টিসিএসের বাইরে জটিলতার তত্ত্ব অনুমানের গাণিতিক প্রভাব

Question

গণিতের অন্যান্য ক্ষেত্রে (যেমন তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের বাইরে) জটিলতার তত্ত্বের (মানক) অনুমানের আকর্ষণীয় পরিণতিগুলি কি আপনি জানেন?

আমি উত্তরগুলি পছন্দ করতে চাই যেখানে:

• জটিলতা তত্ত্ব অনুমান যতটা সম্ভব সাধারণ এবং মানসম্মত; আমি নির্দিষ্ট সমস্যার কঠোরতার পরিণতিগুলির সাথেও ঠিক আছি, তবে সমস্যাটি যদি ব্যাপকভাবে শক্ত বলে মনে করা হয় তবে এটি ভাল হবে (বা কমপক্ষে বেশ কয়েকটি কাগজপত্রে পড়াশোনা করা হয়েছে)

• নিহিততা একটি বিবৃতি যা নিঃশর্তভাবে সত্য বলে জানা যায় না, বা অন্যান্য জ্ঞাত প্রমাণগুলি আরও বেশি কঠিন

• সংযোগ আরও তত বিস্মিত; বিশেষত, জড়িত হওয়াটি অ্যালগরিদম সম্পর্কে স্পষ্টভাবে বিবৃতি হওয়া উচিত নয়

"যদি শূকরগুলি উড়তে পারে তবে ঘোড়াগুলি গান করত" ধরণের সংযোগগুলি ঠিক আছে, যতক্ষণ না উড়ন্ত শূকরগুলি জটিলতার তত্ত্ব থেকে আসে এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানের বাইরে গণিতের কোনও ক্ষেত্র থেকে গাওয়া ঘোড়াগুলি।

এই প্রশ্নের কিছু অর্থে একটি এর "বিপরীতটি" হয় প্রশ্ন আমরা কম্পিউটার বিজ্ঞান মধ্যে গণিতের বিস্ময়কর ব্যবহার করে সে সম্পর্কে ছিল। ডিক লিপটনের ঠিক এই লাইনের সাথে একটি ব্লগ পোস্ট ছিল : তিনি অনুমানের পরিণতি সম্পর্কে লিখেছেন যে ফ্যাক্টরিংয়ের বৃহত সার্কিট জটিলতা রয়েছে। ফলাফলগুলি হ'ল নির্দিষ্ট ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণগুলির কোনও সমাধান নেই, এক ধরণের বিবৃতি যা নিঃশর্তভাবে প্রমাণ করা খুব শক্ত। পোস্টটি ড্যান বোনেহের সাথে কাজের ভিত্তিতে তৈরি, তবে আমি কোনও কাগজ সন্ধান করতে পারি না।

সম্পাদনা: জোশ গ্রোচো মন্তব্যে নোট করায়, ক্লাসিকাল গণিতে টিসিএস প্রয়োগের বিষয়ে তাঁর প্রশ্ন ঘনিষ্ঠভাবে জড়িত। আমার প্রশ্নটি একদিকে, আরও অনুমোদনযোগ্য, কারণ আমি "শাস্ত্রীয় গণিত" নিষেধাজ্ঞার পক্ষে জোর দিই না। আমি মনে করি যে আরও গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য হ'ল আমি টিসিএসের বাইরে গণিতের ক্ষেত্রে একটি জটিলতার অনুমান থেকে একটি বিবৃতিতে প্রমাণিত জড়িত হওয়াতে জোর দিয়েছি। জোশের প্রশ্নের বেশিরভাগ উত্তর এই ধরণের নয়, তবে পরিবর্তে টিসিএস দ্বারা বিকাশিত বা অনুপ্রাণিত ক্লাসিকাল গণিতে কার্যকর কৌশল এবং ধারণা দেয়। তবুও, জোশের প্রশ্নের অন্তত একটি উত্তর আমার প্রশ্নের সঠিক উত্তর: মাইকেল ফ্রিডম্যানের কাগজযা একটি প্রশ্ন খনি অভিন্ন দ্বারা প্রেরণা, এবং গিঁট তত্ত্ব একটি উপপাদ্য, উপর শর্তাধীন প্রমাণ । তিনি যুক্তি দেখান যে উপপাদ্যটি নট তত্ত্বের বর্তমান প্রযুক্তির নাগালের বাইরে বলে মনে হচ্ছে। উপপাদ্য অনুসারে, যদি তবে বহুবচনীয় শ্রেণিবিন্যাস ভেঙে যায়, সুতরাং অনুমানটি যথেষ্ট প্রশংসনীয়। আমি অনুরূপ অন্যান্য ফলাফল আগ্রহী।পি # পি = এন $\mathsf{P}^{\#P} \ne \mathsf{NP}$$\mathsf{P}^{\#P} = \mathsf{NP}$

Comments

সম্পর্কিত: জড়িত, গণিতের জন্য নয়, "শারীরিক বাস্তবতার" জন্য

— অস্টিন বুচানান

এটি কি cstheory.stackexchange.com /Qtions/149/… হিসাবে একই ? অথবা এই প্রশ্নটি কি এর চেয়ে আরও বিস্তৃত হতে বোঝাচ্ছে?

— জোশুয়া গ্রাচো

@ জোশুয়া, কিছুটা ওভারল্যাপ রয়েছে তবে আমি মনে করি এগুলি অতুলনীয়। একদিকে আমি "শাস্ত্রীয়" গণিতে জোর দিয়ে জোর দিচ্ছি না, অর্থাৎ কোয়ান্টাম মেকানিক্সে অ-জটিলতার ফলাফল ঠিক আছে ok অন্যদিকে, আমি সিসি অনুমানগুলি থেকে টিসিএসের বাইরে গণিতের উপপাদ্যগুলিতে সরাসরি প্রভাব ফেলতে চাই, যখন আপনার প্রশ্নের অনেক উত্তর টিসিএসে তৈরি কৌশল সম্পর্কে যা ক্লাসিকাল গণিতে আমাদের দরকারী হয়ে উঠেছে । তবুও, cstheory.stackexchange.com/a/163/4896 আমার প্রশ্নের এক সঠিক উত্তর perfect খুব বেশি ওভারল্যাপ?

— সাশো নিকোলভ

জোশের প্রশ্নের উত্তরটি আমার এখানে পোস্ট করা উচিত ছিল: বার্গিজারের কনজেক্টারে উপবৃত্তাকার বাঁকগুলিতে ফলাফল বোঝায়$L$ ।

— ব্রুনো

@ সাশো: আমি মনে করি এটি ঠিক আছে। স্পষ্ট করার জন্য ধন্যবাদ। (বিটিডব্লিউ, যখন আমি আমার অন্যান্য প্রশ্নে "শাস্ত্রীয়" বললাম তখন আমি কোয়ান্টাম মেকানিক্সকে বাদ দেওয়ার অর্থই নি নি - প্রকৃতপক্ষে, কোয়ান্টাম ফিল্ড থিওরি এবং কোয়ান্টাম বীজগণিত আজকাল উভয় প্রধান গাণিতিক বিষয়, বৃহত সংখ্যক (এমনকি শীর্ষ) গণিত বিভাগগুলিতে অধ্যয়ন করা ।)

— জোশুয়া গ্রাচো

Answer 1

এখানে গ্রাফ তত্ত্ব থেকে অন্য একটি উদাহরণ। গ্রাফের গৌণ উপপাদ্যটি আমাদের জানিয়েছে যে অপ্রাপ্তবয়স্কদের অধীনে বন্ধ থাকা প্রত্যেকটি শ্রেণীর , এর জন্য একটি সীমাবদ্ধ বাধা সেট রয়েছে যেমন একটি গ্রাফ in যদি এবং কেবলমাত্র এতে নাবালিকা হিসাবে in এর গ্রাফ না থাকে । যাইহোক, গ্রাফ ছোটখাট উপপাদ্য মজ্জাগতভাবে nonconstructive এবং এটা আমাদের সম্পর্কে কিভাবে বড় এই বাধা সেট হয়, অর্থাত, কত গ্রাফ এটি একটি বিশেষ পছন্দ জন্য রয়েছে কিছু বলতে না ।ও বি এস ( জি ) জি ও বি এস ( জি ) $\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$

ইন অত্যধিক মাইনর অর্ডার obstructions , মাইকেল জে Dinneen দেখিয়েছেন যে একটি বিশ্বাসযোগ্য জটিলতা-তত্ত্বীয় অনুমান অধীনে, এই ধরনের বাধা সেট বিভিন্ন এর মাপ বড় হতে দেখানো যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, বেশিরভাগ গ্রাফের প্যারামিটারাইজড শ্রেণি । হিসাবে বেড়ে যায়, আমরা বাধা সেট আশা করতে পারেন আরো এবং আরো জটিল হয়ে, কিন্তু অনেক তাই কীভাবে? ডিন্নীন দেখিয়েছিলেন যে বহুত্ববৈজ্ঞানিক স্তরক্রমটি যদি তৃতীয় স্তরে না পড়ে তবে no এ বাঁধা সংখ্যা দ্বারা আবদ্ধ হয় এমন বহুবচনীয় নেই টট হে খ গুলি ( জি ট )পি হে খ গুলি ( জি ট )পি(ট) হে খ গুলি ( জি 0 )={ কে 5 , কে 3 , 3 } জি ট টজি∈ জি$\mathcal{G}_k$$k$$k$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p(k)$। জেনাস শূন্যের (যেমন প্ল্যানার হওয়া) ক্ষুদ্র বাধাগুলির সংখ্যা মাত্র দুটি ( ), এই অতিপরিচয়গত বৃদ্ধি অবিলম্বে সুস্পষ্ট নয় (যদিও আমি বিশ্বাস করি এটি নিঃশর্ত প্রমাণিত হতে পারে)। Dinneen এর ফলাফলের সম্পর্কে চমৎকার জিনিস এটি সংশ্লিষ্ট বাধা সেট মাপ ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হয় কোন ছোটখাট আদর্শের স্থিতিমাপ সেট যার জন্য ক্ষুদ্রতম সিদ্ধান্ত যার জন্য NP- হয় কঠোর করে দিয়েছি এই জাতীয় প্যারামিটারাইজড গৌণ আদর্শগুলির মধ্যে বাধা সেট আকারগুলি অবশ্যই অতিশয়ভাবে বাড়তে হবে। $\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_0) = \{K_5, K_{3,3}\}$$\mathcal{G}_k$$k$$G \in \mathcal{G}_k$

Comments

ধন্যবাদ বার্ট! এটা খুবই আকর্ষণীয়. আমি আপনার উত্তরটি সর্বাধিক উত্সাহিত হিসাবে গ্রহণ করছি am উত্তরের জন্য সবাইকে ধন্যবাদ!

— সাশো নিকোলভ

Answer 2

এখানে একটি উদাহরণ রয়েছে: অরোরা, বারাক এবং জিআই দ্বারা আর্থিক পণ্যগুলিতে গণনা সংক্রান্ত জটিলতা এবং তথ্যগত অসামঞ্জস্যতা দেখায় যে এটি গণনামূলকভাবে ইন্টারেক্টেবল (অর্থাত্ এনপি-হার্ড) মূল্য ডেরাইভেটিভস থেকে সঠিকভাবে নির্ধারণ করা যেতে পারে - তারা এম্বেডড হার্ড সমস্যা হিসাবে ঘন সাবগ্রাফ্ট ব্যবহার করে।

একই লাইন বরাবর এবং এরও অনেক আগে বার্থল্ডি, টোয়েই এবং ট্রিকের দ্বারা নির্বাচনের কারসাজির কঠোরতার বিষয়ে বিখ্যাত কাগজ ।

Comments

সুরেশ, কিছুটা হলেও এগুলি এখনও জটিলতার ফলাফল (সামাজিক জড়িত সহ)। আমার মনে ফলাফল ছিল যা অ্যালগরিদম সম্পর্কে নয়। তবুও দুজনেই দুর্দান্ত!

— সাশো নিকোলভ 21

আপনি টিবিএইচ কী খুঁজছেন তা আমি পুরোপুরি নিশ্চিত ছিলাম না। আমি অনুমান করছি যে আপনি "বদ্ধ সময়ের মতো ধনুকগুলি ধস কোয়ান্টাম এবং শাস্ত্রীয়" এর রূপান্তর মত কিছু চান?

— সুরেশ ভেঙ্কট

আসলে সিটিসি ফলাফল একটি নিখুঁত উদাহরণ। আমি বলতে চাইছি এমনকি কথোপকথন নয়, তবে বিবৃতি নিজেই সংকোচযুক্ত: যদি কোয়ান্টাম এবং ক্লাসিকালটি ভেঙে না যায়, তবে (বহুপদী) সিটিসিগুলির অস্তিত্ব নেই।

— সাশো নিকোলভ

তাই আপনি বলছেন আমার একটি নতুন উত্তর পোস্ট করা উচিত :)?

— সুরেশ ভেঙ্কট

আমার মনে হয় আমি এটাই বলছি :)

— সাশো নিকোলভ

Answer 3

সাশোর পরামর্শ অনুসারে, " ক্লাসিকাল গণিতে টিসিএসের প্রয়োগ? " এই প্রশ্নের উত্তর আমার অনুসরণ করে:

$L$$\tau$

$L$

$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

Answer 4

$S_{2^k}$$S_{2^k}$$2^{\delta k}$

এটি মাইক ফ্রিডম্যানের কাগজের আগে উল্লিখিত চেতনায় অনেক বেশি।

Answer 5

এটি উপস্থিত হয় যে অনেক টিসিএস জটিলতা শ্রেণি বিচ্ছেদ প্রশ্নে গণিতে বড় ধরনের প্রভাব রয়েছে। বিশেষত পি =? এনপি প্রশ্নের অনেকগুলি ক্ষেত্রের মধ্যে খুব গভীর সংযোগ রয়েছে বলে মনে হয় এবং এর মধ্যে গণিত অন্তর্ভুক্ত। এই অঞ্চলে কিছু উল্লেখযোগ্য কেস:

• Hilberts Nullstellensatz সমস্যা 20th শতাব্দীর প্রথম দিকে প্রণয়ন করা ঘনিষ্ঠভাবে পি বনাম মধ্যে np জটিলতা যেমন সম্পর্কিত কোনো tractability আছে দেখানো হয়েছে Hilbert'S NULLSTELLENSATZ এর উপর দ্য ব্যাপারটা যে কঠিন এবং "দ্বারা NP ̸ = পি?" একটি বীজগাণিতিক সংস্করণ Shub / Smale দ্বারা। এটি কম্পিউটারের বীজগণিত, সংযুক্তিবিদ্যা এবং জটিলতায় অধ্যয়নের এক ধারাবাহিক ক্ষেত্র : হিলবার্টের নুলস্টেলেনস্যাটজ এবং মার্গুলিসের এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা ।

• ফাগিন্স উপপাদ্য (উইকিপিডিয়া):

  ফ্যাগিনের উপপাদ্য বর্ণনামূলক জটিলতার তত্ত্বের ফলাফল যা বলে যে অস্তিত্বের দ্বিতীয়-আদেশের যুক্তিতে সমস্ত বৈশিষ্ট্যের সেটটি স্পষ্টতই জটিলতা শ্রেণির এনপি। এটি লক্ষণীয় যেহেতু এটি NP শ্রেণীর বৈশিষ্ট্য যা কোনও ট্যুরিং মেশিনের মতো গণনার মডেলকে ডাকে না।

  এখানে পি = এনপি-র প্রধান / আশ্চর্যজনক জড়িত হওয়ার অর্থ হ'ল সমস্ত দ্বিতীয়-আদেশের যুক্তি যুক্তিগুলি দক্ষতার সাথে গণনা করা যেতে পারে।

• আরেকটি ক্ষেত্রে হ'ল বিভিন্ন এনপি সম্পূর্ণ সমস্যাগুলি বেশিরভাগই গাণিতিক শর্তে বর্ণিত (যেমন টিসিএস ধারণা, যেমন টিএমএস, ননডেটেরিনিজম ইত্যাদির কোনও উল্লেখ নেই)। এই তালিকাটি খুব বড় হতে পারে যদি গ্রাফ তত্ত্বটি (যথেষ্ট যুক্তিসঙ্গতভাবে) গাণিতিক হিসাবে বিবেচিত হয়। তবে "গাণিতিক" এর সংকীর্ণ ব্যাখ্যাও মামলাগুলির দিকে পরিচালিত করে, উদাহরণস্বরূপ সংখ্যা তত্ত্বে।

  $a,b,c$$x\le c$$x^2\equiv a\pmod b$

  • এনপি-সম্পূর্ণ প্রাকৃতিক কোন প্রাকৃতিক সমস্যা আছে? tcs.se
  • সংখ্যা তত্ত্ব এবং এনপি সম্পূর্ণ গণিত প্রবাহ

Comments

আপনি প্রশ্নটি বুঝতে পারেন নি: আপনি উল্লিখিত সমস্ত ফলাফল জটিলতা সম্পর্কিত। আমি জটিলতা তত্ত্বের এএ বিবৃতিতে একটি জটিলতার পরিণতি চাই

— সাশো নিকলভ