Proof (এন এলজি এন) এর স্বতন্ত্র প্রমাণ / স্বতন্ত্রতার জন্য সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে?

Question

উপাদান স্বতন্ত্রতা / স্বতন্ত্রতা সমস্যা (বীজগণিত গণনা গাছ বা বিরোধী যুক্তি উপর ভিত্তি করে) জন্য লগলাইনার নিম্ন আবদ্ধ জন্য বিভিন্ন প্রমাণ আছে, কিন্তু আমি একটি অ্যালগরিদম বিশ্লেষণ এবং ডিজাইনের প্রথম কোর্সে ব্যবহার করার জন্য যথেষ্ট সহজ এমন একটি সন্ধান করছি। বাছাইয়ের জন্য নিম্ন সীমা হিসাবে একই "অসুবিধার স্তর" ঠিক থাকবে be এছাড়াও, যে কোনও পদ্ধতির (উদাহরণস্বরূপ, সমন্বয়মূলক বা তথ্য তত্ত্বের ভিত্তিতে) ঠিক হবে would কোনও পরামর্শ?

Comments

গণনার কোন মডেল আপনার মনে আছে? আইটেমগুলি ছোট পূর্ণসংখ্যা হলে বাছাই করে করতে পারে । আইটেমগুলিকে কেবল অসমতার জন্য তুলনা করা গেলে সেখানে Ω ( n 2 ) নিম্ন আবদ্ধ বলে মনে হচ্ছে । আপনি যে উত্তরটি সন্ধান করছেন সেগুলি থেকে আইটেমগুলি রৈখিকভাবে অর্ডার করা হয়েছে এবং <, =,> এর জন্য তুলনা করা যেতে পারে তবে অন্য কোনও ক্রিয়াকলাপের সাথে তুলনা করা কি সঠিক? $o(n \log n)$$\Omega(n^2)$

— ওয়ারেন শুডি

তার মন্তব্যে ওয়ারেনের প্রশ্নটি একটি ভাল কল। এর সাথে সম্পর্কিত, আরেকটি প্রশ্নে ডেভিড এপস্টিনের মন্তব্য অন্তর্দৃষ্টিপূর্ণ, যেখানে তিনি যখন আমরা এই ধরণের নিম্ন সীমা সম্পর্কে কথা বলি তখন কম্পিউটারের মডেল নির্দিষ্টকরণের গুরুত্বকে জোর দিয়ে থাকে। যাইহোক, আমি নিশ্চিত নই যে "বীজগণিত গণনা গাছ" (গণনার একটি মডেল) এবং "বিপরীতমুখী যুক্তি" (একটি প্রমাণ পদ্ধতি) পাশাপাশি পাশাপাশি তালিকাভুক্ত করা কি বোধগম্য।

— Tsuyoshi Ito

খুব ভাল পয়েন্ট। এখানে আমার অ্যাপ্লিকেশনটি হ্রাস দ্বারা কঠোরতার প্রমাণগুলি সম্পর্কে ব্যাখ্যা করছে - উদাহরণস্বরূপ স্বতন্ত্রতা থেকে বাছাইকরণে (এবং অন্যান্য বেশ কয়েকটি সমস্যা)। অতএব, আমি তুলনা বাছাইয়ের সাথে কাজ করার সময় একই বেসিক অপারেশনগুলি ধরে নিচ্ছি (যাতে হ্রাস কাজ করবে)। (বা, আমার ধারণা, বাস্তব সংখ্যার সাথে র‌্যামের সমতুল্য কিছু

— ম্যাগনাস লাই হেটল্যান্ড

Answer 1

স্বতন্ত্রতার যে কোনও শংসাপত্র (প্রমাণ) যা কেবলমাত্র <, = এবং> ব্যবহার করে তা অবশ্যই সাজানো ক্রমের সাথে প্রতিটি জোড় সংলগ্ন উপাদানের মধ্যে তুলনা অন্তর্ভুক্ত করতে হবে। সুতরাং স্বতন্ত্রতার যে কোনও শংসাপত্র বাছাই করার জন্য পর্যাপ্ত তথ্য দেয় এবং তাই বাছাইয়ের জন্য প্রমিত তথ্য-তাত্ত্বিক নিম্ন বন্ডটি যে কোনও নির্মাতামূলক স্বতন্ত্রতা অ্যালগরিদমের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।

Comments

এই যুক্তি তুলনামূলক গাছগুলির জন্য কাজ করে তবে আরও সাধারণ সিদ্ধান্ত গাছের মডেলগুলির জন্য (সরাসরি) নয়।

— জেফি

জেফি: আমি একমত আমি সন্দেহ করি যে ম্যাগনাসের উদ্দেশ্যে আরও সাধারণ মডেল হিসাবে কাজ করার জন্য একটি সহজ যথেষ্ট প্রমাণ রয়েছে।

— ওয়ারেন শুডি

ঠিক। তুলনামূলক গাছগুলি আমার অ্যাপ্লিকেশনের জন্য ভাল - সুতরাং আমি অনুমান করি যে এটি আমি যা খুঁজছি তার কাছাকাছি। আমার অ্যাপ্লিকেশনটি বাছাই করতে হ্রাস সহ কঠোরতার প্রমাণগুলির ধারণাটি ব্যাখ্যা করছিল, সুতরাং এখানে বাছাই করা প্রমাণটি সম্পূর্ণরূপে শর্ট সার্কিটের সাজানোর জন্য ব্যবহৃত হয়। আমার ধারণা আমার স্পষ্টভাবে বলা উচিত ছিল :-)

— ম্যাগনাস লাই হেটল্যান্ড

Answer 2

আমি প্রশ্নটি সঠিকভাবে বুঝতে পেরেছি কিনা তা নিশ্চিত নই, তবে ডবকিন এবং লিপটন [ডিএল 79৯] দ্বারা প্রমাণ যে n সংখ্যার স্বতন্ত্রতার সমস্যাটির জন্য লিনিয়ার সিদ্ধান্ত গাছের মডেলের in ( n লগ এন ) তুলনা প্রয়োজন শক্তিশালী ফলাফলের চেয়ে অনেক সহজ বেন-অর [বেন ৩৩] দ্বারা বীজগণিত গণনা গাছের মডেল (আশ্চর্যজনকভাবে নয়)।

তথ্যসূত্র

[বেন ৩৩] মাইকেল বেন-অর। বীজগণিত গণনা গাছের জন্য নিম্ন সীমা। ইন কম্পিউটিং (STOC 1983) তত্ত্বের উপর পঞ্চদশ বার্ষিক এসিএম সিম্পোজিয়াম প্রসিডিংস , পিপি। 80-86, এপ্রিল 1983 http://doi.acm.org/10.1145/800061.808735

[ডিএল]]] ডেভিড পি ডবকিন এবং রিচার্ড জে লিপটন। আদিম বিভিন্ন সেট অধীনে গণনা জটিলতা উপর। কম্পিউটার ও সিস্টেম সায়েন্সেস জার্নাল , 18 (1): 86–91, ফেব্রুয়ারী 1979. http://dx.doi.org/10.1016/0022-0000(79)90054-0

Comments

সংক্ষেপে: সমস্ত সম্ভাব্য ইনপুটগুলির স্থান ^ n বিবেচনা করুন। পজিটিভ ইনপুটগুলির সেটটি এন! সংযুক্ত উপাদান, প্রতিটি অনুক্রমের জন্য একটি। অন্যদিকে, লিনিয়ার সিদ্ধান্ত গাছের যে কোনও পাতায় পৌঁছতে পারে এমন উপসেট ইনপুট উত্তল, এবং তাই সংযুক্ত। সুতরাং, স্বতন্ত্রতা নির্ধারণ করে এমন কোনও লিনিয়ার সিদ্ধান্ত গাছের কমপক্ষে এন রয়েছে! পাতার।

— জেফি

পূর্ণসংখ্যা ইনপুটগুলির বিশেষ ক্ষেত্রে আরও সুক্ষ্ম যুক্তি প্রয়োজন। লুবিউ এবং র্যাকস দেখুন, "পূর্ণসংখ্যার উপাদান স্বতন্ত্রতার সমস্যার জন্য একটি নিম্ন সীমা", তথ্য এবং গণনা 1991; বা ইয়াও, "পূর্ণসংখ্যা ইনপুট সহ বীজগণিত গণনা গাছের জন্য নিম্ন সীমানা",

— FOCS

@ জেফি: আপনার সংক্ষিপ্ত ব্যাখ্যাটি দুর্দান্ত। আকর্ষণীয় ফলাফলের পয়েন্টারটির জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। বেন-অর দ্বারা নিচের দিকে আবদ্ধ হওয়া অবিলম্বে সেই ক্ষেত্রে প্রয়োগ হয় না যেখানে ইনপুটটি পূর্ণসংখ্যার মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে!

— Tsuyoshi Ito

জেফ: এগুলি একটি উত্তর হতে হবে!

— সুরেশ ভেঙ্কট

স্যুইশি ইটো এবং জেফই উভয়কে ধন্যবাদ। আমি এর আগে আর ^ n স্পেস প্রুফ দেখেছি (অ্যাডভারসিয়াল আর্গুমেন্ট ব্যবহার করে একটি সেটিংয়ে)। আমি ভেবেছিলাম যে এটি আমার লক্ষ্য দর্শকদের জন্য যখন আমি প্রথম পড়ি তখন এটি কিছুটা জটিল, তবে আমার ধারণা সম্ভবত এটি সত্যিই তা নয়। ধন্যবাদ। (আমি পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে কাগজটিও দেখেছি - আমি মনে করি যে আমি আমার বক্তৃতায় যাব না ... :)

— ম্যাগনাস লাই হেটল্যান্ড