শোয়ার্জ এর বিকল্প প্রমাণ el জিপ্পেল লেমা

Question

আমি কেবল শোয়ার্টজ-জিপ্পেল লেমার দুটি প্রমাণ সম্পর্কে সচেতন। প্রথম (আরো সাধারণ) প্রমাণ বর্ণনা করা হয় উইকিপিডিয়া এন্ট্রি । দ্বিতীয় প্রমাণ ডানা মোশকভিত্জ আবিষ্কার করেছিলেন।

অন্য কোন প্রমাণ আছে যা যথেষ্ট আলাদা ধারণা ব্যবহার করে?

Comments

আপনি কি আপনার অনুপ্রেরণা সম্পর্কে কিছু বলতে পারেন? বিভিন্ন দিকে সাধারণীকরণের সন্ধান করছেন? জ্যামিতিক অন্তর্দৃষ্টি হতে পারে?

— প্রতি ভোগেনসেন

আমার আসলে কোনও বিশেষ প্রেরণা নেই। আমি খুব অবাক হব যে এই গুরুত্বপূর্ণ লেমাকে প্রমাণ করার জন্য কেবল দুটি সম্ভাব্য উপায়!

— দাই লে

যদিও আমি সম্মত হই যে এই লেমাটি গুরুত্বপূর্ণ, গুরুত্বপূর্ণ লেমামার কাছে অগত্যা অনেকগুলি বিভিন্ন পৃথক প্রমাণ রয়েছে। অতএব, আপনার কারণটি আমার কাছে কিছুটা অদ্ভুত লাগছে।

— Tsuyoshi Ito

@ শুয়ুশি ইটো: আমি আপনার মন্তব্যে একমত যে গুরুত্বপূর্ণ লেমাসের অনেক বেশি প্রমাণ থাকতে পারে না। তবে আমি মনে করি এটি জিজ্ঞাসা করা অর্থবহ কিনা এসজেড লেমার ক্ষেত্রেও এটি। যেহেতু এসজেডটি মৌলিক, সম্ভবত এটি পৃথক প্রসঙ্গে অনেক লোক স্বাধীনভাবে আবিষ্কার করেছিলেন। সুতরাং, বিভিন্ন প্রমাণ শিখতে কখনও কখনও যথেষ্ট আলোকিত আইএমএইচও হয়। সবার কাছ থেকে দুর্দান্ত মন্তব্যের জন্য আবার ধন্যবাদ!

— দাই লে

Answer 1

জ্যামিতিক প্রমাণের জন্য আমার এখানে আরও একটি ধারণা ছিল। এটি প্রজেক্টিভ জ্যামিতিটি একটি প্রয়োজনীয় পদ্ধতিতে ব্যবহার করে।

যাক hypersurface বাইরে অ্যাফিন বিন্দু হতে । কেন্দ্র হিসাবে ব্যবহার করে অনন্তের হাইপারপ্লেনের উপর হাইপারসারফেসটি প্রজেক্ট করুন ; এটি হ'ল প্রতিটি উপরে ম্যাপ করুন, অনন্তরে হাইপারপ্লেনের সাহায্যে এবং দিয়ে অনন্য লাইনের ছেদ করুন । অধীনে preimages অনন্ত এ একটি বিন্দু একই লাইনে সব মিথ্যা, সেইজন্য এবং (আবার মাত্রা 1 থেকে সমস্যা হ্রাস) সবচেয়ে আছে তাদের। অনন্তের হাইপারপ্লেনের কার্ডিনালিটি থাকে, সুতরাং আমরা পরিচিত উপরের আবদ্ধ। S c x ∈ S p ( x ) c x p d | এফ মি - 1 | | এস | ≤ d | এফ মি - 1$c \in \mathbb F^m$$S$$c$$x \in S$$p(x)$$c$$x$$p$$d$$|\mathbb F^{m-1}|$$|S| \leq d\ |\mathbb F^{m-1}|$

Comments

সুন্দর! এবং কেবল একটি গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টকে জোর দেওয়ার জন্য, লাইনটি হাইপারস্ফেসে থাকে না কারণ এটি পয়েন্ট সি দিয়ে যায় যা পৃষ্ঠের বাইরে থাকে outside

— অর্ণব

@নাব: প্রকৃতপক্ষে, আপনি নিজের পোস্টে ইতিমধ্যে সুন্দরভাবে বিষয়টিটি তৈরি করেছেন।

— ভোগেনসেন

@নাব: বিটিডাব্লু, আমি আশা করি এটা পরিষ্কার হয়ে গেছে যে আমি এই ধারণাটি সত্যই "নতুন" দাবি করছি না। এই সমস্ত প্রমাণ একই গন্ধ আছে। এটাই সম্ভবত প্রত্যাশিত।

— ভোগেনসেন

@ পিয়ার: হ্যাঁ, তবে কোনও কারণে আমি মোশকোভিটসের চেয়ে আপনার যুক্তির সংস্করণটি পছন্দ করি কারণ এটি কোনওরকম আরও জ্যামিতিক বলে মনে হয় এবং আপনাকে শীর্ষস্থানীয় মনোমালিকাগুলি সম্পর্কে ভাবতে হবে না। তবে আমি একমত, মূল ধারণাটি অনেকটা একই the

— অর্ণব

@ পিয়ার: আপনার অবদানগুলি ইতিমধ্যে দুর্দান্ত হয়েছে। হ্যাঁ, এগুলি সত্যই নতুন নয়, তবে আপনার ব্যাখ্যাটি আমি খুব পছন্দ করি। এটি একটি ধ্রুপদী সংগীতকে নতুন ব্যাখ্যা দেওয়ার মতো। :-)

— দাই লে

Answer 2

পার ভোগেনসনের উত্তরের অনুসরণ হিসাবে, ডানা মোশকভিত্জের প্রমাণ ইতিমধ্যে শোয়ার্জ-জিপ্পেল লেমার সামান্য দুর্বল সংস্করণের জন্য একটি খুব সহজ প্রমাণের প্রস্তাব দিয়েছে যা আমার ধারণা, বেশিরভাগ অ্যাপ্লিকেশনের পক্ষে যথেষ্ট।

যাক ডিগ্রী একটি অশূন্য বহুপদী হতে , যেখানে আদেশের একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্র , এবং দিন বিন্দু যেমন । আছে অনেক স্বতন্ত্র লাইনের মাধ্যমে ক্ষণস্থায়ী যেমন যে তারা পার্টিশন । এর সীমাবদ্ধতা এই লাইন প্রতিটি একটি ডিগ্রী univariate কারণ এটি এ অশূন্য হয়, বহুপদী, যা অশূন্য হয় , এবং তাই, সর্বাধিক হয়েছে শূন্য। সুতরাং, এর শূন্যের মোট সংখ্যা ঘ এফ কুই এক্স ∈ এফ এন এফ ( এক্স ) ≠ 0 ( কুই এন - 1 ) / ( কুই - 1 ) x এফ এন - { এক্স } চ ঘ এক্স ঘ চ ঘ ( কুই এন - 1 ) / ( q - 1 ) d q $f : \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}$$q$$x \in \mathbb{F}^n$$f(x) \neq 0$$(q^n-1)/(q-1)$$x$$\mathbb{F}^n-\{x\}$$f$$d$ $x$$d$$f$সর্বাধিক । শোয়ার্জ-Zippel তুলনা জন্য, দেয় শক্তিশালী উপরের বাউন্ড ।$d(q^n-1)/(q-1)$$d q^{n-1}$

এই প্রমাণের স্বাচ্ছন্দ্য দেওয়া, আমি নিশ্চিত এটি লোককাহিনী; যদি না হয়, এটি হওয়া উচিত :) যদি কেউ কোনও রেফারেন্স সরবরাহ করতে পারে তবে আমি প্রশংসা করব।

Comments

খুব সুন্দর! আপনি কি জানতেন যে তিনি ঠিক একই জিনিসটি করেছেন, কেবলমাত্র অফাইন পয়েন্টের পরিবর্তে অসীমের কোনও প্রক্ষেপণ বিন্দু দিয়ে? সম্পর্কটিকে আরও ব্যাখ্যা করতে আমি আমার মূল উত্তরে একটি অনুচ্ছেদ যুক্ত করেছি।

— প্রতি ভোগেনসেন

আহ, এটি একটি দুর্দান্ত ব্যাখ্যা! ধন্যবাদ!

— অর্ণব

Answer 3

মোশকভিটসের প্রমাণ সাধারণ জ্যামিতির উপর ভিত্তি করে তবে কাগজটি সে সম্পর্কে খুব বেশি পরিষ্কার নয়। এই ধারণাটি এখানে:

ভেরিয়েবলগুলিতে একটি ডিগ্রি বহুবর্ষীয় একটি হাইপারসারফেসকে কেটে দেয় । হাইপারসার্ফেস এবং একটি স্বতন্ত্র রেখার ছেদ (অর্থাৎ ছেদটি পুরো লাইন নয়) সর্বাধিক ডি পয়েন্ট থাকে। হাইপারসফেসের চেয়ে সর্বত্র স্বতন্ত্র কোনও দিক আপনি যদি খুঁজে পেতে পারেন তবে আপনি direction সেই দিকের সমান্তরাল রেখাগুলি দ্বারা ফলিত করতে এবং প্রতিটি লাইনের মধ্যে ছেদগুলি গণনা করতে পারেন। ফলিশনটি দিকের অর্থোগোনাল পরিপূরক দ্বারা প্যারামিটারাইজড হয়, যা হাইপারপ্লেন আইসোমর্ফিক থেকে , সুতরাং across এর সবকটিতে হাইপারসফেস পয়েন্টের মোট সংখ্যা সর্বাধিক is ।এম এফ এম এফ এম এফ এম - 1 ফ এম ডি | এফ | মি - $d$$m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^{m-1}$$\mathbb F^m$$d\ |F|^{m-1}$

এটি প্রস্তাব দেয় যে অনুরূপ লাইন বরাবর অন্যান্য প্রমাণ কাজ করতে পারে।

সম্পাদনা: অর্ণবের প্রমাণ কীভাবে মোশকভিত্জের সাথে সম্পর্কিত তা নিয়ে আমি কিছুটা বলতে চাই। তিনি হাইপারসফেসের বাইরে একটি পয়েন্ট নেন এবং সেই বিন্দুটির মধ্য দিয়ে লাইনগুলির পেন্সিল বিবেচনা করেন। মোশকভিত্জ সমান্তরাল লাইনের একটি পরিবারকে বিবেচনা করে। এটি অন্যরকম মনে হলেও সত্যই এটি একই জিনিস! সমান্তরাল পরিবার হ'ল অসীমের বিন্দুর মধ্য দিয়ে লাইনের পেন্সিল। অর্ণবের বীজগণিতটি ভারব্যাটিম প্রয়োগ করে যদি আপনি প্রথম বহুবচনটির সমজাতীয় হন এবং ডাব্লু এ প্লাগ করে অনন্তের হাইপারপ্লেনের মধ্যে সীমাবদ্ধ করেন , যা সমস্ত অ-নেতৃত্বাধীন পদগুলি মুছে ফেলে।$w = 0$

সম্পাদনা করুন: নতুন (তবে সম্পূর্ণ সম্পর্কিত নয়) প্রমাণের জন্য আমার অন্য উত্তরটি দেখুন।

Answer 4

চেষ্টা 1:

আপনি কি অরোরা / বারাকের বইয়ের লেমা এ.36 (পৃষ্ঠা 529) দেখেছেন ? এটি প্রায় অর্ধেক পৃষ্ঠা, এবং অন্তর্ভুক্তির উপর ভিত্তি করে।

আপনার যদি বইটিতে অ্যাক্সেস না থাকে তবে আমি এখানে প্রমাণটি সম্পাদন করতে পারি।

---

চেষ্টা 2:

শোয়ার্জ-জিপ্পেল লেমার কৌতূহল ইতিহাস সম্পর্কে কী ? অন্যগুলির মধ্যে এটি ডিমিলো-লিপটনের কাগজটি উদ্ধৃত করে যা ১৯ 1977 সাল থেকে শুরু হয়েছিল Several

---

চেষ্টা 3:

নিম্নলিখিত ম্যাথওভারফ্লো প্রসঙ্গটিও আগ্রহের বিষয় হতে পারে: বহুপদী পরিচয় পরীক্ষার জন্য পি / পলি অ্যালগরিদম ।

Comments

হ্যা, আমি করেছিলাম. তবে এই প্রমাণটি মূলত উইকিপিডিয়া থেকে প্রাপ্ত সমান।

— দাই লে

Answer 5

শোয়ার্টজ-জিপ্পেল লেমা হ'ল নোগা অ্যালোন এবং জোল্টান ফেরাদির একটি উপপাদকের একটি বিশেষ কেস যা এই কাগজের ৪ নং বিভাগে দেখানো হয়েছে: একটি ফিনিট গ্রিডে পলিনোমিয়ালের জেরোসের উপর , এবং সেই কারণে এই উপপাদ্যের যে কোনও নতুন প্রমাণ শোয়ার্জের নতুন প্রমাণ দেয় -Zippel। এখন পর্যন্ত, আমি ছয়টি পৃথক প্রমাণ জানি, যার মধ্যে দুটি কাগজে প্রদর্শিত হয় এবং অন্যগুলি সেখানে উল্লেখ করা হয়।

অ্যালন-ফুরেডি উপপাদ্যটি নিম্নরূপ বলেছেন:

যাক একটি ক্ষেত্র হতে যাক একটি নির্দিষ্ট গ্রিড হবে | এমন একটি বহুপদী হতে যা তে অভিন্ন অদৃশ্য হয় না । তারপর জন্য অন্তত উপাদান , যেখানে ন্যূনতম সব ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা অধিগৃহীত হয় সঙ্গে ।এ = ∏ এন আই $F$$A = \prod_{i=1}^n A_i \subset F^n$$f \in F[\underline{t}] = F[t_1,\ldots,t_n]$$A$$f(x) \neq 0$$\min \prod y_i$$x \in A$$y_i \leq \# A_i$$\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n \# A_i - \deg f$

এতে যদি আপনি ধরে এবং সর্বনিম্ন কাজ করেন (যা কাগজে উল্লিখিত বিনের জিনিসপত্রগুলিতে সহজেই ব্যবহার করা যেতে পারে), তবে আপনি কোনও ক্ষেত্রের উপরে শোয়ার্জ-জিপ্পেল লেমা পেতে পারেন (বা একটি ডোমেইন).$\deg f < \min \#A_i$

Comments

আপনি web.stanford.edu/~rrwill/ographic-cr.pdf এ লেমমা ২.২ একবার দেখে নিতে পারেন ? রায়ান উইলিয়ামস আমার মন্তব্যের উত্তরে তাঁর মন্তব্যে এর অর্থ এটি এবং এটি আমার টুডোর তালিকায় রয়েছে যেহেতু এটিকে পরিবহণের রিংগুলিতে সাধারণীকরণ করা যায় কিনা তা খতিয়ে দেখার জন্য। আমার কাছে মনে হয় আপনি বর্তমানে আমার চেয়ে অনেক গভীরে রয়েছেন, তাহলে আপনি কেন চেষ্টা করে দেখুন না?

— থমাস ক্লিম্পেল

@ থমাসক্লিম্পেল: আমি উত্তরটি পরিবর্তন করব। আমি যখন সিএস থিওরি স্ট্যাকেক্সচেঞ্জ ব্যবহার শুরু করেছি তখন আমি এটি লিখেছিলাম। এবং হ্যাঁ, m 0,1} ^ n সর্বদা কন্ডিশন (ডি) কে সন্তুষ্ট করে থেকে লেমমা ২.২ স্বেচ্ছাসেবী কমিটিকেটিভ রিংয়ের উপরে কাজ করে।

— অনুরাগ

একটি নির্বিচারে পরিবহণ রিং এর একটি উপসেট কন্ডিশন (ডি) কে সন্তুষ্ট করতে বলা হয় যদি , সমস্ত for হয় তবে শূন্য বিভাজক নয়। একটি "গ্রিড" বলা হয় যদি সমস্ত তাদের সন্তুষ্ট করে তবে এই শর্তটি পূরণ করবে। শোয়ার্টজ-জিপ্পেল এবং অন্যান্য সম্পর্কিত ফলাফল, এই সাধারণীকরণের অধীনে কাগজে প্রদর্শিত হিসাবে কাজ করে। $S$$R$$x \neq y \in S$$x - y$$A_1 \times \dots \times A_n \subseteq R^n$$A_i$

— অনুরাগ

Answer 6

শোয়ার্জ-জিপ্পেল লেমার মূল সূত্রটি শুধুমাত্র ক্ষেত্রগুলিতে প্রযোজ্য:

লেমা (শোয়ার্জ, জিপ্পেল)।
যাক হতে একটি নন-জিরো মোট ডিগ্রী বহুপদী একটি ক্ষেত্র, ওভার । যাক একটি সসীম উপসেট হতে দিন থেকে স্বাধীনভাবে অবিশেষে এলোমেলোভাবে নির্বাচিত করা । তারপরে $P\in F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$F$$S$$F$$r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

কেউ লেমাকে এমনভাবে সংস্কার করতে পারে যে এটি স্বেচ্ছাসেবী পরিবহণের রিংয়ের জন্য অর্থবোধ করে:

লেমা (জেবেক)।
যাক একটি নন-জিরো মোট ডিগ্রী বহুপদী হতে একটি বিনিময় রিং ধরে । যাক একটি সসীম উপসেট হতে সঙ্গে দিন থেকে স্বতন্ত্র এবং অভিন্নভাবে এলোমেলোভাবে নির্বাচন করা হবে । তারপরে $P\in R[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$R$$S$$R$$\forall s, t\in S:((\exists u\in R:(u\neq 0\land su=tu))\Rightarrow s=t)$ এস পি [ পি ( আর 1 , আর 2 , … , আর এন ) = 0 ] ≤ $r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

উইকিপিডিয়া থেকে প্রাপ্ত প্রমাণের সুবিধাটি হ'ল এটি সাধারণভাবে প্রমাণিত করে যে সংশোধনীটি যথেচ্ছ পরিবহণের রিংয়ের ক্ষেত্রে সত্য, যা এখানে এমিল জেবেক লক্ষ্য করেছেন এবং কার্যকর করেছেন ।

এটি সাধারণ আঞ্চলিক রিংগুলির জন্য সংস্কার প্রমাণ করে এবং ক্ষেত্রের একটি প্রতীক হিসাবে সাধারণ সূত্র গ্রহণের মাধ্যমে শোয়ার্জ-জিপ্পেল লেমার বিকল্প প্রমাণ দেয়।

Comments

বহুবচন হ'ল আবর্তিত রিংগুলির জন্য নিখরচায় বীজগণিত, অর্থাত্ সংযোজিত বিপরীতগুলি, গুণ এবং কমিউটিভেটিভ রিংয়ের অক্ষগুলির সাথে সম্পর্কিত স্থিরতাগুলি দ্বারা নির্ধারিত মুক্ত বীজগণিত। প্রাথমিক প্রত্যাশা ছিল শ্যোয়ার্টজ-জিপ্পেল লেমার একটি সাধারণ বীজগণিতের জন্য সাধারণীকরণের সন্ধান, যা অতিরিক্তভাবে নিয়মিত রিংয়ের অক্ষগুলির সাথে সম্পর্কিত (জেনারালাইজড) গুণক বিপরীতগুলি ধারণ করে । জানুয়ার এ বার্গস্ট্রার কাজও দেখুন ।

— টমাস ক্লিম্পেল

কম অনুমান এবং একটি দুর্বল ত্রুটিযুক্ত আবদ্ধ সহ এই পর্যবেক্ষণের আর একটি সংস্করণ উপস্থিত হয় এবং ভার্জিনিয়া, জোশ ওয়াং এবং হুয়াচেং ইউ-এর সাথে SODA'15 তে একটি কাগজে একটি সীমাবদ্ধ আকারে (কেবলমাত্র জন্য ) প্রয়োগ করা হয় : "চারটি নোড সাবগ্রাফ সন্ধান করা ত্রিভুজ সময় "...$Z_m$

— রায়ান উইলিয়ামস

@ রায়ানউইলিয়ামস পেপার অন ​​পলিনোমিয়াল অফ জিরোস অফ ফিনিট গ্রিডে অনুরাগ বিশ্বনয়ের সাম্প্রতিক উত্তরে উদ্ধৃত হয়েছে যে উপরের লেমা, এলোডা-ফুরেডি উপপাদ্য এবং লেমাকে ২.২ এই SODA'15 কাগজ থেকে জেনারেল করেছে (এবং সীমাটির তীক্ষ্ণতা প্রমাণ করেছেন) । এ জাতীয় জেনারেলাইজেশনটি খুঁজে পাওয়ার জন্য আপনার মন্তব্যের পর থেকেই এটি আমার টুডোর তালিকায় ছিল, সুতরাং এটি আমার দৃষ্টিকোণ থেকে একটি উল্লেখযোগ্য অর্জন (যাতে লেখকরা অভিনন্দন জানাতে পারে)।

— টমাস ক্লিম্পেল