নলিখিত পরিচিত মিনিট-MAX FACT (একটি দ্বৈত আছে Menger এর উপপাদ্য ) Robacker আরোপিত । একটি - কাটা একটি হল জন্য -cut (ধ্বংস সব - পাথ)। $s$ $t$ $k$ ^$\ast$ $s$ $t$ $k$ $k=1$ $s$ $t$

ঘটনা: যে কোনও নির্দেশিত গ্রাফে, সর্বাধিক প্রান্ত-বিচ্ছিন্ন - কাটগুলি একটি - পাথের সর্বনিম্ন দৈর্ঘ্যের সমান । $s$ $t$ $s$ $t$

নোট করুন যে গ্রাফটি অ্যাসাইক্লিক না থাকলেও এটি ধারণ করে ।

প্রমাণ: trivially, সর্বনিম্ন অন্তত সর্বাধিক, প্রতিটি থেকে হয় - পথ ছেদ করে প্রতিটি - একটি প্রান্ত কাটা। সমতা দেখার জন্য, দিন থেকে একটি সংক্ষিপ্ত পথের দৈর্ঘ্য হতে করার । যাক , জন্য , এবং দিন $s$ $t$ $s$ $t$ $d(u)$ $s$ $u$ $U_r=\{u\colon d(u)=r\}$ $r = 1,\ldots, d(t)$ $E_r$ ছেড়ে প্রান্তগুলির সেট । এটি স্পষ্ট যে সেটগুলি বিচ্ছিন্ন, কারণ সেটগুলি এর মতো। সুতরাং, এটি দেখানোর জন্য রয়ে গেছে যে প্রতিটি একটি - কাটা। এটি দেখানোর জন্য, এবং সহ একটি নির্বিচারে - পাথ । যেহেতু $U_r$ $E_r$ $U_r$ $E_r$ $s$ $t$ $s$ $t$ $p=(u_1, u_2, \ldots,u_m)$ $u_1=s$ $u_m=t$ , দূরত্বের ক্রম মান পৌঁছাতে হবে থেকে শুরু দ্বারা এবং সর্বাধিক দ্বারা মান বৃদ্ধি করে $d(u_{i+1})\leq d(u_i)+1$ $d(u_1),\ldots,d(u_m)$ $d(u_m)=d(t)$ $d(u_1)=d(s)=0$ $1$ প্রতিটি পদক্ষেপে। যদি কিছু মান হ্রাস পায় তবে আমাদের অবশ্যই পরে পৌঁছাতে হবে । সুতরাং, একটি হওয়া আবশ্যক কোথা থেকে একটি লাফ থেকে ঘটে, প্রান্ত অর্থ জন্যে , যেমন আকাঙ্ক্ষিত. Qed $d(u_i)$ $d(u_i)$ $j$ $d(u_j)=r$ $d(u_{j+1})=r+1$ $(u_j,u_{j+1})$ $E_r$

তবে যদি ( ) চেয়েও ছোট পথ থাকে? কোন ইঙ্গিত / রেফারেন্স? $k$

জেটি রব্যাকার, শর্টেস্ট চেইনস এন্ড মিনিট ম্যাক্স্স থিওরেমস অ্যান্ড ডিসওয়াইয়েন্ট কাটস অফ এক নেটওয়ার্ক, রিসার্চ মেমোরেন্ডাম আরএম -১6060০, দ্য আরএন্ড কর্পোরেশন, সান্তা মনিকা, ক্যালিফোর্নিয়া, [১২ জানুয়ারী] ১৯৫ 195।

^{*}

$^{\ast}$

সম্পাদনা (একদিন পরে): একটি সংক্ষিপ্ত এবং খুব সুন্দর যুক্তির মাধ্যমে ডেভিড এপস্টিন উপরের মূল প্রশ্নের উত্তরটিকে নেতিবাচক বলে দিয়েছেন : সম্পূর্ণ ডিএজি

(একটি ট্রানজিটিভ টুর্নামেন্ট ) চারটি অধিক বিযুক্ত

কাট থাকতে পারে না ! আসলে, তিনি নিম্নলিখিত আকর্ষণীয় কাঠামোগত সত্যটি প্রমাণ করেছেন ,

প্রায়

জন্য

T_{n}

$T_n$

k

$k$

k

$k$

। কোনও কাটাখাঁটি হয়যদি

বাটিতে কোনও প্রান্তের ঘটনা না থাকে।

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

s

$s$

t

$t$

প্রতিটি বিশুদ্ধ মধ্যে -cut দৈর্ঘ্যের একটি পাথ ধারণ । $k$ $T_n$ $k$

এটি, বিশেষত, বোঝায় যে প্রতি দুটি খাঁটি কাটগুলি অবশ্যই ছেদ করতে হবে! তবে সম্ভবত এখনও অনেকগুলি খাঁটি কাট রয়েছে যা "খুব বেশি" ওভারল্যাপ করে না। সুতরাং, একটি শিথিল প্রশ্ন (STCONN এর পরিণতি একই হবে ): $k$ $k$

প্রশ্ন 2: প্রতিটি খাঁটি কটেটের যদি প্রান্ত থাকে তবে গ্রাফের অবশ্যই প্রায় প্রান্ত থাকতে হবে? $k$ $\geq M$ $\Omega(k\cdot M)$

STCONN জটিলতা সাথে থেকে আসে ফলাফলের Erdős এবং Gallai এক মুছে ফেলার জন্য আছে যা সব কিন্তু (undirected) থেকে প্রান্ত অর্ডার দৈর্ঘ্যের সমস্ত পাথ ধ্বংস করার জন্য । $(k-1)m/2$ $K_m$ $k$

সম্পাদনা 2: আমি এখন গণিত প্রবাহে প্রশ্ন 2 জিজ্ঞাসা করেছি ।

graph-theory circuit-complexity lower-bounds

— স্ট্যাসিস
সূত্র

সংক্ষিপ্ত উত্তর: না।

যাক সম্পূর্ণ DAG (সকর্মক টুর্নামেন্ট) উপর হতে সঙ্গে ছেদচিহ্ন এবং তার উৎস এবং বেসিনে, এবং দিন $G$ $n$ $s$ $t$ । পালন যে সর্বাধিক চার টুকরো করা মধ্যেও যে আরো Tham ধারণ হতে পারেথেকে প্রান্ত ঘটনাবা বেশিপ্রান্ত ঘটনা। সুতরাং, যদি অনেকগুলি বিচ্ছিন্ন কাট করতে হয়, আমরা ধরে নিতে পারি যে একটি কাটাযার মধ্যে প্রচুর সংখ্যক প্রান্তের ঘটনাটিএবং। $k=\sqrt{n/3}$ $n/3$ $s$ $n/3$ $t$ $C$ $s$ $t$

এখন দিন সম্পূর্ণ subgraph সালে প্রবর্তিত হতে ছেদচিহ্ন এর সেট দ্বারা যেমন যে প্রান্ত এবং অন্তর্গত না । মধ্যে ছেদচিহ্ন সংখ্যা অন্তত হয় , কারণ অন্যথায় অনেকগুলি প্রান্ত ঘটনা স্পর্শ করে বা । তবে, কোনও পাথ থাকতে পারে না , কারণ যদি এমন একটি পথ থাকে তবে এটি এবং দিয়ে সংক্ষিপ্ত আকারে দীর্ঘ পথ তৈরি করতে পারে $X$ $G$ $x$ $sx$ $xt$ $C$ $X$ $n/3$ $C$ $s$ $t$ $X\setminus C$ $k$ $s$ $t$ । সুতরাং, এর দীর্ঘতম পাথ স্তর স্তরগুলিরচেয়ে কম রয়েছেএবং এর একটি স্তর রয়েছে উল্লম্বের বেশি। যেহেতু এটি দীর্ঘতম পাথরের স্তর নির্ধারণের একটি স্তর, এটি এ স্বতন্ত্রএবং সুতরাং এটি সম্পূর্ণ, সুতরাং এর এই স্তরটির দৈর্ঘ্য এর দৈর্ঘ্যের একটি পাথ রয়েছে। এই পথটি অবশ্যই অন্য সমস্ত কাট থেকে বিচ্ছিন্ন হতে হবে। $G\setminus C$ $X\setminus C$ $k$ $(n/3)/k=k$ $X\setminus C$ $C$ $C$ $P$ $k$

প্রতিটি কাটা নয় থেকে প্রান্ত পারেন থাকা আবশ্যক পথের শুরু বা পথ শেষ প্রান্ত থেকে প্রান্ত থেকে , বা অন্য এটি পাথ ব্লক করবে না - - । সুতরাং বিদ্যমান থাকলে, সেখানে কমপক্ষে তিনটি বিচ্ছিন্ন কাট হতে পারে। এবং অস্তিত্ব না থাকলে (অর্থাৎ, যদি সমস্ত কাটগুলি প্রান্তের ঘটনাকে বা তে আরও বেশি কভার করে ) সেখানে সর্বাধিক চারটি বিচ্ছিন্ন কাট থাকতে পারে। যেভাবেই হোক, এটি কাটার তুলনায় অনেক কম । $C$ $s$ $P$ $P$ $t$ $s$ $P$ $t$ $C$ $C$ $n/3$ $s$ $t$ $k$

— ডেভিড এপস্টিন
সূত্র

@ ডেভিড: আকর্ষণীয় যুক্তি (যদিও আমি এখনও এটি বেশ বুঝতে পারি নি: কেন সি এর অবশ্যই কে-পাথ থাকতে হবে)। তবে যেখানে যুক্তিটি ব্যর্থ হয় (এটি হওয়া উচিত) যদি সমস্ত স্ট্যান্ড পাথ দীর্ঘ হয় তবে কমপক্ষে কে?

— স্টেসিস

@ স্ট্যাসিস: জি একটি টুর্নামেন্ট, প্রমাণটি এই সত্যটি ব্যবহার করে, তাই ইমো এজন্যই এটি ব্যর্থ হয়।

— ডমোটরপ

@ ডমোটরপ: ধন্যবাদ, সত্যিই আমি "সম্পূর্ণ" শব্দটি মিস করেছি। আমি এখনও ত্রুটি খুঁজে পাচ্ছি না, তবে এটি একটি বরং বিপরীত সত্য হবে: অ্যাসাইক্লিক টুর্নামেন্টে প্রচুর কে-পাথ থাকলেও আমরা তাদের প্রতিনিধিদের অনেকগুলি পৃথকীকরণ (প্রান্ত) নির্বাচন করতে পারি না।

— স্টেসিস

@ ডেভিড: প্রকৃতপক্ষে, উল্লিখিত পরিণতিগুলি দেখতে আমরা কাটগুলিকে কেবল "প্রায় অসন্তুষ্ট" করতে পারি, অর্থাত্ প্রান্তের ঘটনাগুলি গুলি বা টিতে ভাগ করে নিতে পারি (আমাদের কেবল এই বিশেষ প্রান্তটি রয়েছে 2)। সত্যিকারের লক্ষ্যটি হ'ল জি এর অবশ্যই কেএন প্রান্ত থাকা উচিত, যদি আমরা জানি যে প্রতিটি "খাঁটি" কে-কাট (এই বিশেষ প্রান্তগুলি ব্যতীত) অবশ্যই অবশ্যই এন কিনারা রাখে। আপনার (খুব সুন্দর, যেমনটি আমি এখন দেখছি) যুক্তিটি কি ("প্রায় বিরক্তি") পরিস্থিতিতে পরিবর্তন করা যেতে পারে?

— স্ট্যাসিস

G

$G$

k

$k$