মেজরিটি ফাংশনের সার্কিট জটিলতা

13

আসুন the সংখ্যাগরিষ্ঠ ফাংশন, যেমন হলে এবং কেবল যদি । আমি ভাবছিলাম যে নিম্নলিখিত বিষয়গুলির একটি সহজ প্রমাণ আছে কিনা ("সহজ" দ্বারা আমি বোঝাচ্ছি ভ্যালেন্ট ৮৪ এর মতো সম্ভাব্য পদ্ধতিতে বা নেটওয়ার্ক বাছাইয়ের উপর নির্ভর না করা; সম্ভবত সার্কিটের একটি স্পষ্ট, সরল নির্মাণ সরবরাহ): $f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $f(x) = 1$ $\sum_{i = 1}^n x_i > n/2$

$f$ গভীরতা, পলি (এন) আকারের সার্কিটের একটি পরিবার দ্বারা গণনা করা যেতে পারে , যেখানে গেটগুলি নট গেট, 2 ইনপুট বা গেট এবং 2 ইনপুট এবং গেট থাকে। $O(\log(n))$

— matthon
সূত্র

6

এটি আগ্রহী হতে পারে: ইগর সার্জিভ, সংখ্যাগরিষ্ঠ ফাংশনের সূত্র আকারের উপরের সীমানা ; এছাড়াও তিনি এখানে আরও ভাল উচ্চতর সীমানা ঘোষণা। তবে, যদি আপনি কেবল সার্কিট ( সূত্র নয় ) সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করেন , যেমনটি ইগর আমাকে স্মরণ করিয়ে দিয়েছেন, প্রতিটি প্রতিসাম্য বুলিয়ান ফাংশন (কেবল সংখ্যাগরিষ্ঠ নয়) এর গভীরতা এবং আকার এর একটি সার্কিট থাকে : কেবল যোগফল গণনা করুন এর s, এবং একটি বুলিয়ান ফাংশন বুঝতে পারছি ভেরিয়েবল। সংখ্যাগরিষ্ঠর জন্য, এই পরবর্তী ফাংশনটি সাথে তুলনা ।

O (\log n)

$O(\log n)$

O (n)

$O(n)$

1

$1$

\log_{2} n

$\log_2n$

n / 2

$n/2$

— স্ট্যাসিস

@ স্ট্যাসিস এবং সংখ্যার গণনা করা মূলত বিটগুলি বাছাই করা।

— কাভেঃ

9

কাভের উত্তরটি যেমনটি আপনি বলেছেন ঠিক তেমন উত্তর দেয় (এবং এটি proof contained তে অন্তর্ভুক্ত দেখানোর জন্য সাধারণ প্রমাণ )। তবে আমি ভাবছিলাম যে আপনি সম্ভবত কিছুটা আলাদা প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে চেয়েছিলেন। যেমন সংখ্যাগরিষ্ঠের জন্য একটি সুস্পষ্ট বহুপদী আকারের একঘেয়ে সূত্র for $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{NC}^1$

যেহেতু সংখ্যাগরিষ্ঠতা একঘেয়েমি তাই আমরা জানি এটি একটি একঘেয়ে সূত্রের সাথে গণনা করা যেতে পারে। দুটি পরিচিত নির্মাণ রয়েছে বহুতল আকারের একঘেয়ে সূত্র, যেমন দুটি আপনি উল্লেখ করেছেন, ভ্যালিয়েন্টের সম্ভাব্যতা নির্মাণ এবং বাছাইয়ের নেটওয়ার্কগুলির মাধ্যমে নির্মাণ। যতদূর আমি জানি যে আমাদের বাছাই করা নেটওয়ার্কগুলি বাছাইয়ের চেয়ে সহজ আর কোনও নির্বিচারক নির্মাণ নেই।

এর সাথে সম্পর্কিতটিও নিম্নলিখিত। দেখা যাচ্ছে যে সংখ্যাগরিষ্ঠ সূত্রগুলি গণনা করা যেতে পারে যা কেবলমাত্র গেট (এবং কোনও ধ্রুবক নেই!) নিয়ে গঠিত। ওয়ালিয়েন্টের সম্ভাব্য নির্মাণগুলি গভীরতার সূত্রগুলি দেওয়ার জন্য অভিযোজিত হতে পারে । তবে এখানে আমরা কোনও নির্বিচারক নির্মাণের কথা জানি না। বিশেষত বাছাই করার নেটওয়ার্কগুলি এর জন্য উপযুক্ত নয় (প্রযুক্তিগত কারণে: তারা সমস্ত ফাংশন সরবরাহ করবে এবং কেবলমাত্র সংখ্যাগরিষ্ঠ ফাংশনটি গণিত গেটগুলি দিয়ে গণনা করতে পারে )। লগ-ডেপথ থ্রেশহোল্ড সূত্রগুলির মাধ্যমে কাগজের দক্ষ মাল্টিপার্টি প্রোটোকলগুলিতে এই প্রশ্নের বিষয়ে সাম্প্রতিক অগ্রগতি রয়েছে $\mathsf{MAJ}_3$ $O(\log(n))$ $\mathsf{MAJ}_3$ লিখেছেন কোহেন এট আল। এখানে এই জাতীয় সূত্রগুলি স্ট্যান্ডার্ড জটিলতা-তাত্ত্বিক বা ক্রিপ্টোগ্রাফিক অনুমানের ভিত্তিতে নির্মিত construction

— ক্রিস্টোফার আরনসফেল্ট হ্যানসেন
সূত্র

9

সীমাবদ্ধ থ্রেশহোল্ড গেট ( ) করা মূলত ইনপুট বিটগুলি বাছাই করে। $\sum_i x_i \geq k$

আপনি যদি বিটগুলি বাছাই করতে পারেন তবে ফলাফলকে এবং গণিত সীমাবদ্ধ থ্রোহোল্ডের সাথে তুলনা করা সহজ । $k$

অন্যদিকে, ধরে নিন যে আমাদের কাছে সীমাবদ্ধ থ্রেশহোল্ড গণনা করার জন্য একটি সার্কিট রয়েছে। ইনপুট এবং আউটপুট অনুসারে বাছাই করা তালিকার সংখ্যা খুঁজে পেতে আমরা একটি সমান্তরাল অনুসন্ধান করতে পারি।

এগুলি সার্কিটের গভীরতা সংরক্ষণ করে। সুতরাং আপনি যদি সীমাবদ্ধ থ্রেশহোল্ড গণনা করতে একটি নতুন সার্কিট নিয়ে আসে তবে এটি একটি গভীরতর বাছাই সার্কিট দেবে। সুতরাং আমরা যদি সংখ্যাগরিষ্ঠতা দেখানোর জন্য একটি সাধারণ যুক্তি নিয়ে আসি আপনি একটি সহজ গভীরতা পেয়েছেন- বাছাই সার্কিট (একেএস বাছাই নেটওয়ার্কের উপর ভিত্তি করে একটি ব্যতীত)। $\mathsf{NC^1}$ $O(\lg n)$ $\mathsf{NC^1}$ $O(\lg n)$

নোট করুন যে সংখ্যাগরিষ্ঠ গেটে নতুন 1 এবং 0 ইনপুট যুক্ত করে সংখ্যাগরিষ্ঠ ব্যবহার করে সীমাবদ্ধ থ্রেশহোল্ড কার্যকর করা সহজ।

পূর্বে এই উত্তর দাবি করেন যে এটি বিভক্ত করা এবং জেতা এবং সত্য যে বাইনারি ছাড়াও ব্যবহার করা যাবে । এটি কেবল দেখায় যে সংখ্যাগরিষ্ঠতা এবং in এ রয়েছে যেহেতু বাইনারি সংযোজনে আমাদের সীমাহীন ফ্যান-ইন গেট রয়েছে যদি আমরা এটি সরাসরি করি। তবে এটি আরও কিছু কাজ দিয়ে করা যেতে পারে। $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^1}$ $\mathsf{NC^2}$

গভীরতা থাকার জন্য আমাদের তিনটি-ফর-টু নামে কৌশলটি ব্যবহার করতে হবে । $O(\lg n)$

থ্রি-টু-বাইনারি সংযোজন:
তিনটি বাইনারি সংখ্যা দেওয়া আমরা দুটি বাইনারি সংখ্যার এমন ওয়্যার গণনা করতে পারি । $a,b,c$ $x,y$ $a+b+c = x+y$

আরেকটি পদ্ধতি হ'ল সংখ্যার স্বাক্ষরিত অঙ্কের প্রতিনিধিত্ব ব্যবহার করা যেখানে গভীরতা এবং ফ্যান-ইন 2-এ যোগ করা যায় (ধারণাটি হ'ল নমনীয়তাটি ব্যবহার করা যে কোনও সংখ্যাকে একাধিক উপায়ে প্রতিনিধিত্ব করা যায় তা নিশ্চিত করার জন্য বহন করে না)। $O(1)$

বিভাগ 4 দেখুন এবং 4 টি অনুশীলন করুন

ডেভিড মিক্স ব্যারিংটন এবং অ্যালেক্সিস ম্যাকিয়েল, " কম্পিউটেশনাল কমপ্লেক্স िटी অন অ্যাডভান্সড কোর্স ", লেকচার 6, আইএএস / পিসিএমআই, 2000।

— Kaveh
সূত্র

O (\lg n)

$O(\lg n)$

O (\lg n)

$O(\lg n)$

7

$n$

ব্রোডাল এবং হুফেল্ড্ট একটি বিকল্প প্রমাণ দিয়েছেন: একটি যোগাযোগ জটিলতার প্রমান যে প্রতিসম ফাংশনে লোগারিদমিক গভীরতা রয়েছে । আবার, প্রমাণটি প্রাথমিক এবং একটি সুস্পষ্ট নির্মাণ সরবরাহ করে।

— আলেকজান্ডার এস কুলিকভ
সূত্র