পল্লাগ-সীমিত গভীরতার সার্কিটের জন্য সার্কিট নিম্ন সীমানায় স্থিতি

Question

সার্কিট জটিলতা তত্ত্বের মধ্যে সীমাবদ্ধ গভীরতা সার্কিট জটিলতা গবেষণার অন্যতম প্রধান ক্ষেত্র। এই বিষয়টির উত্স যেমন "প্যারিটি ফাংশন $AC^{0}$ " এবং "Mod $p$ ফাংশন $AC^{0}[q]$ " দ্বারা গণনা করা হয় না , যেখানে $AC^0[q]$ দ্বারা শ্রেণীর ভাষাটি সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য অ-ইউনিফর্ম, ধ্রুবক গভীরতা, বহুপক্ষীয় আকার, আনবাউন্ডেড ফ্যান-ইন এবং, এবং, নং এবং মডুলো $q$ গেটস, যেখানে $\gcd(p,q)=1$। যাইহোক, বহু-গাঁথনীয় গভীরতার সার্কিটগুলিতে কংক্রিটের নিম্ন সীমাবদ্ধতা প্রাপ্ত ফলাফলগুলি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলিতে ইনপুটগুলিকে সীমাবদ্ধ করা এবং প্রায় বহুবর্ষের মতো ক্লাসিকাল পদ্ধতি ব্যবহার করে ধরাছোঁয়ার বাইরে বলে মনে হচ্ছে।

আমি একটি STOC'99 কাগজ জানি যা জ্যামিতিক জটিলতার তত্ত্বের দিকে নিয়ে যায় এবং যা দেখায় যে বিট-ওয়াইজ ব্যতীত অপারেশনগুলি ব্যবহার করে দক্ষ সমান্তরাল কম্পিউটিং ন্যূনতম ব্যয় প্রবাহের সমস্যা গণনা করতে পারে না।

এর অর্থ এই যে নির্দিষ্ট সীমিত সেটিংস, আমরা প্রমাণ করতে পারেন কিছু সীমা কমে পি -complete সমস্যা।$NC$$P$

প্রথমত, অন্যান্য পদ্ধতি বা কৌশলগুলি রয়েছে যা পলিওগারিদমিক গভীরতার সার্কিটকে নিম্ন সীমা প্রমাণ করার জন্য কল্পনাযোগ্য পন্থা হতে পারে?

দ্বিতীয়ত, তত্ত্ব সম্প্রদায়ের জন্য নিম্নলিখিত বিবৃতিটি কতটা কার্যকর?

একটি মাপ কম্পিউটিং একটি বুলিয়ান ফাংশন বর্তনী চ : { 0 , 1 } এন → { 0 , 1 } অন্তত হয় ঠ , যেখানে ঠ কিছু গাণিতিক পরিমাণ লক্ষ্য ফাংশনের কঠোরতা উপর নির্ভর করে চ । L এর মান হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, বিচ্ছিন্নতার মতো সংমিশ্রণ পরিমাণ, একটি ক্ষেত্রের উপর নির্দিষ্ট ধরণের ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্কের মতো একটি লিনিয়ার বীজগণিত পরিমাণ বা কিছুটা সম্পূর্ণ নতুন পরিমাণ যা পূর্বে জটিলতা তত্ত্বে ব্যবহৃত হয়নি।$NC$$f\colon\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$$l$$l$$f$$l$

Comments

সাবধানতার একটি শব্দ ক্রমযুক্ত : এমনকি লোগারিদমিক গভীরতা যদি না বোঝা যায় তবে। এনসি ^ 1-সার্কিটের জন্য আমাদের কাছে এখনও কোনও সুপার-লিনিয়ার (!) নিম্ন সীমাবদ্ধ নেই। এখানে, ম্যাট্রিক্স অনমনীয়তা একটি কাঙ্ক্ষিত "সম্মিলিত পরিমাণ", কিন্তু আমাদের এই পরিমাণের উপর শক্তিশালী যথেষ্ট নিম্ন সীমার অভাব রয়েছে। এমনকি আরও হতাশাজনকভাবে, NC ^ 1-সার্কিটের জন্য কোনও লিনিয়ার ট্রান্সফর্মেশন f (x) = Ax ওভার জিএফ (2) গণনা করার জন্য কোনও সুপার-লিনিয়ার নিম্ন সীমাটি পরিচিত নয়, এমনকি যদি কেবল ফ্যানিন -2 এক্সওআরকে গেট হিসাবে অনুমোদিত হয়। (প্রায় সব ম্যাট্রিক এ এর ​​পরে প্রায় n ^ 2 / \ লগ এন গেটগুলি যে কোনও গভীরতার জন্য প্রয়োজন))

— স্টাসিস

@ স্ট্যাসিস, আমি মনে করি আপনার মন্তব্যটি একটি উত্তর হতে পারে।

— কাভেহ

Answer 1

পলি-লগ সার্কিট-গভীরতার নিম্ন সীমাগুলি প্রমাণ করার কৌশলগুলিতে, সমস্ত বর্তমান পদ্ধতির সীমাবদ্ধ সেটিংসের আওতায় কাজ করে । যেমন, আপনি উল্লেখ করেছেন যে জিসিটি নিয়ে যাওয়ার ক্ষেত্রে, নিম্ন সীমাটি বিট অপারেশন ছাড়াই একটি সীমাবদ্ধ PRAM মডেলের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।

অন্য বিধিনিষেধের অধীনে, যা একঘেয়ে বুলিয়ান ফাংশনগুলির জন্য একঘেয়ে প্রতিবন্ধকতা রয়েছে, অ্যারন পোটেচিনের ( ইসিসিসি এবং এসটিওসি ) এর সাথে আমার যৌথ কাজে মনোটোন সার্কিট-গভীরতার নিম্ন সীমানা প্রমাণ করার জন্য একটি ফিউরিয়ার-অ্যানালিটিক (বা গণনা-সমন্বয়কারী) পদ্ধতি রয়েছে approach এটি র‌ন রাজ এবং পিয়েরে ম্যাকেনজির পূর্ববর্তী ফলাফলের উন্নতি করেছে , যা সার্কিট-গভীরতার বিষয়ে মরিসিও কারচ্মার এবং আভি উইগডারসনের যোগাযোগ গেমের কাঠামোকে প্রসারিত করে ।

কারচ্মার extend উইগডারসন গেমটি প্রসারিত করার জন্য গবেষণার আরেকটি লাইন স্কট অ্যারনসন এবং আভি উইগডারসন একটি রেফারেন্স যোগাযোগ গেম হিসাবে প্রস্তাব করেছিলেন , যার প্রতিযোগিতা-প্রভার প্রোটোকলটির বর্ধনকে গিলাত কোল এবং রন রাজের দ্বারা পি থেকে এনসি পৃথক করার পদ্ধতির পরামর্শ দেওয়া হয়েছিল ( ইসিসিসি এবং আইটিসিএস )।

একঘেয়েত্বের সিনট্যাক্টিক সীমাবদ্ধতা অধ্যয়ন করা ছাড়াও স্টিফেন কুক, পিয়ের ম্যাককেঞ্জি, ডাস্টিন ওয়েহর, মার্ক ব্র্যাভারম্যান, এবং রাহুল সান্থানাম দ্বারা নুড়ি গেম সম্পর্কিত ত্রৈমাসিক ব্র্যাঞ্চিং প্রোগ্রামগুলির সাথে সম্পর্কিত শব্দার্থিক নিষেধাজ্ঞার অধ্যয়ন করার পদ্ধতি রয়েছে । একটি নেই শক্তিশালী আবদ্ধ নিম্ন ডাস্টিন Wehr দ্বারা মিতব্যয়ী সীমাবদ্ধতা অধীনে সব থেকে বহুল পরিচিত মিলে, উপরের আবদ্ধ পি-সম্পূর্ণ সমস্যার জন্য। এই ফলাফলগুলি নির্ণায়ক স্থানের জটিলতা নিয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করে যা জ্ঞাত সিমুলেশন ফলাফলগুলির দ্বারা সমান্তরাল সময় বা সার্কিট-গভীরতা কমিয়ে দেয় (উদাহরণস্বরূপ ) থেকে।$\text{AlternatingTime}[t] \subseteq \text{DeterministicSpace}[t]$

সার্কিটগুলির আকার এবং গভীরতা সম্পর্কিত প্রশ্ন সম্পর্কে, নিম্নলিখিত পদ্ধতির সাথে সম্পর্কিত হতে পারে। রিচার্ড লিপটন এবং রায়ান উইলিয়ামস দেখান যে, গভীরতার উপর পর্যাপ্ত শক্তিশালী নিম্নতর আবদ্ধ (যেমন ), দুর্বল আকারের নিম্ন বন্ড (যেমন এন 1 + Ω ( 1 ) ) পি থেকে এনসিকে আলাদা করতে পারে এই ফলাফল ব্লক-শ্রদ্ধার সিমুলেশনের উপর ভিত্তি করে আকার-বাণিজ্য-অফ আর্গুমেন্ট থেকে অনুসরণ করুন। আকারের জন্য ব্যবসায়ের গভীরতার উপর আগের ফলাফলটি স্ব-হ্রাসযোগ্যতার ধারণার ভিত্তিতে অ্যালেন্ডার এবং কুকির কারণে, তবে এটি এনসি 1 এবং এনএল এর মতো ছোট জটিলতা ক্লাসগুলি অধ্যয়ন করে ।$n^{1-O(1)}$$n^{1+\Omega(1)}$$^1$

উল্লেখ্য যে উপরোক্ত উল্লিখিত পদ্ধতির মধ্যে তাদের মধ্যে কয়েকটি সার্কিটের আকার এবং গভীরতা উভয়ই বিবেচনা করে, অন্যদিকে কেবলমাত্র সার্কিটের গভীরতা বিবেচনা করে। বিশেষত, মুলমুলির আধা-বীজগণিত-জ্যামিতিক পদ্ধতি, কোল – রাজের দ্বারা অধ্যয়ন করা প্রতিযোগিতামূলক- প্রবাদী প্রোটোকল পদ্ধতি এবং অ্যালেন্ডার-কৌকি এবং লিপটন-উইলিয়ামসের আকার-গভীরতা বাণিজ্য-বন্ধ পদ্ধতির সমস্ত আকার এবং গভীরতা উভয়ই উদ্বেগ প্রকাশ করে সার্কিট। চ্যান – পোটেচিন , রাজ – ম্যাককেঞ্জি , কুক – ম্যাককেঞ্জি – ওয়েহর – ব্র্যাভারম্যান – সান্থানাম এবং ওয়েহের ফলাফলগুলি নির্বিশেষে আকার নির্বিশেষে সেটিংসের অধীনে সার্কিট-গভীরতার নিম্ন সীমানা দেয়। এছাড়াও, রেফারেন্স যোগাযোগ গেমঅ্যারোনসন – উইগডারসন কেবলমাত্র সার্কিট-গভীরতার বিষয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করে।

এটি এখনও আমাদের জ্ঞানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যে কিছু পি-সম্পূর্ণ সমস্যার আকার নির্বিশেষে ছোট গভীরতার (যেমন ) সার্কিট দ্বারা গণনা করা যায় না । আকার যদি ছোট গভীরতার সার্কিটগুলির জন্য সীমাবদ্ধ না হয় (সীমাবদ্ধ ফ্যান-ইন), তবে সম্ভবত এটি ছোট গভীরতার সার্কিটগুলির আকারের উপর ফোকাস করার চেয়ে সার্কিট-গভীরতার দিকে বেশি মনোনিবেশ করা বুদ্ধিমান হয়ে উঠবে।$\log^{O(1)}n$

Comments

ধন্যবাদ! আপনি এখনও জানেন, কিউ 2 এ থাকা একটি বিবৃতি প্রত্যেকের দ্বারা পাওয়া যায় না, তাই না? তা হল, যোগাযোগ জটিলতা নিম্নগামী পদ্ধতিগুলির মতো, আমরা এনসি সার্কিটের নিম্ন সীমানা দেওয়ার মতো কোনও গাণিতিক পরিমাণ পাইনি?

— শেন

@ শেন, আমি শেষে আরও দুটি অনুচ্ছেদ যুক্ত করেছি। আশা করি এটি সহায়ক।

— সিউমান

লিপটন – উইলিয়ামস পেপারে দুর্বল আকারের নিম্ন সীমানা প্রশস্ত করা যেতে পারে এই ধারণাটি আসলে অ্যালেন্ডার এবং কউকির কারণে ( eccc.hpi-web.de/report/2008/038 )।

— এমিল জেবেক মনিকাকে

@ এমিলজেবেক ধন্যবাদ! আমি সেই কাগজটি যুক্ত করেছি। আশা করি উত্তরটি এখন আরও ভাল দেখাচ্ছে।

— সাইমন

Answer 2

কাভেহের পরামর্শ অনুসরণ করে আমি আমার মন্তব্যটিকে (প্রসারিত) উত্তর হিসাবে রাখছি।

বিষয়ে $Q1$ এমনকি: সতর্কতার একটি শব্দ অনুক্রম হল লগারিদমিক পর্যন্ত বুঝতে হচ্ছে, পলি-লগারিদমিক কথা না থেকে যদি গভীরতা। সুতরাং, একঘেয়েমিবিহীন বিশ্বে আসল সমস্যাটি কম উচ্চাকাঙ্ক্ষী:

লগ-গভীরতার সমস্যাটি মারধর: সার্কিটগুলির জন্য একটি সুপার-লিনিয়ার (!) নিম্ন সীমাটি প্রমাণ করুন। $NC^1$

এমনকি লিনিয়ার সার্কিটগুলির ক্ষেত্রেও সমস্যাটি (বর্তমানে 30 বছরেরও বেশি সময় ধরে) খোলা রয়ে গেছে । এই fanin- হয় 2 ভিত্তিতে উপর সার্কিট { ⊕ , 1 } , এবং তারা কম্পিউট রৈখিক রূপান্তরের চ ( এক্স ) = একটি x উপর জি এফ ( 2 ) । সহজ কাউন্টিং শো প্রায় সব ম্যাট্রিক্স একটি প্রয়োজন Ω ( ঢ 2 / লগ ইন করুন এন ) গেটস, কোনো গভীরতা। $NC^1$$2$$\{\oplus,1\}$$f(x)=Ax$$GF(2)$$A$$\Omega(n^2/\log n)$

বিষয়ে $Q2$ : হ্যাঁ, আমরা আছে কিছু বীজগাণিতিক / combinatoric ব্যবস্থা, নিম্ন সীমা যার উপর লগ-গভীরতা সার্কিট বীট হবে। দুর্ভাগ্যক্রমে, এখনও অবধি, আমরা এই ব্যবস্থাগুলির পক্ষে যথেষ্ট পরিমাণের সীমানা প্রমাণ করতে পারি না। বলুন, লিনিয়ার সার্কিটগুলির জন্য, এই জাতীয় পরিমাপটি ম্যাট্রিক্স এ এর অনমনীয়তা আর এ ( র ) । এই এন্ট্রি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা একটি যে এক চাহিদা অর্ডার র্যাঙ্ক কমাতে পরিবর্তন করতে R । এটি দেখানো সহজ যে আর এ ( র ) ≤ ( এন $NC^1$ $R_A(r)$$A$$A$$r$ প্রতিটি বুলিয়ান n × n ম্যাট্রিক্স এ এর জন্য ধারণ করেএবং ভ্যালিয়েন্ট (1977) দেখিয়েছে যে এই সীমাটি প্রায় সমস্ত ম্যাট্রিকের জন্য শক্ত। লগ-গভীরতা সার্কিট বীট করার জন্য, এটা বুলিয়ান একটা ক্রম প্রদর্শন করা যথেষ্ট এন × এন ম্যাট্রিক্স একটি যেমন যে$R_A(r)\leq (n-r)^2$$n\times n$$A$$n\times n$$A$

ধ্রুবকগুলির জন্য ϵ , δ > 0 । $R_A(\epsilon n)\geq n^{1+\delta}$$\epsilon,\delta>0$

সেরা আমরা এতদূর জানেন ম্যাট্রিক্স হয় সঙ্গে আর একটি ( দ ) ≥ ( এন 2 / R ) লগ ( এন / R ) । সিলভেস্টার ম্যাট্রিক্স (অর্থাত অভ্যন্তরীণ পণ্য ম্যাট্রিক্স) জন্য, বাউন্ড LOWER Ω ( ঢ 2 / R ) হল দেখানোর জন্য সহজ । $A$$R_A(r)\geq (n^2/r)\log(n/r)$$\Omega(n^2/r)$

আমরা সাধারণ (নন-রৈখিক) জন্য সংযুক্তিকরণ ব্যবস্থা আছে -circuits, পাশাপাশি একটি দ্বিপাক্ষিক জন্য এন × এন গ্রাফ জি যাক টন ( জি ) ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হতে টন যেমন যে জি একজন ছেদ হিসেবে লেখা যেতে পারে টি দ্বিপাক্ষিক গ্রাফ, প্রতিটি সর্বাধিক টি সম্পূর্ণ দ্বিপক্ষীয় গ্রাফের ইউনিয়ন । সাধারণ লগ-গভীরতার সার্কিটগুলি বীট করতে, এটি সহ গ্রাফের ক্রম সন্ধান করা যথেষ্ট$NC^1$$n\times n$$G$$t(G)$$t$$G$$t$$t$

একটি ধ্রুবক জন্য ε > $t(G_n)\geq n^{\epsilon}$$\epsilon >0$

$t(G)\geq n^{1/2}$$t(G)\geq \log^3 n$

$n\times n$$G$$c(G)$$2$$\cup$) and intersection ($\cap$) operations required to produce $G$ when starting from stars; a star is a set of edges joining one vertex with all vertices on the other side. Almost all graphs have $c(G)=\Omega(n^2/\log n)$. On the other hand, a lower bound of

$c(G_n)\geq (4+\epsilon)n$ for a constant $\epsilon>0$

would imply a lower bound $\Omega(2^{N/2})$ on the non-monotone circuit complexity of an explicit boolean function $f_G$ of $N$ variables. If $G$ is $n\times m$ graph with $m=o(n)$, then even a lower bound $c(G_n)\geq (2+\epsilon)n$ is enough (again, see, e.g. here on how this happens). Lower bounds $c(G)\geq (2-\epsilon)n$ can be shown for relatively simple graphs. The problem, however, is to do this with "$-\epsilon$" replaced by "$+\epsilon$". More combinatorial measures lower-bounding circuit complexity (including the $ACC$-circuits) can be found in the book.

P.S. So, are we by a constant factor of $2+\epsilon$ from showing $P\neq NP$? Of course - not. I mentioned this latter measure $c(G)$ only to show that one should treat "amplification" (or "magnification") of lower bounds with a healthy portion of skepticism: even though the bounds we need look "innocently", are much smaller (linear) than almost all graphs require (quadratic), the inherent difficulty of proving a (weak) lower bound may be even bigger. Of course, having found a combinatorial measure, we can say something about what properties of functions make them computationally hard. This may be useful for proving an indirect lower bound: some complexity class contains a function requiring large circuits or formulas. But the ultimate goal is to come up with an explicit hard function, whose definition does not have an "algorithmic smell", does not have any hidden complexity aspects.

Comments

I find this very interesting: 1. superlinear lower-bound for linear functions over $GF(2)$ seems a very concrete lower-bound question. 2. lower-bounds on mathematical concepts not directly related to computation are related to circuit lower-bound.

— Kaveh

matrix rigidity is an apparently unifying concept however its structure seems in strong contrast to almost all lower bounds expressed as $\Omega(f(n))$, whereas it is in terms instead of $\Omega(f(n,r))$ (or say $\Omega(f({\sqrt n},r))$ where $n$ is input size because its for square matrices). has anyone seen other ways to express matrix rigidity eg in terms of $\Omega(f(n))$?

— vzn

@vzn: The strongest lower bound on $R_A(r)$ independent or $r$ is $0$, because $R_A(n)=0$. I am afraid, you misinterpret what rigidity actually means.

— Stasys