নেই

যদি আমরা সংজ্ঞায়িত কি হবে ${\bf PPAD}$ যেমন যে পরিবর্তে একটি polytime টুরিং-মেশিন / polysize বর্তনী, একটি logspace টুরিং মেশিন অথবা একটি এর ${\bf AC^0}$ বর্তনী সমস্যা এনকোড?

সম্প্রতি ছোট সার্কিটগুলির জন্য সার্কিট সন্তুষ্টির জন্য দ্রুত অ্যালগরিদমগুলি দেওয়া গুরুত্বপূর্ণ হিসাবে প্রমাণিত হয়েছিল , তাই আমি অবাক হই যে আয়তনযুক্ত সংস্করণগুলিতে কী ঘটে ${\bf PPAD}$ ।

— domotorp
সূত্র

বস এবং জনসন, "এনপি অনুসন্ধান সমস্যার মধ্যে প্রস্তাবিত প্রমাণ এবং হ্রাস" প্রমাণ করেছেন যে পিপিএডি টুরিং হ্রাসের আওতায় বন্ধ রয়েছে এবং আমি নিশ্চিত যে যুক্তির একটি ছোটখাটো পরিবর্তন পিপিএডি এর (ইউনিফর্ম) এসি ^ 0 সংস্করণের সাথে সমতা দেয় ।

— এমিল জ্যাব্যাক

@ এমিল: এই পরামর্শের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ, দুর্ভাগ্যক্রমে এই গবেষণাপত্রে আমার ধারণাগুলি অতিক্রান্ত। যদি কেউ আমাকে এর প্রভাবগুলি বলতে পারে তবে আমি কৃতজ্ঞ হব। এছাড়াও, আমাকে এটির প্রিপ্রিন্টটি এখানে লিঙ্ক করতে দাও: math.ucsd.edu/~sbuss/ResearchWeb/NPS Search

— NPS

$\def\ac{\mathrm{AC}^0}$ হ্যাঁ, । (এখানে এবং নীচে, আমি ধরে নিচ্ছি একটি অভিন্ন শ্রেণি হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে course অবশ্যই, ইউনিফর্ম আমরা কেবল পেয়ে )) $\ac\mathrm{PAD}=\mathrm{PPAD}$ $\ac$ $\ac$ $\mathrm{PPAD/poly}$

মৌলিক ধারণাটি বেশ সহজ: একটি টুরিং মেশিন গণনার এক ধাপ করতে পারে, তাই আমরা একটি বহু- সময়কালীন গণনাযোগ্য প্রান্তটি কমপ্যুটেবল প্রান্তগুলির একটি বহুবর্ষীয় দীর্ঘ লাইনের দ্বারা অনুকরণ করতে পারি । ধারণার আরও প্রসারিত করে, কেউ একটি পিপিএড ওরাকল দিয়ে পলি টাইমে গণনাযোগ্য প্রান্তগুলি অনুকরণ করতে পারে, অর্থাৎ পিপিএডি টুরিং হ্রাসযোগ্যতার অধীনে বন্ধ রয়েছে; এই যুক্তিটি বস এবং জনসনে দেওয়া হয়েছে । $\ac$ $\ac$

সাহিত্যে পিপিএডের অনেক সমতুল্য সংজ্ঞা রয়েছে যা বিভিন্ন বিবরণে পৃথক হয়, অতএব আমি এখানে একটি নির্দিষ্টতার জন্য স্থির করি let নীচের বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে বহুবচনীয় , এবং বহু-কালীন ফাংশন , , এবং একটি এনপি অনুসন্ধান সমস্যা পিপিএডে রয়েছে। প্রতিটি ইনপুট করতে দৈর্ঘ্যের , এবং একটি নির্দেশ গ্রাফ প্রতিনিধিত্ব ছাড়া স্ব-লুপ যেখানে , এবং প্রত্যেক নোড ইন হয়েছে ডিগ্রি এবং সর্বাধিক । উপস্থাপনাটি এমন যে যদি $S$ $p(n)$ $f(x,u)$ $g(x,u)$ $h(x,u)$ $x$ $n$ $f$ $g$ $G_x=(V_x,E_x)$ $V_x=\{0,1\}^{p(n)}$ $1$ $(u,v)\in E_x$ , তারপরে এবং ; যদি আউট-ডিগ্রি , ; এবং যদি স্নাতক , । $f(x,u)=v$ $g(x,v)=u$ $u$ $0$ $f(x,u)=u$ $u$ $0$ $g(x,u)=u$

নোড একটি উত্স (যেমন, এটির স্নাতক এবং আউট-ডিগ্রি ) রয়েছে। যদি কোনো উৎস বা বেসিনে হয় (ইন-ডিগ্রী আউট ডিগ্রী ) ছাড়া অন্য , তারপর একটি সমাধান । $0^{p(n)}\in V_x$ $0$ $1$ $u\in V_x$ $1$ $0$ $0^{p(n)}$ $h(x,u)$ $S(x)$

আমরা একইভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি , কেবলমাত্র জন্য । $\ac\mathrm{PAD}$ $f,g,h$ $\mathrm{FAC}^0$

সরলতার জন্য নির্মাণে উপেক্ষা করব । (এটি প্রদর্শন করা শক্ত নয় যে কেউ এটিকে প্রজেকশন হিসাবে নিতে পারে, তাই এটি কমপটেটেবল)) $h$ $\ac$

সুতরাং, একটি পিপিএড সমস্যা বিবেচনা করুন এবং এবং দ্বারা সংজ্ঞায়িত, এবংমেশিনগুলি এবং টাইম । যে কোনও , আমরা একটি নির্দেশিত গ্রাফ সংজ্ঞায়িত করিযার উল্লম্বগুলি নিম্নলিখিত ফর্মের ক্রম: $S$ $f$ $g$ $f$ $g$ $q(n)$ $x$ $G'_x=(V'_x,E'_x)$

, যেখানে , , এবং প্রথম এর গণনার মধ্যে কনফিগারেশনের । $(0,u,c_1,\dots,c_k)$ $u\in V_x$ $0\le k\le q(n)$ $c_1,\dots,c_k$ $k$ $f(x,u)$
, যেখানে , , , $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)$ $u,v\in V_x$ $0\le k\le q(n)$ $f(x,u)=v$ এর সম্পূর্ণ গণনাএবং হলএর গণনারপ্রথমপদক্ষেপ। $c_1,\dots,c_{q(n)}$ $f(x,u)$ $d_1,\dots,d_k$ $k$ $g(x,v)$
, যেখানে , , এবং প্রথম কনফিগারেশন গণনা । $(1,v,d_1,\dots,d_k)$ $0^{p(n)}\ne v\in V_x$ $0\le k\le q(n)$ $d_1,\dots,d_k$ $k$ $g(x,v)$
, যেখানে , , , , $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$ $u,v\in V_x$ $v\ne0^{p(n)}$ $0\le k\le q(n)$ $g(x,v)=u$ এর গণনার হয় , এবং প্রথম এর গণনার পদক্ষেপ । $d_1,\dots,d_{q(n)}$ $g(x,v)$ $c_1,\dots,c_k$ $k$ $f(x,u)$

নিম্নলিখিত ধরণের এরপ্রান্তগুলি নিয়ে গঠিত: $E'_x$ $V'_x\times V'_x$

$(0,u,c_1,\dots,c_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{k+1})$
$(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)})\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v)$
$(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{k+1})$
যদি $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{q(n)})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{q(n)})$ এবং (অর্থাত, হয় , অথবা একটি বিচ্ছিন্ন প্রান্তবিন্দু হয়) $f(u)=v$ $g(v)=u$ $(u,v)\in E_x$ $u=v$
$(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$
$(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u)\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)})$
$(1,v,d_1,\dots,d_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_k)$
$(1,u)\to(0,u)$

Formally, let $r(n)$ be a polynomial bounding the lengths of binary representations of all the sequences above (such that we can extend or shorten sequences, and extract their elements with $\ac$ -functions); we actually put $V'_x=\{0,1\}^{r(n)}$ , and we let all vertices except the above-mentioned sequences to be isolated.

It is easy to see that the functions $f'$ , $g'$ representing $G'_x$ are $\ac$ -computable: in particular, we can test in $\ac$ whether $c_1,\dots,c_k$ is a valid partial computation of $f(x,u)$ , we can compute $c_{k+1}$ from $c_k$ , and we can extract the value of $f(x,u)$ from $c_{q(n)}$ .

The sinks in $G'_x$ are nodes of the form $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},u,d_1,\dots,d_{q(n)})$ where $u$ is a sink in $G_x$ . Likewise, sources are $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},v,c_1,\dots,c_{q(n)})$ where $v$ is a source in $G_x$ , except that in the special case $v=0^{p(n)}$ , we have pruned the line early and the corresponding source in $G'_x$ is just $(0,0^{p(n)})$ . We can assume the encoding of sequences is done in such a way that $(0,0^{p(n)})=0^{r(n)}$ .

Thus, $f'$ and $g'$ define an $\ac\mathrm{PAD}$ problem $S'$ , and we can extract a solution to $S(x)$ from a solution to $S'(x)$ by an $\ac$ -function $h'$ which outputs the second component of a sequence.

— Emil Jeřábek supports Monica
সূত্র