L_k- স্বতন্ত্রের জন্য ক্ষুদ্রতম এনএফএর আকারের সীমাগুলি

ভাষাটি বিবেচনা করুন যাতে $L_{k-distinct}$ সমস্ত $k$ লেলেটরের উপরের স্ট্রিং থাকে $\Sigma$ যেমন কোনও দুটি বর্ণ সমান নয়:

L k - d i s t i n c t : = {w = σ 1 σ 2 . . . σ k ∣ \forall i \in [k] : σ i \in Σ and \forall j \neq i : σ j \neq σ i}

$L_{k-distinct} :=\{w = \sigma_1\sigma_2...\sigma_k \mid \forall i\in[k]: \sigma_i\in\Sigma ~\text{ and }~ \forall j\ne i: \sigma_j\ne\sigma_i \}$

এই ভাষা সীমাবদ্ধ এবং তাই নিয়মিত। বিশেষত, যদি $\left|\Sigma\right|=n$ , তারপরে। $\left|L_{k-distinct}\right| = \binom{n}{k} k!$

এই ভাষাটি স্বীকার করে এমন ক্ষুদ্রতম অ-বিড়ম্বনকারী সসীম অটোমেটন কী?

আমার কাছে বর্তমানে নীচের looseিলে upperালা উপরের এবং নিম্ন সীমাগুলি রয়েছে:

আমি যে ক্ষুদ্রতম এনএফএ তৈরি করতে পারি তার মধ্যে রয়েছে। $4^{k(1+o(1))}\cdot polylog(n)$
নিম্নলিখিত লেমাটি রাষ্ট্রের নীচের সীমানাকে বোঝায় : $2^k$

যাক $L ⊆ Σ^*$ নিয়মিত ভাষা হতে। ধরুন আছে $n$ জোড়া $P = \{ (x_i, w_i) \mid 1 ≤ i ≤ n \}$ যেমন যে $x_i\cdot w_j \in L$ যদি এবং কেবল যদি $i=j$ । তারপরে যে কোনও এনএফএ স্বীকৃত এল এর কমপক্ষে এন স্টেট রয়েছে।

আর একটি (তুচ্ছ) নিম্ন সীমা $log$ $n\choose k$ , এটি ভাষার জন্য সবচেয়ে ছোট ডিএফএর আকারের লগ।

আমি এনএফএগুলিতেও আগ্রহী যারা এল_ only মাত্র একটি স্থির ভগ্নাংশ ( ) গ্রহণ করে, যদি অটোমেটনের আকার । $0<\epsilon<1$ $L_{k-distinct}$ $\epsilon\cdot 4^{k(1+o(1))}\cdot polylog (n)$

সম্পাদনা: আমি সবেমাত্র একটি অনুগ্রহ শুরু করেছি যার পাঠ্যে ভুল ছিল।

আমি বোঝাতে চেয়েছিলাম যে আমরা লিখতে ধরে নিতে পারি । $k=polylog(n)$ $k=O(log(n))$

Edit2:

অনুগ্রহ শীঘ্রই শেষ হতে চলেছে, তাই কেউ যদি এটি অর্জনের সম্ভবত সহজ উপায় কোন বিষয়ে আগ্রহী হন তবে নীচের ভাষাটি বিবেচনা করুন:

$L_{(r,k)-distinct} :=\{w : w$ রয়েছে $k$ স্বতন্ত্র চিহ্ন এবং কোন প্রতীক চেয়ে বেশি প্রদর্শিত $r$ বার $\}$ ।

(যেমন $L_{(1,k)-distinct} = L_{k-distinct}$ )।

মন্তব্যের মতো একটি অনুরূপ নির্মাণ সাইজের । $O(e^k\cdot 2^{k\cdot log(1+r)}\cdot poly(n))$ $L_{(r,k)-distinct}$

এই উন্নতি করা যায়? আমরা এই ভাষার জন্য সবচেয়ে ভাল নিম্নতম সীমাটি কী প্রদর্শন করতে পারি?

— আর বি
সূত্র

আপনি কি আপনার উপরের গতির এনএফএ বর্ণনা করতে পারেন?

— mjqxxxx

আমরা এখনও এটি নিয়ে কাজ করতে পারি না বলে আমি এখনও এটি লিখতে পারি না এবং প্রমাণটি পূরণ করি নি। পরিবর্তে, আমি আকারের একটি সহজ সরল অটোমেটনের বর্ণনা করব : একটি -র পার্শ্ববর্তী হ্যাশ পরিবার । এই জাতীয় প্রতিটি হ্যাশ একটি ফাংশন । এর অর্থ হ'ল বেশিরভাগ সাইজের আকারের প্রতিটি উপসেটের জন্য একটি ফাংশন রয়েছে যা এটি সাবসেটের প্রতিটি আইটেমকে বিভিন্ন সংখ্যায় ম্যাপ করে। হাশিংয়ের পরে, ফলিত বর্ণমালার অক্ষর রয়েছে, অতএব আকার একটি স্বয়ংক্রিয়তা L_ ভাষা গ্রহণ করতে পারে ।

O((2e)k∗2O(log(k))∗log(n)) $O((2e)^k * 2^{O(log(k))} * log(n))$

(n,k) $(n,k)$

H $H$

h:[n]→[k] $h: [n] \to [k]$

[n] $[n]$

k $k$

h∈H $h\in H$

k $k$

2k $2^k$

Lk−distinct $L_{k-distinct}$

— আরবি

নীচের গণ্ডি দেয় ঠিক এনএফএ ঠিক পদক্ষেপের পরে থাকতে পারে এমন সংখ্যার গণনা করে । আমি মনে করি না যে, আমি কোনো প্রমাণ পদ্ধতি যে কি ঠিক কি পরে কি দিকে তাকিয়ে চেয়ে প্রাপ্ত করা যাবে চেয়ে মোট আকার জন্য উল্লেখযোগ্যভাবে ভালো সীমার দেয় সচেতন , পদক্ষেপ কিছু । কিন্তু এখানে, যে জন্য সেখানে একটা NFA যে মাত্র এক হতে পারে রাজ্যের পর ঠিক রাজ্যের।

(2−o(1))k $(2-o(1))^k$

k/2 $k/2$

t $t$

(2+o(1))k $(2+o(1))^k$

t $t$

— নোম

প্রুফ (আমার পূর্ববর্তী দাবির): সবচেয়ে কঠিন কেস ; চয়ন বিভিন্ন র্যান্ডম সাব-সেট নির্বাচন (এর আকারের বর্ণমালা প্রতীক) ঠিক প্রতিটি এবং NFA প্রতিটি জন্য একটি রাষ্ট্র হয়েছে গঠন করা কিছু পথ প্রথম iff এটি শীর্ষে রয়েছে চিহ্নগুলি সমস্ত পৃথক এবং অন্তর্ভুক্ত রয়েছে এবং এর থেকে একটি গ্রহণযোগ্য পথ রয়েছে যদি নিম্নলিখিত চিহ্নগুলি সমস্ত পৃথক হয় এবং এর । একটি গণনা যুক্তি সেই whp (এস_আই এর এলোমেলো পছন্দ পছন্দ করে)

t=k/2 $t=k/2$

2k⋅poly(k,logn) $2^k \cdot poly(k, \log n)$

Si $S_i$

n $n$

t $t$

i $i$

t $t$

Si $S_i$

k−t $k-t$

Si $S_i$

Si $S_i$ এর) এই এনএফএ প্রকৃতপক্ষে পছন্দসই সমস্ত ভাষা গ্রহণ করবে।

— নওম

পূর্ববর্তী নির্মাণে, এনএফএ তৈরির সহজতম পদ্ধতিতে দৈর্ঘ্যের প্রতিটি সম্ভাব্য উপসর্গের জন্য

এবং দৈর্ঘ্যের প্রতিটি সম্ভাব্য প্রত্যয়ের জন্য

। পরিবর্তে, এনএফএর উপসর্গ অংশ এবং প্রত্যয় অংশ একই র্যান্ডমাইজড নির্মাণ (তবে এখন কেবল

এবং এর পরিপূরক যথাক্রমে) ব্যবহার করে পুনরাবৃত্তভাবে নির্মিত যেতে পারে এবং এটি একটি

মোট আকার দেয়। j<t $j < t$

j>k−t $j > k-t$

Si $S_i$

(4+o(1))k $(4+o(1))^k$

— নওম

উত্তর:

এটি কোনও উত্তর নয় তবে এমন একটি পদ্ধতি যা আমি বিশ্বাস করি যে উন্নত নিম্ন সীমানায় চলে যাবে। চিঠি পড়ার পরে সমস্যাটি কাটা যাক । দ্বারা এর এলিমেন্ট সেটগুলির পরিবার এবং এর পরিবারকে চিহ্নিত করুন দ্বারা এর উপাদান সেট । উপাদান পড়ার পর বলে যে নাগালের হতে পারে বোঝাতে দ্বারা (যে কোন অনুক্রমে) উপাদান পড়ার পর এবং রাজ্যের যা থেকে একটি গ্রহণ রাষ্ট্র পৌঁছে যাবে দ্বারা (যে কোন অনুক্রমে) $a$ $a$ $[n]$ $\mathcal A$ $b=k-a$ $[n]$ $\mathcal B$ $A$ $S_A$ $B$ $T_B$ । আমরা প্রয়োজন যে যদি এবং কেবল যদি । এটি ইতিমধ্যে প্রয়োজনীয় সংখ্যক রাজ্যের জন্য নিম্ন সীমাবদ্ধতা দেয় এবং আমি মনে করি এটি অ-তুচ্ছ কিছু দিতে পারে। $S_A\cap T_B\ne \emptyset$ $A\cap B=\emptyset$

এই সমস্যাটি মূলত হাইপারগ্রাফিকের লম্বের সংখ্যাটির নীচে নীচের দিকে আবদ্ধ হওয়ার জন্য জিজ্ঞাসা করে যার রেখাচিত্রটি (আংশিকভাবে) পরিচিত known অনুরূপ সমস্যাগুলি অধ্যয়ন করা হয়েছিল, যেমন, বল্লোবাস দ্বারা এবং বেশ কয়েকটি পরিচিত প্রমাণ পদ্ধতি রয়েছে যা কার্যকর হতে পারে।

আপডেট 2014.03.24: আসলে উপরে hypergraph উপর উপলব্ধি করা যায় যদি ছেদচিহ্ন, তারপর আমরা দৈর্ঘ্যের একটি অ-নির্ণায়ক যোগাযোগ জটিলতা প্রোটোকল পেতে আকারের ইনপুট সেট সঙ্গে সেট disjointness জন্য এবং (আসলে দুটি সমস্যা সমতুল্য)। বাধা অবশ্যই অবশ্যই যখন , এর জন্য আমি কেবল এয়াল এবং নোমের বইতে নিম্নলিখিতটি পেতে পারি: $s$ $\log s$ $a$ $b$ $a=b=k/2$ মান সম্ভাব্য যুক্তি দ্বারা প্রমাণিত। দুর্ভাগ্যক্রমে আমি (এখনও) এই সমস্যাটির জন্য যথেষ্ট ভাল নিম্ন সীমাটি খুঁজে পাইনি তবে উপরেরটিটি তীক্ষ্ণ বলে ধরে নিলে এটিআপনি উল্লেখ করেছেন এমন দুটি নিম্ন সীমা একত্রিত করেএকটি নিম্ন সীমা। $N^1(DISJ_a)\le \log \big(2^k \log_e {n\choose a}\big)$ $\Omega(2^k\log n)$

— domotorp
সূত্র

আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ @ ডমোটরপ এই মনে হয় থিম আমি মূল প্রশ্নে নিম্ন মুখী জন্য ব্যবহার করেছি প্রমাণ মত অনেক, কিন্তু প্রকৃত উল্লেখ না করে

's এবং

এর, এবং একটি ধর্তব্য আবদ্ধ এইভাবে না। উপরের প্রশ্নে আপনার মন্তব্য পরামর্শ দেয় যে

বাউন্ডটি সেই পদ্ধতি দ্বারা উন্নত করা যায় না, আপনি কি মনে করেন এটি আরও ভাল করতে পারে? xi $x_i$

yi $y_i$

2k $2^k$

— আরবি

উপরে আমার মন্তব্যের পুরো বক্তব্যটি ছিল যে এই কৌশলগুলি নীচে নীচে আবদ্ধ

দিতে পারে না । এই সমস্যাটিই আমার কাছে আকর্ষণীয় করে তোলে। (2+o(1))k $(2+o(1))^k$

— নওম

@ নোম: আসুন কে = 2, এ = বি = 1। ইতিমধ্যে তারপর আমরা পেতে

আবদ্ধ LOWER যেমন প্রত্যেক

আলাদা হতে হবে। logn $\log n$

SA $S_A$

— ডোমোটরপ

@domotorp:

লুকিয়ে রাখে একটি

ফ্যাক্টর: এখানে সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে যেখানে জন্য বিশ্লেষণ

: একটি নির্দিষ্ট সঙ্গে স্টার্ট

এবং

এবং র্যান্ডম একটি উপসেট এ বাছাই

এর

অক্ষর তারপর আমরা আছে

o(1) $o(1)$

O(klogn) $O(k\log n)$

a=b=k/2 $a=b=k/2$

A $A$

B $B$

S $S$

n $n$

। এখন

মতো সেট এলোমেলোভাবে বেছে নিন তারপরে কমপক্ষে একটির ক্ষেত্রে এটি হওয়ার সম্ভাবনাটি

। আমরা যদি

Pr[A⊆SandB⊆Sc]=2−k $Pr[A \subseteq S \:and\: B \subseteq S^c]=2^{-k}$

r2k $r2^k$

1−exp(−r) $1-exp(-r)$

তারপরে আমরা পেয়েছি যে এইচপিএইচটি সমস্ত বিচ্ছিন্নতা সেট করে

এবং

(আকারের

)) এই নির্মাণে এজাতীয়

এর মোট সংখ্যাহ'ল

। r=O(log(nk))=O(klogn) $r = O(\log {n \choose k}) = O(k \log n)$

A $A$

B $B$

k/2 $k/2$

S $S$

O(2kklogn) $O(2^k k \log n)$

— নওম

@Noam: আমি দুঃখিত কিন্তু আমি কখনো দেখিনি

একটি লুকানো

, সমস্যা মধ্যে আগ্রহ এই প্রোগ্রামটিতে বিশেষত হিসাবে

। তবে আপনি ঠিক বলেছেন যে আরবি

সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করেছিল । logn $\log n$

o(1) $o(1)$

$k<<\log n$

$k=polylog n$

— ডোমোটরপ

কিছু কাজ চলছে:

আমি নীচের সীমানা প্রমাণ করার চেষ্টা করছি । এখানে এমন একটি প্রশ্ন রয়েছে যে আমি নিশ্চিত যে এ জাতীয় নিম্ন সীমাটি দেবে: ন্যূনতম খুঁজে নিন যাতে কোনও ফাংশন উপস্থিত থাকে যা বৈষম্য রক্ষা করে, অর্থাত্ ইফফ $4^k$ $t$ $f:\{S \subseteq [n], |S|=k/2 \} \rightarrow \{0,1\}^t$ $S_1 \cap S_2 = \emptyset$ । আমি দৃ sure নিশ্চিত যে, একটি নিম্ন সীমানাটি তাত্ক্ষণিকভাবেআমাদের সমস্যার জন্য এর নিম্ন সীমানাকে বোঝায়। মোটামুটি নোডের সেটের সাথে সম্পর্কিত হয় যখন এনএফএ ইনপুটটির প্রথম চিহ্নগুলিপড়তে পারে, যখন এই চিহ্নগুলিরসেট । $f(S_1) \cap f(S_2) = \emptyset$ $t \ge 2k$ $2^{2k}=4k$ $f(S)$ $k/2$ $k/2$ $S$

I think the solution to this question might already be known, either in the communication complexity literature (especially in papers dealing with the disjointness problem; maybe some matrix rank arguments will help), or in literature about encodings (e.g. like this).

— mobius dumpling
সূত্র

My comments above show that this approach cannot beat

$(2+o(1))^n$

— Noam