বহুবচন দিয়ে OR প্রতিনিধিত্ব করছেন

Question

আমি জানি যে তুচ্ছভাবে ভ্যারিয়েবল এর ওআর ক্রিয়াকলাপটি ঠিক বহুবর্ষীয় দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে : , যা ডিগ্রি ।এক্স 1 , … , এক্স এন পি ( এক্স 1 , … , এক্স এন ) পি ( এক্স 1 , … , এক্স এন ) = 1 - ∏ n আমি = 1 ( 1 - এক্স আই )$n$$x_1,\ldots, x_n$$p(x_1,\ldots,x_n)$$p(x_1,\ldots,x_n) = 1-\prod_{i = 1}^n\left(1-x_i\right)$$n$

তবে কীভাবে স্পষ্ট বলে মনে হচ্ছে, যে যদি একটি বহুপদী হয় যা OR কার্যকারিতাটি প্রতিনিধিত্ব করে (সুতরাং ), তারপরে \ ডিগ্রি (পি) \ জি এন ?∀ x ∈ { 0 , 1 } n : p ( x ) = ⋁ $p$$\forall x \in \{0,1\}^n : p(x) = \bigvee_{i = 1}^n x_i$$\deg(p) \ge n$

Comments

আপনি কি বাস্তব বহুপদী সম্পর্কে কথা বলছেন? নাকি বহুপদী 2? আপনি যদি মডুলো 6 (বা অন্যান্য সংমিশ্রণ সংখ্যা) সম্পর্কে কথা বলতে চান তবে প্রশ্নটি আরও আকর্ষণীয় হয়ে ওঠে।

— ইগর শিংকার

Answer 1

যাক একটি বুলিয়ান ফাংশন হবে। যদি একটি বহুপদী উপস্থাপনা করেছেন পি এটি একটি multilinear বহুপদী উপস্থাপনা করেছেন তারপর প্রশ্ন ডিগ্রী ডিগ্রি প্রশ্ন ≤ ডিগ্রি পি : ঠিক কোন শক্তি প্রতিস্থাপন এক্স ট আমি , যেখানে ট ≥ 2 দ্বারা এক্স আমি । সুতরাং আমরা আমাদের মনোযোগ বহু-বহুবর্ণীয় বহুবচনগুলিতে সীমাবদ্ধ করতে পারি।$f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$P$$Q$$\deg Q \leq \deg P$$x_i^k$$k \geq 2$$x_i$

দাবি: polynomials ফাংশন যেমন { 0 , 1 } এন → আর সব ফাংশন স্থান জন্য একটি ভিত্তি গঠন { 0 , 1 } এন → আর ।$\{ \prod_{i \in S} x_i : S \subseteq [n] \}$$\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$$\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$

প্রুফ: আমরা প্রথমে দেখি যে বহুবচনগুলি লৈখিক স্বতন্ত্র। ধরুন যে সবার জন্য ( এক্স 1 , ... , x এর এন ) ∈ { 0 , 1 } এন । আমরা প্রেরণ করি (শক্তিশালী) দ্বারা অন্তর্ভুক্ত | এস | যে সি এস = 0 । মনে করুন যে সি টি = 0 সকলের জন্য | $f = \sum_S c_S \prod_{i \in S} x_i = 0$$(x_1,\ldots,x_n) \in \{0,1\}^n$$|S|$$c_S = 0$$c_T = 0$ , এবং আমাদেরকার্ডিনালিটি কে এরএকটি সেট এস দেওয়া হোক। সমস্ত টি ⊂ এসের জন্য আমরা প্রবর্তন দ্বারা জানি যে সি টি = 0 , এবং তাই 0 = চ ( 1 এস ) = সি এস , যেখানে 1 এস ইনপুট যা এস এর স্থানাঙ্কের 1 হয়।$|T| < k$$S$$k$$T \subset S$$c_T = 0$$0 = f(1_S) = c_S$$1_S$$1$$S$$~\qquad\square$

দাবি শো করে একটি ফাংশন multilinear উপস্থাপনা অনন্য (প্রকৃতপক্ষে, চ এমনকি হতে হবে তা নয় 0 / 1 -valued)। OR এর অনন্য মাল্টলাইনারি উপস্থাপনা হ'ল 1 - ∏ i ( 1 - x i ) , যার ডিগ্রি এন ।$f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$f$$0/1$$1-\prod_i(1-x_i)$$n$

Answer 2

যাক হতে একটি বহুপদী যেমন যে সব জন্য এক্স ∈ { 0 , 1 } এন , পি ( এক্স ) = হে আর ( এক্স ) । বহুপদী পি : কিউ ( কে ) = 1 এর প্রতিসাম্যতা বিবেচনা করুন$p$$x\in \{0,1\}^n$$p(x) = \sf{OR}(x)$$p$নোট করুন যেহেতু ওআর ফাংশনটি একটি প্রতিসম বুলিয়ান ফাংশন, তাই আমাদের কাছেকে=1,2,…,এন,কিউ(কে)=1, এবংকিউ(0)=0 এর জন্য রয়েছে। যেহেতুকুই-1একটি নন-জিরো বহুপদী, এবং এটা হয়েছে অন্ততএন0, এটি অন্তত ডিগ্রী থাকতে হবেএন। অতএব,

$$q(k) = \frac{1}{\binom{n}{k}} \sum_{x: |x| = k} p(x).$$ $k = 1, 2, \ldots, n$$q(k) = 1$$q(0) = 0$$q-1$$n$$n$ অবশ্যই ডিগ্রি এন থাকতে হবে ।$p$$n$

প্রায়শই প্রায় বুলিয়ান ফাংশন এবং কোয়ান্টাম কোয়েরি জটিলতার গবেষণায় প্রতিসাম্য ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, http://www.math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w11/l19.pdf দেখুন ।

Comments

আমার কাছে মনে হচ্ছে আপনার প্রমাণটি কাজ করার জন্য, আপনাকে দেখানো দরকার যে Q এর ডিগ্রি সর্বাধিক পি ডিগ্রি রয়েছে। এটি আমার কাছে পরিষ্কার নয়। আপনি এটি কিভাবে প্রদর্শন করবেন?

— ম্যাথন

যাক d = ডিগ্রি (পি)। তাহলে q হল ডিগ্রি ডি পলিনোমিয়ালের সমষ্টি, অতএব q এর ডিগ্রি সর্বাধিক ডি।

— হেনরি ইউয়েন

Answer 3

ইউভাল এবং হেনরি এই সত্যের দুটি ভিন্ন প্রমাণ দিয়েছেন। এখানে একটি তৃতীয় প্রমাণ।

প্রথমত, যুওয়ালের উত্তরের মতো আমরা আমাদের মনোযোগকে বহু-বহুবচনীয় বহুবচনগুলিতে সীমাবদ্ধ করি। এখন আপনি ইতিমধ্যে একটি ডিগ্রি মাল্টলাইনারি বহুপদী প্রদর্শন করেছেন যা OR ফাংশনের সমান। এখন আমাদের কেবলমাত্র দেখাতে হবে যে এই বহুপদীটি অনন্য, এবং তাই আপনি একটি বহুপদী হিসাবে OR ফাংশনের একমাত্র এবং উপস্থাপনাটি পেয়েছেন। ফলস্বরূপ, এর ডিগ্রি এন ।$n$$n$

দাবি: হাইপারকিউবের উপরে দুটি বহু-লাইন বহুবচন পি এবং কিউ সমান হয়, তবে সেগুলি সর্বত্র সমান।

প্রুফ: যাক r (x) = পি (এক্স) - কিউ (এক্স), এবং আমরা জানি যে r (x) = 0 সমস্ত x এর জন্য । আমরা দেখতে চাই যে r (x) একই শূন্য। একটি বৈপরীত্যের দিকে ধরুন, এটি তা নয়, এবং কোনও নোনজারো সহগ সহ ন্যূনতম ডিগ্রি সহ কোনও মনোমালিকা বেছে নিন। এই মনোমালিক্যের বাইরের সমস্ত ভেরিয়েবলগুলি 0 হতে সেট করুন এবং এই মনোমালিক্যের সমস্ত ভেরিয়েবল 1 এ হবে। r (x) এই ইনপুটটিতে ননজারো, তবে এই ইনপুটটি বুলিয়ান যা একটি বৈপরীত্য।$\{0,1\}^n$