সেট কভার সমস্যাটির এই রূপটি কী হিসাবে পরিচিত?

ইনপুট একটি মহাবিশ্ব এবং সাব-সেট নির্বাচন একটি পরিবার , বলো, । আমরা ধরে নিই যে সাবসেটগুলি , অর্থাৎ, cover । $U$ $U$ ${\cal F} \subseteq 2^U$ ${\cal F}$ $U$ $\bigcup_{E\in {\cal F}}E=U$

একটি ইনক্রিমেন্টাল কভারিং সিক্যুয়েন্সটি উপগ্রহের ক্রম , বলুন, , যা সন্তুষ্ট ${\cal F}$ ${\cal A}=\{E_1,E_2,\ldots,E_{|{\cal A}|}\}$

1) , $\forall E\in {\cal A}, E\in {\cal F}$

2) প্রতিটি আগতকের নতুন অবদান থাকে, অর্থাত, , ; $\forall i>1$ $\bigcup_{j=1}^{i-1}E_i \subsetneq \bigcup_{j=1}^{i}E_i$

সমস্যাটি হ'ল সর্বাধিক দৈর্ঘ্যের ক্রমবর্ধমান কভারিং ক্রম সন্ধান করা (যেমন, সর্বোচ্চ $|{\cal A}|$ )। নোট করুন যে সর্বাধিক দৈর্ঘ্যের ক্রমটি অবশ্যই অবশেষে $U$ , অর্থাৎ cover $\bigcup_{E\in {\cal A}}E=U$ ।

দীর্ঘতম বর্ধনশীল আচ্ছাদন ক্রমটি সন্ধান করার জন্য আমি একটি অ্যালগরিদম বা আনুমানিক অ্যালগরিদম সন্ধান করার চেষ্টা করেছি। আমি কেবল ভাবছিলাম যে সেট কভার সমস্যার এই রূপটি কী হিসাবে পরিচিত। ধন্যবাদ!

— সিচ কোহমোলজি
সূত্র

মহাবিশ্বকে cover কভার করতে আপনার নিজের পরিবার subse require প্রয়োজন ? কারণ আপনি অতিরিক্ত সম্পত্তি সহ সেট কভারটি খুঁজছেন কারণ অবশ্যই আপনি আরও জটিল সেট কভার সমস্যা করতে পারেন। অন্য কথায়, সেট কভার আপনার সমস্যা হ্রাস করে। সেট কভারের উইকিতে সেট কভারের জন্য অপ্রয়োজনীয় ফলাফলও রয়েছে।

A

$\cal{A}$

U

$\cal{U}$

— হ্যারি

কেবলমাত্র একটি পর্যবেক্ষণ (কোনও উত্তর দেওয়ার পক্ষে খুব ছোট): যখন আপনার সাবসেটগুলি আকার দুটি হবে তখন আপনি যা খুঁজছেন তা মূলত একটি বিস্তৃত বন।

— ডেভিড এপস্টিন

সম্ভবত ওপিতে নতুন নয়, তবে এখানে কয়েকটি পর্যবেক্ষণ দেওয়া হয়েছে। (1) সর্বোত্তম মান সর্বদা সর্বাধিক | ইউ | অনুকূল মান | ইউ | এর সমান কিনা লোভিত অ্যালগরিদম দ্বারা আচ্ছাদিত উপাদানগুলির সংখ্যা কমানোর চেষ্টা করে দক্ষতার সাথে সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় না। (২) একই লোভী অ্যালগরিদম এছাড়াও কাজ করে যদি এফের সমস্ত সেট দুটি আকারের হয়, ডেভিড এপস্টিনের মন্তব্য দেখুন। (3) একই লোভী অ্যালগরিদম সাধারণভাবে (দীর্ঘশ্বাস ফেলে) কাজ করে না। একটি পাল্টা নমুনা: এফ = {{1,2,3 {, {1,4,5,6 {, {2,4,5,6}, {3,4,5,6}}}

— Tsuyoshi Ito

সমস্যাটি মোটেও কোনও সেট কভার সমস্যার মতো দেখায় না ... দ্বিদলীয় গ্রাফগুলিতে ম্যাচিং এবং প্ররোচিত মিলের মধ্যে একটি হাইব্রিডের মতো আরও। একটি চমৎকার সমতুল্য সংস্কারটি হ'ল যদি পরিবারে ঠিক কোনও সেট দ্বারা কোনও উপাদান আবৃত না হয় তবে একটি পরিবার খারাপ । সমস্যা বৃহত্তম বংশের শাখা খুঁজে পেতে এর যেমন যে কোন খারাপ বংশের শাখা রয়েছে।

A

${\cal A}$

F

${\cal F}$

A

${\cal A}$

— ড্যানিয়েলো

@ নিলেন ইয়াং bad খারাপ নয় কারণ ঠিক এক সেট দ্বারা আবৃত (যথা । )।

F

${\cal F}$

b

$b$

{a, b}

$\{a,b\}$

— ড্যানিয়েলো

উত্তর:

এখানে আমি দেখাই যে সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ।

আমরা আপনার সিএনএফকে নিম্নরূপ আপনার সমস্যার উদাহরণে রূপান্তর করি। মনে করুন যে ভেরিয়েবলগুলি 's এবং ধারাগুলি এর, যেখানে । যাক যেখানে ইউনিয়নে সব সেট সম্পূর্ণরূপে টুকরো করা হয়। আসলে, এবং , যখন কার্ডিনালিটি এর কোনও সেট । এছাড়াও বোঝাতে এবং প্রতি জন্য ফিক্স দৈর্ঘ্যের একটি ক্রমবর্ধমান পরিবার এটা ভিতরে, দ্বারা প্রকাশ জন্য $n$ $x_i$ $m$ $C_j$ $n<m$ $U=\cup_i (A_i\cup B_i\cup Z_i)$ $A_i=\{a_{i,j}\mid x_i\in C_j\}\cup\{a_{i,0}\}$ $B_i=\{b_{i,j}\mid x_i\in C_j\}\cup\{b_{i,0}\}$ $Z_i$ $k=2n+1$ $Z=\cup_i Z_i$ $Z_i$ $k$ $Z_{i,l}$ $l=1..k$ । প্রত্যেক পরিবর্তনশীল জন্য , আমরা যোগ করতে সেট , ফর্ম জোড়া প্রত্যেকে সেট এবং । প্রতিটি ধারা , আমরা একটি সেট , যার মধ্যে থাকে এবং প্রতিটি for এর জন্য উপাদান এবং উপাদান প্রতি for এর জন্য । $x_i$ $2k$ $\mathcal F$ $A_i \cup Z_{i,l}$ $B_i \cup Z_{i,l}$ $C_j$ $\mathcal F$ $Z$ $x_i\in C_j$ $\{a_{i,j}\}$ $\bar x_i\in C_j$ $\{b_{i,j}\}$

মনে করুন যে সূত্রটি সন্তুষ্ট এবং একটি সন্তোষজনক কার্যভার স্থির করুন। তারপরে সত্য কিনা তা নির্ভর করে বা form ফর্মের সেটগুলি চয়ন করুন । এগুলি ইনক্রিমেন্টাল সেট। এখন ক্লোজের সাথে সম্পর্কিত সেটগুলি যুক্ত করুন । এগুলি আকারগুলি বাড়িয়ে তোলে, কারণ ধারাগুলি সন্তুষ্টযোগ্য। অবশেষে, আমরা সিকোয়েন্স কভারটি তৈরি করতে আরও আরও (প্রতিটি ভেরিয়েবলের জন্য একটি) যুক্ত করতে পারি । $k$ $A_i \cup Z_{i,l}$ $B_i \cup Z_{i,l}$ $x_i$ $nk$ $m$ $k$ $U$

এখন ধরুন যে সেটগুলি একটি বর্ধিত ক্রমে রাখা হয়েছে। লক্ষ্য করুন যে সাথে সম্পর্কিত সর্বাধিক সেট প্রতিটি জন্য নির্বাচন করা যেতে পারে । সুতরাং, যদি ইনক্রিমেন্টাল সিকোয়েন্সে কোনও ক্লজ সেট না থাকে, সর্বাধিক নির্বাচন করা যায়, যা খুব কম is লক্ষ্য করুন যে কোনও ক্লজ সেটটি নির্বাচিত হওয়ার সাথে সাথে আমরা প্রতিটি এর সাথে মোট সেট মোট মোট দুটি সেট বাছাই করতে পারি । অতএব, কোনও ক্লজ সেট বাছাইয়ের আগে আমাদের কমপক্ষে ভেরিয়েবল সেট বেছে নিতে হবে। তবে আমরা প্রতিটি জন্য সর্বাধিক বেছে নিতে পারি , এর অর্থ হ'ল প্রত্যেকের জন্য আমরা কমপক্ষে বেছে $n(k+1)+m$ $k+1$ $x_i$ $x_i$ $n(k+1)$ $x_i$ $2n$ $n(k-1)$ $k+1$ $x_i$ $1$ , । এটি ভেরিয়েবলের "মান" নির্ধারণ করে, সুতরাং আমরা কেবল "সত্য" ধারা বেছে নিতে পারি। $k=2n+1$

আপডেট করুন: পরিবর্তিত মান থেকে করতে Marzio দ্বারা সরু আউট হিসাবে। $k$ $n$ $2n+1$

— domotorp
সূত্র

একটি স্পষ্টতা: আমি দ্রুতই অসন্তুষ্টিজনক সূত্র ( ) এর জন্য পরীক্ষা করে দেখেছি তবে মনে হচ্ছে আমরা এর ক্রম তৈরি করতে পারি increasing এর বাড়তি সেট । সম্ভবত আমি একটি ভুল করেছি: আমাদের কাছে কি ?

x_{1} \land \neg x_{1}

$x_1 \land \neg x_1$

n = k = 1, m = 2

$n=k=1, m=2$

n (k + 1) + m = 4

$n(k+1)+m = 4$

F

$\mathcal F$

F = {{a_{1, 0}, a_{1, 1}, a_{1, 2}, z_{1}}, {b_{1, 0}, b_{1, 1}, b_{1, 2}, z_{1}}, {a_{1, 1}, z_{1}}, {b_{1, 2}, z_{1}}}

$\mathcal F= \{ \{ a_{1,0}, a_{1,1}, a_{1,2}, z_1 \}, \{ b_{1,0}, b_{1,1}, b_{1,2}, z_1\}, \{ a_{1,1}, z_1 \}, \{ b_{1,2}, z_1 \} \}$

— মারজিও ডি বায়াসি

আপনাকে এবং আমার সম্পর্কে জানা, আমি নিশ্চিত ভুলটি আমার ... আমি মনে করি আমাদের , তবে অবশ্যই এটি এখনও একটি সমস্যা। ঠিক আছে, আমি কোথায় ত্রুটিটি করেছি তা আমি দেখছি, আমি এক মিনিটের মধ্যে ঠিক করেছি!

F = {{a_{1, 0}, a_{1, 1}, z_{1}}, {b_{1, 0}, b_{1, 2}, z_{1}}, {a_{1, 1}, z_{1}}, {b_{1, 2}, z_{1}}}

${\mathcal F}=\{\{a_{1,0},a_{1,1},z_1\}, \{b_{1,0},b_{1,2},z_1\},\{a_{1,1},z_1\}, \{b_{1,2},z_1\}\}$

— domotorp

ঠিক আছে, আমি আগামীকাল এটি একবার দেখে নেব! কেবল একটি নোট, আপনি কি (একটি মন্তব্যে) লিখতে পারবেন জন্য কী এবং আচ্ছাদন ক্রমের দৈর্ঘ্যের জন্য "লক্ষ্য মান" কী (এটি কে)? কারণ, পরিবর্তিত উত্তরে আপনি প্রথমে সেট করেছেন , তারপরে সেটগুলি বর্ধিত ক্রমে রেখেছেন ; এটি কি সঠিক (আমি হ্রাসের চেষ্টা এখনও করিনি)?

F

$\mathcal F$

x_{i} \land \neg x_{i}

$x_i \land \neg x_i$

k = 2 n + 1

$k = 2n+1$

n (k + 1) + m = 2 n^{2} + 2 n + m

$n(k+1)+m = 2n^2+2n + m$

— মারজিও ডি বায়াসি

F = {{a_{1, 0}, a_{1, 1}, z_{1},}, {a_{1, 0}, a_{1, 1}, z_{1}, z_{2}}, {a_{1, 0}, a_{1, 1}, z_{1}, z_{2}, z_{3}}, {b_{1, 0}, b_{1, 2}, z_{1}}, {b_{1, 0}, b_{1, 2}, z_{1}, z_{2}}, {b_{1, 0}, b_{1, 2}, z_{1}, z_{2}, z_{3}}, {a_{1, 1}, z_{1}, z_{2}, z_{3}}, {b_{1, 2}, z_{1}, z_{2}, z_{3}}}

${\mathcal F}=\{\{a_{1,0},a_{1,1},z_1,\},\{a_{1,0},a_{1,1},z_1,z_2\},\{a_{1,0},a_{1,1},z_1,z_2,z_3\},\{b_{1,0},b_{1,2},z_1\},\{b_{1,0},b_{1,2},z_1,z_2\},\{b_{1,0},b_{1,2},z_1,z_2,z_3\},\{a_{1,1},z_1,z_2,z_3\},\{b_{1,2},z_1,z_2,z_3\}\}$

— ডমোটরপ

আমি মনে করি এটি হিসাবে সঠিক , তবে আমাদের কেবল দৈর্ঘ্য বর্ধমান ক্রম রয়েছে।

n (k + 1) + m = 6

$n(k+1)+m=6$

5

$5$

— ডোমোটরপ

সীমাবদ্ধতার অধীনে এটি একটি সেট প্যাকিং সমস্যা the the সমাধানের জন্য, কোনও উপসেট , আমাদের কাছে always সবসময় একটি উপাদান , যা একবারে পড়ে যায়। $\mathcal{A}$ $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{A}$ $\bigcup_{X \in \mathcal{B}} X$

প্রুফ: আপনার সমস্যার সমাধান দেওয়া, এটি অবিলম্বে এই সম্পত্তি রয়েছে। প্রকৃতপক্ষে, যদি আপনার সমস্যার সন্তোষজনক সমাধান হয় তাহলে একটি উপসেট বিবেচনা এই সেট, এবং অনুমান প্রদর্শনে এই ক্রমানুসারে গত সেট । প্রয়োজনীয় সম্পত্তির দ্বারা যে সমাধানটি ক্রমবর্ধমান, এটি অনুসরণ করে যে এমন কোনও উপাদানকে কভার করে যা পূর্ববর্তী কোনও সেট কভার করে না, যা উপরের সম্পত্তিটিকে বোঝায়। $E_1, \ldots, E_m$ $\mathcal{B}$ $E_i$ $\mathcal{B}$ $E_i$

অন্য দিক হিসাবে, এটি সহজ। সমাধানটি from থেকে শুরু করুন , একবারে ঠিক covered থাকা উপাদানটি সন্ধান করুন, এটি ক্রমের শেষ সেট হিসাবে সেট করুন, এই সেটটি সরান এবং পুনরাবৃত্তি করুন। Qed। $\mathcal{A}$

এটি একটি খুব প্রাকৃতিক সমস্যা ....

দ্রুত অনুস্মারক: সেট প্যাকিংয়ের সমস্যায়, সেটগুলির একটি পরিবার দেওয়া হয়েছে, সেটগুলির সর্বাধিক উপসেটটি সন্ধান করুন, যা কিছু অতিরিক্ত বাধা মেনে চলে (বলে, কোনও উপাদান 10 বারের বেশি নয়, ইত্যাদি)।

— সারিল হার-প্লেড
সূত্র

এই উত্তরটি কি কেবল প্রমাণ করে দিচ্ছে যে প্রশ্নটি প্রাকৃতিক, বা আপনি দাবি করার মতো আরও কিছু আছে?

— ডোমোটরপ

এটি সরল উপায়ে বলছে। কোন?

— সারিল হ্যার-পিল্ড

হ্যাঁ, আমি তাতে একমত

— ডোমোটরপ