গেটগুলির স্বেচ্ছাসেবী সেটগুলির তুলনায় সার্কিট নিম্ন সীমানা

Question

১৯৮০ এর দশকে, রাজবরোভ বিখ্যাতভাবে দেখিয়েছিলেন যে স্পষ্ট মনোোটোন বুলিয়ান ফাংশন রয়েছে (যেমন ক্লিক্যু ফাংশন) যার জন্য গণনা করার জন্য তাত্পর্যপূর্ণভাবে অনেকগুলি এবং এবং গেটের প্রয়োজন হয়। তবে, বুলিয়ান ডোমেনের উপরে {এবং, বা} ভিত্তিতে {0,1 একটি আকর্ষণীয় গেট সেটটির একটি উদাহরণ যা সর্বজনীন হতে পারে না। এটি আমার প্রশ্নের দিকে পরিচালিত করে:

মনোটোন গেট থেকে আকর্ষণীয়ভাবে আলাদা গেটের অন্য কোনও সেট রয়েছে, যার জন্য সার্কিটের আকারের তাত্পর্যপূর্ণ নিম্ন সীমানা জানা যায় (সার্কিটের কোনও গভীরতা বা অন্যান্য বিধিনিষেধ নেই)? যদি তা না হয় তবে রাবারবোরের একঘেয়েমি-সার্কিটের ফলাফল না হওয়ায় এমন কোন গেটের এমন আরও কিছু গেট রয়েছে যা এমন নিম্ন সীমানা --- সীমানার জন্য প্রাকৃতিক প্রুফ বাধা অতিক্রম করার প্রয়োজন হবে না?

যদি এই জাতীয় গেট সেট বিদ্যমান থাকে তবে অবশ্যই এটি K3 এর জন্য কে-অ্যারি বর্ণমালার উপরে থাকবে। কারণটি হ'ল, বাইনারি বর্ণমালা জুড়ে the

(1) মনোোটোন গেটস ({এবং, বা}),

(2) লিনিয়ার গেটস ({নয়, এক্সওআর।), এবং

(3) সর্বজনীন গেটস ({এবং, বা না,})

পোস্টের শ্রেণিবিন্যাসের উপপাদ্য থেকে নীচে নিম্নলিখিতভাবে আকর্ষণীয় সম্ভাবনাগুলি নিঃশেষিত করুন। (মনে রাখবেন যে আমি ধরে নিলাম যে বাইনারি ক্ষেত্রে 0 এবং 1 ধ্রুবক --- সর্বদা নিখরচায় উপলব্ধ।) লিনিয়ার গেটের সাথে প্রতিটি বুলিয়ান ফাংশন f: {0,1} ⁿ → {0,1} এটি একরকম রৈখিক-আকারের সার্কিট দ্বারা গণনযোগ্য; একটি সর্বজনীন সেট সহ, অবশ্যই আমরা প্রাকৃতিক প্রুফ এবং অন্যান্য ভয়াবহ বাধা বিরুদ্ধে আছি।

অন্যদিকে, আমরা যদি 3- বা 4-চিহ্নের বর্ণমালার (যেমন উদাহরণস্বরূপ) গেট সেটগুলি বিবেচনা করি, তবে সম্ভাবনার বিস্তৃত সেট খোলে --- এবং কমপক্ষে আমার জ্ঞানের ক্ষেত্রে, সেই সম্ভাবনাগুলি কখনই পুরোপুরি ম্যাপ করা যায়নি never জটিলতা তত্ত্বের দৃষ্টিকোণ থেকে (দয়া করে আমি ভুল হলে আমাকে সংশোধন করুন)। আমি জানি যে সম্ভাব্য গেট সেটগুলি সর্বজনীন বীজগণিতের "ক্লোনস" নামে ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করা হয়; আমি আশা করি আমি সেই সাহিত্যের সাথে আরও কথোপকথন হয়েছিলাম যাতে আমি জানতাম যে সেই অঞ্চল থেকে প্রাপ্ত ফলাফলগুলি সার্কিট জটিলতার জন্য কী বোঝায়।

যাই হোক না কেন, এই প্রশ্নটির বাইরে এমনটি মনে হয় না যে প্রবীণদের জন্য অন্যান্য নাটকীয় সার্কিট লোয়ার সীমাগুলি পাকা রয়েছে, যদি আমরা কেবলমাত্র সীমাবদ্ধ বর্ণমালার উপর গেট সেটগুলির শ্রেণি প্রসারিত করি যা আমরা বিবেচনা করতে ইচ্ছুক। আমি যদি ভুল হয়ে থাকি তবে কেন আমাকে বলুন!

Comments

$f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^n$$\Omega(\frac{n^2}{\log(n)})$

কেবলমাত্র একটি দ্রষ্টব্য: আপনি যদি কোনও অ হ্রাসপ্রাপ্ত আসল ফাংশন গণনা করে এমন ফটকগুলির সাথে মনোটোন বুলিয়ান গেটগুলি প্রতিস্থাপন করেন তবে আপনি সার্কিট আকারে ঘনিষ্ঠ নিম্ন সীমানা পাবেন। এটি পুডলাক দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল: রেজোলিউশন প্রুফ এবং কাটিয়া কাটানোর জন্য নিম্ন সীমানা এবং একঘেয়ে গণনা , সিম্বের জে। যুক্তি 62 (3), 1997, পিপি 9.81-998।

— ইড্ডো টাজামেরেট

গ্রিগরি: ধন্যবাদ; ওপিতে সেটা উল্লেখ করব কিনা তা নিয়ে আমি বিতর্ক! আপনি ঠিক বলেছেন যে একটি লিনিয়ার ফাংশন গণনা করার জন্য আমাদের প্রয়োজনীয় এক্সওআর গেটের সংখ্যার উপর স্পষ্টতর সুপারলাইনার নীচে আবদ্ধ নেই f: {0,1} ⁿ & rarr; {0,1} < চুমুক দিয়া পান> এন </ চুমুক দিয়া পান>। অন্যদিকে, লিনিয়ার ট্রান্সফর্মেশনগুলির জন্য প্রার্থীদের সাথে আসা কঠিন নয় যে <i> </i> কে ওমেগা লাগানো উচিত; , এবং ব্র্যাম কোহেন একটি উদাহরণস্বরূপ ফাংশন প্রস্তাব করেছিলেন যার জন্য & ওমেগা প্রয়োজন (n ^3/2) XOR গেট (আমি এটি মনে করি না তবে তাকে জিজ্ঞাসা করতে পারি)।

— স্কট অ্যারনসন

এমনকি বর্ণমালা আকার 3 এর জন্য ক্লোনগুলির জালিকাগুলি অগণনীয় এবং এতে প্রতিটি প্যারিট স্লিটস সাব্ল্যাটিসিস হিসাবে থাকে। সুতরাং বিবেচনা করার জন্য অপারেশনের অনেকগুলি সম্ভবত আকর্ষণীয় ঘাঁটি রয়েছে। সার্কিট লোয়ারসাইডের জন্য নন-বুলিয়ান ক্লোন ব্যবহার করার কোনও কাজ সম্পর্কে আমি অবগত নই, তবে এটি আরও গভীরতার সাথে তদন্ত করার মতো বলে মনে হচ্ছে।

— আন্দ্রেস সালামন

স্কট, আপনি কি বৃহত্তর অ্যাফাবেটগুলির চেয়ে এসি AC 0 শ্রেণির জন্য উপযুক্ত এনালগ সম্পর্কে জানেন? আমি আরও মন্তব্য করতে পারি যে কেউ বৃহত্তর বর্ণমালাগুলির জন্য একঘেয়েত্বের ধারণা বিবেচনা করতে পারে (এলচানান মোসেল এবং আমি সেই ফ্রন্ট.ম্যাথ.কমডাভিস.ইডু ১০/ ১১.৩566 for এর জন্য তীক্ষ্ণ স্তরের সম্পর্কে লিখেছি ) তাই সম্ভবত রাসবরোভের উপপাদ্যটি নির্দিষ্ট বর্ণনার জন্য বৃহত্তর বর্ণমালার উপর একরঙা সিরিটের জন্য প্রসারিত হয়েছে monotonicity।

— গিল কালাই

Answer 1

(সুরেশের পরামর্শ মতো মন্তব্য থেকে সরানো হয়েছে comment মন্তব্যে কিছু ত্রুটি এখানে স্থির করা আছে নোট করুন))

একটি দুর্দান্ত প্রশ্নের জন্য স্কটকে ধন্যবাদ।

স্কট বলে মনে হচ্ছে যে নিম্ন সীমানার অসুবিধার কারণ বুলিয়ান ক্ষেত্রে পরিচালনার সীমিত ভাষা হতে পারে। শ্যাননের গণনা যুক্তি যা বেশিরভাগ সার্কিট দেখায় তা অবশ্যই গণনাযোগ্য অভিব্যক্তিপূর্ণ শক্তি এবং প্রচুর পরিমাণে সার্কিটের মধ্যে ব্যবধানের উপর নির্ভর করে। বর্ণমালায় কমপক্ষে 3 টি প্রতীক থাকলে এই ব্যবধানটি সরে যাবে বলে মনে হয়।

বর্ণমালার আকার 2 (বুলিয়ান কেস) এর জন্য, ক্লোনগুলির জালিকাগুলি যথেষ্ট পরিমাণে অসীম এবং এটিকে পোস্টের জালিকা বলা হয় ।

পোস্টের জালিয়াতিগুলিও পরিষ্কার করে দেয় যে বুলিয়ান মামলার জন্য কেন কয়েকটি আকর্ষণীয় ঘাঁটি রয়েছে।

বর্ণমালার আকারের জন্য 3 বা তার চেয়ে বেশি ক্লোনগুলির জালিয়াতি অযোগ্য। তদ্ব্যতীত, জালগুলি কোনও অনিয়ন্ত্রিত জালিয়াতির পরিচয় পূরণ করে না, তাই জালির সম্পূর্ণ বিবরণ সরবরাহ করা অসম্ভব বলে মনে হচ্ছে। বর্ণমালার আকারের 4 বা ততোধিক ক্লোনির ল্যাটিসগুলিতে প্রকৃতপক্ষে প্রতিটি সীমাবদ্ধ ল্যাটিক্স একটি সাবল্যাটিস হিসাবে রয়েছে। সুতরাং বর্ণমালায় 3 বা ততোধিক চিহ্ন রয়েছে কিনা তা বিবেচনা করার জন্য অপারেশনের অনেকগুলি সম্ভবত আকর্ষণীয় ঘাঁটি রয়েছে।

• বুলাটোভ, আন্দ্রেই এ।, ক্লোন জালাগুলির দ্বারা সন্তুষ্ট শর্তাদি , বীজগণিত ইউনিভার্সালিস 46 237–241, 2001. ডয়ি: 10.1007 / PL00000340

স্কট আরও জিজ্ঞাসা করেছিল: ক্লোনগুলির জালিকাগুলি কি অনুমানযোগ্য হয় যদি আমরা ধরে নিই যে ধ্রুবকগুলি নিখরচায় পাওয়া যায়?

উত্তরটি এটি করে, উদাহরণস্বরূপ দেখুন

• Gradimir Vojvodić, Jovanka Pantović এবং Ratko Tošić, একটি ইউনারী ফাংশন ধারণকারী ক্লোনস সংখ্যা , NSJOM 27 83-87, 1997. ( পিডিএফ )
• জে পন্টোভিয়, আর। টোয়েইস এবং জি ভোজভোডিয়, তিনটি উপাদান সেটটিতে কার্যত সম্পূর্ণ বীজগণিতগুলির কার্ডিনালিটি , বীজগণিত ইউনিভার্সালিস 38 136–140, 1997. ডয়ি : 10.1007 / এস 1000120050042

যদিও আপাতদৃষ্টিতে এটি আগে প্রকাশিত হয়েছিল:

• জগস্টন, আই।, ডিমেট্রোভিক্স, জে। এবং হান্নাক, এল । সমস্ত ধ্রুবক সমন্বিত ক্লোনগুলির সংখ্যার উপর , কল। ম্যাথ। SOC। জ্যানোস বলাই 43 21-25, 1983।

একটি দুর্দান্ত নির্দিষ্ট বিবরণটি এসেছে:

• এ। বুলাটোভ, এ। ক্রোখিন, কে। সাফিন, এবং ই। সুখানভ, ক্লোন জালাগুলির কাঠামোয় , ইন: "জেনারেল বীজগণিত এবং পৃথক গণিত", সম্পাদক: কে ডেনেক এবং ও লুয়েডারস, ২–-৩–। হেলদারম্যান ভার্লাগ, বার্লিন, 1995. ( পিএস )

$k \ge 3$$\mathcal{L}_k$$2^{\aleph_0}$

মোড়ানোর জন্য, আমি সার্কিট নিম্ন সীমানার জন্য নন-বুলিয়ান ক্লোন ব্যবহার করার কোনও কাজ সম্পর্কে অবগত নই। এটি আরও গভীরতার সাথে তদন্ত করার যোগ্য বলে মনে হচ্ছে। ক্লোনগুলির জাল সম্পর্কে জানা যায় এমন তুলনামূলকভাবে সামান্য কিছু দেওয়া হলেও, অপারেশনগুলির আকর্ষণীয় ঘাঁটিগুলি আবিষ্কার হওয়ার জন্য অপেক্ষা করতে পারে।

ক্লোন তত্ত্ব এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানের মধ্যে আরও লিঙ্কগুলি সম্ভবত সার্বজনীন বীজগণিতে কাজ করা গণিতবিদদের জন্য খুব আগ্রহী হবে। এই ধরণের মিথস্ক্রিয়াটির পূর্ববর্তী উদাহরণটি যখন পিটার জেভনস দেখিয়েছিলেন যে বীজগণিতগুলি সীমাবদ্ধ ভাষার সাথে যুক্ত হতে পারে, এমনভাবে যাতে ট্র্যাজিবিলিটি ফলাফলকে বীজগণিতের বৈশিষ্ট্যে অনুবাদ করা যায়। আন্দ্রেই বুলাটোভ এটি ব্যবহার করে ডোমেন আকারের সিএসপিগুলির দ্বন্দ্ব প্রমাণ করার জন্য the. অন্যদিকে, কম্পিউটার বিজ্ঞানের প্রয়োগের ফলস্বরূপ বন্ধুত্বের তত্ত্বের প্রতি আগ্রহের পুনর্জীবন ঘটেছে। আমি ভাবছি ক্লোন তত্ত্ব এবং নন-বুলিয়ান সার্কিট জটিলতার মধ্যে একটি লিঙ্ক থেকে কী অনুসরণ করবে।

Comments

অ্যানড্রেসকে অনেক ধন্যবাদ! আমি জগস্টন এট আল দ্বারা কাগজটি যাচাই করব। যখন আমি সুযোগ পাই এর মধ্যে আমি প্যান্টোভিট এট আল-এর একটি 3-উপাদান সেটটিতে সর্বাধিক অসম্পূর্ণ ক্লোনগুলির তালিকাটি পেয়েছি। আপনার সাথে লিঙ্ক করা কাগজ, এবং আমি তাদের মধ্যে কোনও "নতুন" সার্কিট নিম্ন সীমানার প্রার্থী বলে মনে করি না। (তাদের কারও জন্য, ক্ষুদ্রতর নিম্ন সীমানা তত্ক্ষণাত্ রাজবরোভের একঘেয়ে নিম্ন প্রান্ত থেকে অনুসরণ করে; অন্যদের জন্য, আমাদের সাধারণ সার্কিটের জন্য বা লিনিয়ার সার্কিটের জন্য নিম্ন সীমানার প্রয়োজন হবে)) তবে কে = 3 ক্ষেত্রেও, পূর্ববর্তীগুলির চেয়ে ছোট ক্লোনগুলি রয়েছে ones এখনও তাকানো মূল্যবান বলে মনে হচ্ছে।

— স্কট অ্যারনসন

Answer 2

সুরেশের পরামর্শ মতো এটি মন্তব্য থেকে সরানো হয়েছে।

$f:{0,1}^n \rightarrow {0,1}^n$$\Omega(\frac{n^2}{\log(n)})$

$\frac{n^2}{\log(n) * c}$$c$

$\Omega(n log n)$$\Omega(n^{3/2})$

সম্পাদনা ২. প্রধান বাধা হ'ল আমাদের কাছে লিনিয়ার গেটগুলির জন্য অ-রৈখিক নিম্ন সীমানা প্রমাণ করার জন্য কোনও পদ্ধতি নেই, যতদূর আমি জানি (লিনিয়ার নিম্ন সীমানার জন্য কেউ গেট নির্মূলকরণ ব্যবহার করতে পারে, এটি দেওয়ার সম্ভাবনা খুব কম) -লাইনারি সীমা)। যদিও এটি লিনিয়ার বীজগণিত থেকে কিছু পদ্ধতির মতো দেখে মনে হচ্ছে এটি অবশ্যই সহায়ক হবে। সুতরাং প্রার্থীদের সাথে উপস্থিতি দুর্দান্ত, তবে যাইহোক কিছু নতুন পদ্ধতির প্রয়োজন।

Answer 3

1. $\{0,1\}$$a$$Z_3^n=\{0,1,2\}^n$$\min(x,y)$$xy\mod{2}$$f(a)=0$$a$$0$$2$'s অন্তত সংখ্যা ' s। তিনি শো যে কোনো বর্তনী (ওভার মিনিট / XOR যাও) যে ভিত্তি সম্পর্কে প্রয়োজন গনা দরজা । তবে তা ছিল! আমি পাটিগণিত সার্কিটগুলির স্টাফ বাদে অনুরূপ অনুকূলে (আরও বড়, তবে এখনও সীমাবদ্ধ, ডোমেনগুলি) পরবর্তী কোনও ফলাফল সম্পর্কে অবগত নই। তবে কেবল সার্কিটের জন্য - ব্রাঞ্চিং প্রোগ্রামের জন্য বৃহত্তর ডোমেনগুলিতে যাওয়া নিম্ন সীমানার কাজটিকে কিছুটা সহজ করে তোলে। $a$$1$$2^n/\sqrt{n}$$f$

2. এক্সওআর গেটগুলির সাথে সার্কিটগুলি। এখানে এমনকি গভীরতার কেসটি ব্যাপকভাবে উন্মুক্ত। সুস্পষ্ট রৈখিক রূপান্তরকরণের জন্য সর্বাধিক নিম্ন সীমাতে ওভার এর ফর্ম । ধ্রুবত জন্য like এর মতো সীমাবদ্ধ প্রমাণ করা এমনকি গভীরতা এবং এমনকি যদি কেবল এক্সওআর গেটের অনুমতি দেওয়া হয় তবে এটি একটি চ্যালেঞ্জ।$2$$y=Ax$$GF(2)$$n\log^{3/2}n$$n^{1+c}$$c>0$$2$

Comments

প্রিয় স্ট্যাসিস, আমি কি আপনাকে নিজের অ্যাকাউন্টটি নিবন্ধ করার পরামর্শ দিতে পারি ? এটি আপনাকে উত্তর পোস্ট করার জন্য একই ব্যবহারকারীর অ্যাকাউন্টটি ব্যবহার করতে এবং অন্যান্য জিনিসের মধ্যে পরে এডিট করার অনুমতি দেবে। (আপনি নিবন্ধভুক্ত করার সিদ্ধান্ত নিচ্ছেন কিনা তা আমাকে জানতে দিন এবং আমি আপনার আগের অ্যাকাউন্টগুলিতে এটি একত্রীকরণ করব যাতে আপনি আপনার আগের পোস্টগুলিও সম্পাদনা করতে পারেন))

— কাভেঃ

ধন্যবাদ, কাভেহ, আমি এখনই নিবন্ধভুক্ত। স্কটের পরামর্শ (বৃহত্তর ডোমেনগুলিতে যান) "বাস্তববাদী" দৃষ্টিকোণ থেকে আকর্ষণীয়ও হতে পারে। বলুন, ন্যাপস্যাক এর সাবসেট-সাম সমস্যার জন্য সার্কিটের সর্বনিম্ন সর্বোচ্চ / প্লাস গেটগুলির সংখ্যা কত ? মান গতিশীল প্রোগ্রামিং আলগোরিদিম অনুকরণ এটা অতিরিক্ত তারের পরীক্ষা করতে অনুমতি যথেষ্ট পূর্ণসংখ্যার জন্য আমাদের ডোমেইনে। এই অ্যালগরিদম গেটের সংখ্যার উপরে একটি উচ্চতর দেয় । সমস্যা: প্রমাণ করুন যে গেটগুলি প্রয়োজনীয়। এর অর্থ হ'ল ডিপি ন্যাপস্যাকের জন্য আরও ভাল করতে পারে না। $K$$x_i=a$$a$$nK$$\Omega(nK)$

— স্ট্যাসিস