যাক একটি বুলিয়ান ফাংশন হবে। যদি একটি বহুপদী উপস্থাপনা করেছেন পি এটি একটি multilinear বহুপদী উপস্থাপনা করেছেন তারপর প্রশ্ন ডিগ্রী ডিগ্রি প্রশ্ন ≤ ডিগ্রি পি : ঠিক কোন শক্তি প্রতিস্থাপন এক্স ট আমি , যেখানে ট ≥ 2 দ্বারা এক্স আমি । সুতরাং আমরা আমাদের মনোযোগ বহু-বহুবর্ণীয় বহুবচনগুলিতে সীমাবদ্ধ করতে পারি।f:{0,1}n→{0,1}PQdegQ≤degPxkik≥2xi
দাবি: polynomials ফাংশন যেমন { 0 , 1 } এন → আর সব ফাংশন স্থান জন্য একটি ভিত্তি গঠন { 0 , 1 } এন → আর ।{∏i∈Sxi:S⊆[n]}{0,1}n→R{0,1}n→R
প্রুফ: আমরা প্রথমে দেখি যে বহুবচনগুলি লৈখিক স্বতন্ত্র। ধরুন যে সবার জন্য ( এক্স 1 , ... , x এর এন ) ∈ { 0 , 1 } এন । আমরা প্রেরণ করি (শক্তিশালী) দ্বারা অন্তর্ভুক্ত | এস | যে সি এস = 0 । মনে করুন যে সি টি = 0 সকলের জন্য | টিf=∑ScS∏i∈Sxi=0(x1,…,xn)∈{0,1}n|S|cS=0cT=0 , এবং আমাদেরকার্ডিনালিটি কে এরএকটি সেট এস দেওয়া হোক। সমস্ত টি ⊂ এসের জন্য আমরা প্রবর্তন দ্বারা জানি যে সি টি = 0 , এবং তাই 0 = চ ( 1 এস ) = সি এস , যেখানে 1 এস ইনপুট যা এস এর স্থানাঙ্কের 1 হয়।|T|<kSkT⊂ScT=00=f(1S)=cS1S1S □
দাবি শো করে একটি ফাংশন multilinear উপস্থাপনা অনন্য (প্রকৃতপক্ষে, চ এমনকি হতে হবে তা নয় 0 / 1 -valued)। OR এর অনন্য মাল্টলাইনারি উপস্থাপনা হ'ল 1 - ∏ i ( 1 - x i ) , যার ডিগ্রি এন ।f:{0,1}n→{0,1}f0/11−∏i(1−xi)n