প্রাকৃতিক উপপাদাগুলি কেবলমাত্র "উচ্চ সম্ভাবনার পক্ষে" প্রমাণিত হয়েছে?

Question

প্রচুর পরিস্থিতি রয়েছে যেখানে একটি নির্দ্বিধায় প্রমাণের চেয়ে এলোমেলোভাবে "প্রুফ" অনেক সহজ, আধ্যাত্মিক উদাহরণটি বহুপদী পরিচয় পরীক্ষা।

প্রশ্ন : এমন কোনও প্রাকৃতিক গাণিতিক "উপপাদ্য" রয়েছে যেখানে একটি এলোমেলো প্রমাণ প্রমাণিত হয় তবে একটি নিরোধক প্রমাণ হয় না?

একটি বিবৃতি "র্যান্ডমাইজড প্রুফ" দ্বারা এটি $P$আমি বোঝাতে চাইছি

1. একটা এলোমেলোভাবে অ্যালগরিদম যে একটি ইনপুট নেয় $n > 0$ আর যদি $P$ মিথ্যা একটি নির্ণায়ক প্রমাণ উত্পাদন করে $\neg P$ সম্ভাব্যতা অন্তত সঙ্গে $1-2^{-n}$ ।

2. কেউ জন্য অ্যালগরিদম $n = 100$চালিয়েছেন এবং উপপাদ্যটি অস্বীকার করেছেন।

এটি উপযুক্ত যে অ-প্রাকৃতিক বিবৃতি উত্পন্ন করা সহজ: যে কোনও সমস্যা যেখানে কেবল একটি দক্ষ র্যান্ডমাইজড অ্যালগরিদম জানা যায় কেবল তার একটি বৃহত উদাহরণ বেছে নিন। তবে, যদিও রিমন অনুমানের মতো "প্রচুর সংখ্যার প্রমাণ" সহ অনেকগুলি গাণিতিক উপপাদ্য রয়েছে তবে উপরের ফর্মটির কঠোর এলোমেলো প্রমাণের সাথে আমি কোনওটি জানি না।

Comments

@ কাভেঃ বিভাগ সংশোধনের জন্য ধন্যবাদ। কীসের অধীনে রাখবেন তা নিশ্চিত ছিলাম না।

— জেফ্রি ইরভিং

"দিকনির্দেশ" সাহিত্যের অধ্যয়ন (আরও ভাল সমীক্ষার সন্ধানও) অন্য দিক, direction তুলনামূলকভাবে সাম্প্রতিক (পুরষ্কার বিজয়ী) রিনগোল্ড উপপাদ্যটিও এর একটি ঘটনা ছিল (আবার প্রমাণের আগে)?

— vzn

ইআরএইচ (যেমন প্রাইমস ব্যবহার করা হত) এর উপর নির্ভরশীল একটি নির্বিচারবাদী প্রমাণের কোনও সমস্যা থাকলে এই সম্পত্তিটি হবে

— সুরেশ ভেঙ্কট

আমি দুঃখের সাথে বলতে চাই তবে আমি মনে করি না যে আপনার প্রশ্নটি বোধগম্য হয়েছে, কারণ প্রাকৃতিক বা না এমন কোনও বক্তব্য থাকতে পারে না। আপনি লিখেছেন যে এন একটি ভাল উদাহরণ হিসাবে ব্যবহৃত হয় তবে এটি অবশ্যই কিছুটা দীর্ঘতর, প্রাথমিকতার জন্য সর্বদা একটি নিয়মিতবাদী প্রমাণ রয়েছে। আপনি কীভাবে কোনও অ্যালগরিদমের সাফল্য সম্ভাবনা সংজ্ঞায়িত করবেন যা একটি স্থির বিবৃতি অস্বীকার করার কথা বলে তা আমি কল্পনাও করতে পারি না। হতে পারে আপনি কোনও শ্রেণীর সমস্যার জন্য দক্ষ প্রমাণ চাইবেন (অর্থাত্ ইনপুটটি পি এবং এন এবং বিবৃতি পি (এন) হবে) তবে তারপরে আমরা জটিল তত্ত্ব এবং বিপিপির সংজ্ঞাতে পৌঁছে যাই।

— ডোমোটরপ

ডমোটরপ: এটি সত্য যে (অ্যালগোরিদমটি এলোমেলো বিটগুলির একটি সীমিত সংখ্যক ব্যবহার করে ধরে নিলে) এ জাতীয় যে কোনও এলোমেলো প্রমাণটি কিছু কার্যকারিতা ব্যয়ের সাথে ড্র্যান্ডমাইজ করা যেতে পারে। যাইহোক, আমি উদাহরণগুলির বিষয়ে জিজ্ঞাসা করছি যেখানে পারফরম্যান্সের ব্যয়টি যথেষ্ট বেশি যে নির্ধারিত প্রমাণটি আজ অবধি চালানো হয়নি, যখন এলোমেলো প্রমাণ রয়েছে has আমি বিশ্বাস করি সংজ্ঞাগুলি এই প্রসঙ্গে উপলব্ধি করে।

— জেফ্রি ইরভিং

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\inv}{inv} \DeclareMathOperator{\maj}{maj}$ এটি আপনি যা চেয়েছেন তার উদাহরণ নয়, তবে পরামর্শ দেওয়া হয় যে এই জাতীয় উদাহরণ কীভাবে আসতে পারে। কিছু সংযুক্তকারী পরিচয় সীমাবদ্ধ ডিগ্রির বহুবর্ষ সম্পর্কে পরিচয় হিসাবে এনকোড করা যেতে পারে । যদি বহুবচনগুলি অবিচ্ছিন্ন থাকে, পরিচয় প্রমাণের জন্য এটি ডি + 1 পয়েন্টেএটি যাচাই করার জন্য যথেষ্ট। যাইহোক, যদিবহুভুজগুলিবহুবিধ হয় এবং ডিগ্রিটি অন্তত মাঝারি আকারে বড়হয় তবে সনাক্তকরণটি যাচাইয়ের একমাত্র ব্যবহারিক উপায়স্কয়ার্জ-জিপ্পেল লেমাহতে পারে।$d$$d+1$

অবিচ্ছিন্ন মামলার উদাহরণের জন্য, জিলবার্গারের এই নিবন্ধটি পরীক্ষা করুন , নুথের একটি প্রশ্নের সমাধান করুন। তিনি অনুমতি সংক্রান্ত পরিসংখ্যান সম্পর্কে একটি বিবৃতি প্রমাণ করেন। একটি বিন্যাস জন্য যাক INV ( π ) সংখ্যা হতে | { ( i , j ) : i < j , π ( i ) > π ( জে ) } | এর inversions এর π , এবং দিন প্রধান সূচক মেজর ( π ) এর$\pi \in S_n$$\inv(\pi)$$|\{(i, j): i < j, \pi(i) > \pi(j)\}|$$\pi$$\maj(\pi)$ সেটে সব পূর্ণসংখ্যার যোগফল হতে { আমি : π ( আমি + + 1 ) < π ( আমি ) } । জিলবার্গার প্রমাণ করেছেন যে, সকল n এর জন্য দুটি পরিসংখ্যানেরসমাহার$\pi$$\{i: \pi(i+1) < \pi(i)\}$$n$

যেখানে সব প্রত্যাশা একটি অবিশেষ এলোপাথারি ধরে আছেπমধ্যেএসএন। Zeilberger এর প্রমাণ মাত্র একটি কম্পিউটার যাচাইকরণ হয়এন∈{1,2,3,4,5}এবং একটি পর্যবেক্ষণ যে বিবৃতিতে polynomials মধ্যে একটি পরিচয় সমতূল্য

$$\mathbb{E}[(\inv(\pi) - \mathbb{E}[\inv(\pi)])\cdot(\maj(\pi) - \mathbb{E}[\maj(\pi)])] = \frac{1}{4}{n \choose 2},$$ $\pi$$S_n$$n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ সর্বাধিক ডিগ্রী 4 ।$n$$4$

Comments

ধন্যবাদ, এটি একটি সুন্দর নিবন্ধ। আমি নৈতিকতা বেশ পছন্দ করি।

— জেফ্রি ইরভিং