মাত্র এক প্রান্তিক গেট সহ পাটিগণিত সার্কিট

যখন অবধি সীমিত $0$ - $1$ ইনপুট, যে $\{+,\times\}$ -circuit $F(x_1,\ldots,x_n)$ নির্ণয় কিছু ফাংশন $F:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}$ । একটি প্রাপ্ত বুলিয়ান ফাংশন, আমরা শুধু আউটপুট গেট হিসেবে fanin -1 থ্রেশহোল্ড গেট যোগ করতে পারেন। ইনপুটের $a\in\{0,1\}^n$ , ফলে প্রান্তিক মানের $\{+,\times\}$ -সার্কিট এরপরে হলে আউটপুট হয়এবং হলে আউটপুট হয়; প্রান্তিক যে কোনও ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার হতে পারে, যা উপর নির্ভর করেতবে ইনপুট মানগুলিতে নয়। ফলে সার্কিট কিছু (একঘেয়েমি) নির্ণয়বুলিয়ানফাংশন $1$ $F(a)\geq t$ $0$ $F(a)\leq t-1$ $t=t_n$ $n$ $F':\{0,1\}^n\to \{0,1\}$ ।

প্রশ্ন: ক্যান থ্রেশহোল্ড $\{+,\times\}$ -circuits দক্ষতার দ্বারা কৃত্রিম হতে $\{\lor,\land\}$ -circuits?

"দক্ষতার সাথে" মানে "আকারের সর্বাধিক বহুবর্ষীয় বৃদ্ধি সহ"। উত্তর প্রান্তিক জন্য "হ্যাঁ" পরিষ্কার $t=1$ : কেবলমাত্র $+$ বাই $\lor$ , $\times$ বাই প্রতিস্থাপন করুন $\land$ এবং শেষ প্রান্তিক গেটটি সরিয়ে দিন। অর্থাৎ $\{\lor,\land\}$ -circuits threshold- আসলে হয় $1$ $\{+,\times\}$ -circuits। তবে বড় থ্রেশহোল্ডগুলি কী বলুন, $t=2$ ?

এক গাণিতিক অনুরূপ উদাহরণ বর্ণনা করতে পারেন $\#C$ সবচেয়ে বুলিয়ান বর্তনী ক্লাস $C$ মাত্র ব্যবহার করে $+$ পরিবর্তে বা, $\times$ এবং এর পরিবর্তে, এবং $1-x_i$ পরিবর্তে $\bar{x}_i$ । উদাহরণস্বরূপ, $\#AC^0$ সার্কিট হয় $\{+,\times\}$ সীমাবদ্ধ fanin সঙ্গে ধ্রুবক গভীরতা -circuits $+$ এবং $\times$ দরজা এবং দরজার ওপরে ইনপুট $x_i$ এবং $1-x_i$ । অগ্রওয়াল, অ্যালেন্ডার এবং দত্ত প্রান্তিক $\#AC^0$ = দেখিয়েছেন $TC^0$ । (রিকল যে $AC^0$ নিজেই একটি হল সঠিক এর উপসেট $TC^0$ অন্য কথায়, নির্দিষ্ট-গভীরতা থ্রেশহোল্ড সার্কিট দক্ষতার নির্দিষ্ট-গভীরতা দ্বারা কৃত্রিম করা যেতে পারে; বলো সংখ্যাগরিষ্ঠ ফাংশন নিতে।) $\{+,-,\times\}$ - সার্কিট, মাত্র একটি থ্রেশোল্ড গেট দিয়ে! তবে নোট করুন, তবে আমার প্রশ্নটি একঘেয়ে সার্কিট সম্পর্কে (মাইনাস নেই " $-$ " গেট হিসাবে এবং এমনকি $1-x_i$ ইনপুট হিসাবে) একটি (সর্বশেষ) প্রান্তিক গেটটি কি তখন এত শক্তিশালী হতে পারে? আমি এই জিনিসটি জানি না, তাই সম্পর্কিত কোনও পয়েন্টার স্বাগত জানানো হয়।

বিশেষ দ্রষ্টব্য আছে এখনও অন্য আকর্ষণীয় সম্পর্কযুক্ত ফলাফলের আর্নল্ড Rosenbloom কারণে: $\{+,\times\}$ শুধু এক সঙ্গে -circuits একঘেয়েমি ফাংশন $g:\mathbb{N}^2\to\{0,1\}$ আউটপুট গেট প্রতি ফালি ফাংশন গনা করতে $O(n)$ দরজা। একটি ফালি ফাংশন একটি একঘেয়েমি বুলিয়ান ফাংশন যা কিছু সংশোধন করা হয়েছে জন্য $k$ , আউটপুট $0$ (রেস্প। $1$ তুলনায় (আরও রেস্প।)) কম আছে এমন সমস্ত ইনপুট উপর $k$ বেশী। অন্যদিকে, সহজ গণনা দেখায় যে বেশিরভাগ স্লাইস ফাংশনগুলির জন্য ঘনিষ্ঠ আকারের সাধারণ $\{\lor,\land,\neg\}$ -ক্রিটকুটগুলি প্রয়োজন। সুতরাং, একটি "নির্দোষ" অতিরিক্ত আউটপুট গেট একঘেয়ে সার্কিটকে সর্ব্বোচ্চা করতে পারে! আমার প্রশ্ন জিজ্ঞেস কিনা এই এছাড়াও ঘটতে পারে যখন $g:\mathbb{N}\to\{0,1\}$ একটি fanin- হয় $1$ থ্রেশহোল্ড গেট।

কার্যে (যোগ 03.11.2014): এমিল Jeřábek দেখিয়েছেন (একটি amazingly সহজ নির্মাণ মাধ্যমে, নীচের তার উত্তর দেখুন) যে উত্তর "হ্যাঁ" যতদিন হিসাবে

t \leq n^{c}

$t\leq n^c$ একটি ধ্রুবক জন্য

c

$c$ । সুতরাং, প্রশ্নটি কেবলমাত্র অতি-বহুভুজের জন্য (

n

$n$ ) প্রান্তিকের জন্য উন্মুক্ত ।

সাধারণত, অ্যাপ্লিকেশনের মধ্যে মাত্র বৃহৎ প্রান্তিক মান কাজ: আমরা সাধারণত ফর্মের প্রান্তিক মান প্রয়োজন জন্য । বলুন, যদি বড়, মোট ছাত্র সংখ্যা - দ্বারা নির্দিষ্ট গ্রাফে পাথ - জন্য, ইনপুট তারপর সঙ্গে , threshold- সংস্করণ সমাধান $2^{n^{\epsilon}}$ $\epsilon > 0$ $F:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}$ $s$ $t$ $0$ $1$ $t=m^{m^2}$ $m\approx n^{1/3}$ $t$ $F$ একটি হ্যামিল্টনিয়ান অস্তিত্ব - উপর পাথ সমস্যা -vertex গ্রাফ (দেখুন, যেমন এখানে )। $s$ $t$ $m$

(14.11.2014 যোগ করা হয়েছে): যেহেতু এমিল আমার প্রশ্নের একটি বড় অংশের উত্তর দিয়েছে, এবং যেহেতু ক্ষতিকারক প্রান্তিকের বিষয়টি নজরে নেই, তাই আমি এখন এই এমিলের (খুব সুন্দর) উত্তরটি গ্রহণ করি।

circuit-complexity arithmetic-circuits cc-complexity-theory

— Stasys
সূত্র

অপেক্ষা করুন ... সূচকীয় আকার? আমি মনে করি আপনি বুলিয়ান গেটস সহ বহুবর্ষ আকারে একটি স্লাইস ফাংশন বাস্তবায়ন করতে পারেন, এটি কেবলমাত্র একটি সূত্র (যা একাধিকবার মধ্যবর্তী ফলাফল পুনরায় ব্যবহার করতে পারে না) যা ক্ষতিকারক আকার হতে হবে।

— Zsbán অ্যামব্রস 21

@ Zsbán Ambrus আছে: অধিকাংশ হয়

আকারের সার্কিট

, কিন্তু অন্তত

স্বতন্ত্র

ইতিমধ্যে জন্য -slice ফাংশন

; ক, খ পজিটিভ ধ্রুবক।

S^{a S}

$S^{aS}$

S

$S$

2^{2^{b n}}

$2^{2^{bn}}$

k

$k$

k = n / 2

$k=n/2$

— স্ট্যাসিস

2^{n^{c}}

$2^{n^c}$

({0, \dots, t}, min {x + y, t}, min {x y, t})

$(\{0,\dots,t\},\min\{x+y,t\},\min\{xy,t\})$

আপনি সরাসরি সার্কিট পাবেন get প্রতিটি নোডের প্রতিস্থাপন সঙ্গে নোড , যেখানে বুলিয়ান সম্পৃক্ত নির্ণয় । (আপনি প্রয়োজন না যেমন নির্ণয় ধ্রুবক , কিন্তু এটা নিচে অভিব্যক্তি সহজসাধ্য।) এই উপস্থাপনা ইন, এবং দ্বারা কৃত্রিম হতে পারে আকারের সার্কিট : উদাহরণস্বরূপ, যদি , তবে ।

\land, \lor

$\land,\lor$

c

$c$

t + 1

$t+1$

c_{0}, \dots, c_{t}

$c_0,\dots,c_t$

c_{i}

$c_i$

c \geq i

$c\ge i$

c_{0}

$c_0$

1

$1$

+

$+$

\cdot

$\cdot$

{\land, \lor}

$\{\land,\lor\}$

O (t^{2})

$O(t^2)$

c = a + b

$c=a+b$

c_{i} = \underset{j + k \geq i}{⋁} (a_{j} \land b_{k})

$c_i=\bigvee_{j+k\ge i}(a_j\land b_k)$

— এমিল জ্যাবেক মনিকাকে সমর্থন করেছেন

@ এমিল জেবেক: খুব সুন্দর! আমি এখন এই সম্পর্কে একটি মন্তব্য যুক্ত। প্রকৃতপক্ষে, সম্ভবত এই মন্তব্যটি একটি উত্তর হিসাবে দেওয়া মূল্যবান হতে পারে: বহুবর্ষীয় থ্রেশহোল্ড মামলাটি তাত্ক্ষণিকভাবে পরিষ্কার ছিল না (কমপক্ষে আমার জন্য)।

— স্ট্যাসিস

উত্তর "হ্যাঁ" যদি । আরো সাধারণভাবে, একটি প্রান্তিক আকারের -circuit থ্রেশহোল্ড সঙ্গে একটি দ্বারা কৃত্রিম হতে পারে -circuit আকারের । $t=n^{O(1)}$ $\{+,\cdot\}$ $s$ $t$ $\{\lor,\land\}$ $O(t^2s)$

প্রথমে লক্ষ্য করুন যে সংক্ষিপ্ত সংযোজন এবং গুণকের সাথে circuit in সার্কিটের মূল্যায়ন করা যথেষ্ট : বিশেষত, যদি , তারপর , এবং হয় , বা । $\{0,\dots,t\}$ $a,a'\ge t$ $a+b,a'+b\ge t$ $ab,a'b\ge t$ $ab=a'b(=0)$

এই মাথায় রেখে, আমরা একে নোড প্রতিস্থাপন দ্বারা একটি বুলিয়ান একঘেয়েমি বর্তনী সঙ্গে বর্তনী সিমুলেট করতে নোড সঙ্গে , যেখানে সম্পৃক্ত গনা দেয়ার উদ্দেশ্যে করা হচ্ছে । (আমাদের কেবলমাত্র সুবিধার জন্য প্রয়োজন , এটি ধ্রুব ফাংশনটি গণনা করে )) যদি বুলিয়ান ইনপুট ভেরিয়েবল , আমরা , । যদি একটি অতিরিক্ত গেট হয়, , আমরা এটি গুণক গেটগুলি একইভাবে পরিচালনা করা হয়। $c$ $c_0,\dots,c_t$ $c_i$ $c\ge i$ $c_0$ $1$ $c$ $x$ $c_1=x$ $c_2=\dots=c_t=0$ $c$ $c=a+b$

c_{i} = \underset{\begin{matrix} j, k \leq t \\ j + k \geq i \end{matrix}}{⋁} (a_{j} \land b_{k}) .

$c_i=\bigvee_{\substack{j,k\le t\\j+k\ge i}}(a_j\land b_k).$

এটি মূল সার্কিটের প্রতিটি গেটে গেট নেয় । একটি ছোট্ট অপ্টিমাইজেশন হিসাবে, আমরা এটি রেখে এটিকে হ্রাস করতে যাতে প্রতিটি কে কেবলমাত্র একটির ইনপুট হিসাবে ব্যবহৃত হয় গেটস $O(t^3)$ $O(t^2)$

\begin{aligned} c_{t} & = \underset{j + k \geq t}{⋁} (a_{j} \land b_{k}), \\ c_{i} & = c_{i + 1} \lor \underset{j + k = i}{⋁} (a_{j} \land b_{k}), i < t, \end{aligned}

$\begin{align*} c_t&=\bigvee_{j+k\ge t}(a_j\land b_k),\\ c_i&=c_{i+1}\lor\bigvee_{j+k=i}(a_j\land b_k),\qquad i<t, \end{align*}$

a_{j} \land b_{k}

$a_j\land b_k$

c_{i}

$c_i$

— এমিল জেবেক মনিকাকে সমর্থন করেন
সূত্র