স্যাট-এর জন্য বর্তমানের বর্তমানের নিম্নতম সীমাটি?

সেরা বর্তমান কি স্থান স্যাট জন্য নিম্ন সীমা?

স্পেস লোয়ার বাউন্ডের সাথে আমি এখানে বোঝাচ্ছি একটি টুরিং মেশিন দ্বারা ব্যবহৃত বাইনারি ওয়ার্কট্যাপ বর্ণমালা ব্যবহার করে এমন ওয়ার্কট্যাপ সেলগুলির সংখ্যা । একটি স্থির সংযোজনীয় শব্দটি অনিবার্য নয় যেহেতু কোনও টিএম কোনও নির্দিষ্ট সংখ্যক ওয়ার্ক টেপ সেলগুলি অনুকরণ করতে অভ্যন্তরীণ রাজ্যগুলি ব্যবহার করতে পারে। তবে, আমি গুণিত ধ্রুবকটি নিয়ন্ত্রণ করতে আগ্রহী যা প্রায়শই অন্তর্নিহিত থাকে: সাধারণত সেটআপ বৃহত্তর বর্ণমালাগুলির মাধ্যমে স্বেচ্ছাসেবী ধ্রুবক সংক্ষেপণের অনুমতি দেয় যাতে গুণক ধ্রুবকটি এখানে প্রাসঙ্গিক নয়, তবে একটি নির্দিষ্ট বর্ণমালার সাথে এটি বিবেচনায় নেওয়া উচিত।

উদাহরণস্বরূপ, SAT $\log\log n + c$ স্পেসের চেয়ে বেশি প্রয়োজন ; যদি না হয় তবে এই স্থানের উপরের সিমুলেশন দ্বারা এর একটি সময় উপরের সীমানায় নিয়ে যায় $n^{1+o(1)}$ এবং এর মাধ্যমে সংযুক্ত $n^{1.801+o(1)}$ স্যাট-এর জন্য স্থান-সময় নিম্ন সীমা লঙ্ঘন করা হবে দেখুন প্রশ্ন)। এই যুক্তিটি আরও উন্নত করা সম্ভব বলে মনে করা যায় যে কিছু ছোট ধনাত্মক ধরণের জন্য কমপক্ষে $\delta\log n + c$ স্পেস প্রয়োজন $\delta$ এটি মতো কিছু $0.801/C$ , যেখানে $C$ একটি সময়-সীমাবদ্ধ টিএম দ্বারা একটি স্থান-সীমাবদ্ধ টিএম অনুকরণের ধ্রুবক প্রকাশকারী।

দুর্ভাগ্যক্রমে $C$ সাধারণত বেশ বড় হয় (এবং অবশ্যই সাধারণ সিমুলেশনে কমপক্ষে 2, যেখানে কোনও টিএম এর টেপগুলি প্রথমে একটি বৃহত্তর বর্ণমালার মাধ্যমে একক টেপে এনকোড করা হয়)। $\delta \ll 1$ এর সাথে সীমাবদ্ধতাগুলি বরং দুর্বল এবং আমি বিশেষত নীচে একটি স্পেসে আগ্রহী $\log n + c$ । কিছু বড় পর্যাপ্ত ধ্রুবক জন্য $\Omega(n^d)$ ধাপগুলির একটি নিঃশর্ত সময় নিম্ন অনুকরণের মাধ্যমে এমন স্থানকে নিম্ন সীমাবদ্ধ করে বোঝায়। যাইহোক, জন্য সময় নিম্ন সীমা $d > 1$ $\Omega(n^d)$ $d>1$ বর্তমানে জানা যায়নি, বড় জন্য একা থাকুন $d$ ।

অন্যভাবে বলছি, আমি এমন কিছু সন্ধান করছি যা স্যাট-এর জন্য সুপারলাইনারের সময় নিম্ন সীমানার পরিণতি হতে পারে, তবে সম্ভবত এটি আরও সম্ভবত অর্জন করা সম্ভব।

— আন্দ্রেস সালামন
সূত্র

অন্য উত্তর হিসাবে (যেমন আরডাব্লু দ্বারা), সময় বা স্থান নিম্ন সীমানা আলাদাভাবে ফোকাস মনে হয় নাগালের বাইরে এবং কেবল দুর্বল / জেনেরিক পরিচিত সীমানা আছে, এবং এই অঞ্চলে নেতৃস্থানীয় গবেষণা তুলনামূলকভাবে নতুন ধারণা জন্ম দেয় বলে মনে হয় সংযুক্ত সময়-স্থান জটিলতার।

— vzn

উত্তর:

দেখে মনে হচ্ছে সেরা সীমাবদ্ধ (মাল্টিট্যাপ টুরিং মেশিনের জন্য) লোগারিথমিক।

ধরুন বিটস বাইনারি ওয়ার্কট্যাপের সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য কোনও বিট সিএনএফ সূত্রটি সন্তুষ্টযোগ্য কিনা , সমস্ত বড় জন্য যথেষ্ট । স্ট্যান্ডার্ড সিমুলেশন দ্বারা, সাথে একটি টিএম, যে জায়গার সর্বাধিক বিট ব্যবহার করে তা এমন একটি টিএম দ্বারা সিমুলেটেড করা যেতে পারে যা সর্বাধিক $\delta\log n$ $n$ $n$ $q$ $s$ $qns2^s = 2^{s+\log n + \log s + \log q}$ বিভিন্ন কনফিগারেশন। যখনই মেশিনটি গ্রহণ করে, একটি বিন্যাস (ননডেটেরিমেন্টিক) চলার একটি ক্রম থাকে যা একটি গ্রহণযোগ্য অবস্থানে পৌঁছায় যা এই সংখ্যার কনফিগারেশনের সর্বাধিক দীর্ঘ হয়। যখন , এই সবচেয়ে এ (নোট যে সমস্ত ইনপুট লেন্থ জন্য একই )। একটি পৃথক কাউন্টার টেপ, $s = \Omega(\log n)$ $2^{s(2+o(1))}$ $q$ $n$ $M$ প্রথমে এই পরিমাণটি আনারিতে লিখতে পারেন, তারপরে সিমুলেশনের প্রতিটি ধাপে কাউন্টারটির একটি প্রতীক মুছে ফেলতে পারেন, এবং যদি এটি কাউন্টারের প্রতীকগুলির বাইরে চলে যায় তবে গণনাটি বন্ধ করতে পারেন। এটি ওভারহেডের একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর তৈরি করে (3 টির মতো কিছু), যা ঘনঘটিত ক্ষেত্রে পদ দ্বারা শোষণ করে । সুতরাং পদক্ষেপ যথেষ্ট। $o(1)$ $2^{s(2+o(1))}$

অনুমান দ্বারা , তাই সময়-স্থানের পণ্য সর্বাধিক । $s \le \delta\log n$ $\delta\log n2^{\delta\log n(2+o(1))} = n^{\delta(2+o(1))}$

রাহুল সান্থানাম 2001 সালে দেখিয়েছেন (দেখুন : 10.1016 / S0020-0190 (00) 00227-1 ) যে ট্যুরিং মেশিনের জন্য স্যাট সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য স্পেস-টাইম পণ্যটি কমপক্ষে ; তার যুক্তি ননডেটরিস্টিনিস্টিক মেশিনেও প্রযোজ্য। সুতরাং , এবং বাইনারি ওয়ার্কট্যাপের কমপক্ষে বিটের প্রয়োজন। $\Omega(n^{2-o(1)})$ $\delta \ge 1$ $\log n$

আরও সাধারণভাবে, অতিরিক্ত ওয়ার্কট্যাপ এবং বৃহত্তর ওয়ার্ক টেপ বর্ণমালা একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর দ্বারা এক্সপোনেন্টকে পরিবর্তন করে। এই পরিণামে ফ্যাক্টর হ্রাস , কিন্তু স্থান নিম্ন মুখী এখনও । $\delta$ $\Omega(\log n)$

— আন্দ্রেস সালামন
সূত্র

সম্ভবত আমরা এইভাবে স্যাট-এর জন্য একটি স্পেস নিম্ন সীমাবদ্ধ প্রমাণ করতে পারি (তবে আমি সীমা / অ্যাসেম্পোটিক বিশ্লেষণের সাথে আত্মবিশ্বাসী নই, সুতরাং আমার উত্তর সম্পূর্ণ ভুল হতে পারে)। $\log n$

এক শুধুমাত্র-পঠনযোগ্য ইনপুট টেপ এবং এক কাজ টেপ, উভয় সঙ্গে একটি টুরিং মেশিন মডেল উপর বাইনারি বর্ণমালা উপর , সঙ্গে প্রত্যেক নির্ধারণী জন্য আকারের একটি ইনপুট উপর রাজ্যের আমরা যে আছে: $\Sigma = \{0,1\}$ $c$ $n$

টি (এন) \leq গ 2^{এস (এন)} এন এস (এন) (1)

$T(n) \leq c \, 2^{S(n)} \, n \, S(n) \quad (1)$

অন্যথায় ট্যুরিং মেশিন চিরতরে লুপ হয়ে যাবে ( উপাদানটি সমস্ত সম্ভাব্য টেপ কনফিগারেশনের প্রতিনিধিত্ব করে , উপাদানটি ইনপুট টেপ মাথা অবস্থানগুলিকে উপস্থাপন করে, যখন উপাদানটি ওয়ার্ক টেপের প্রধান অবস্থানগুলিকে উপস্থাপন করে)। বাইনারি বর্ণমালার উপরে এক টেপ একক মাথা টিএম (1) । $2^{S(n)}$ $n$ $S(n)$ $T(n) \leq c 2^{S(n)} S(n)$

দ্বারা উভয় পদকে গুণিত করা এবং স্যাট-এর জন্য সাধারণ স্পেস-টাইম ট্রেড অফ প্রয়োগ করে আমরা পাই: $S(n)$

{এন}^{1,801 + + ণ (1)} \leq এস (এন) \cdot টি (এন) \leq গ এস (এন)^{2} 2^{এস (এন)} এন

$n^{1.801+o(1)} \leq S(n)\cdot T(n) \leq c \, S(n)^2 \, 2^{S(n)} \, n$

তাই উপরের মত আবদ্ধ একটি স্থান অবচয় স্যাট জন্য contraddiction হতে হবে, প্রকৃতপক্ষে $S(n) \leq (\log n)^{1 - \epsilon}$

\underset{এন \to \infty}{লিম} \frac{{এন}^{1,801}}{গ ((লগ এন)^{1 - ε})^{2} 2^{(লগ এন)^{1 - ε}} এন} =

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^{1.801}}{ c \, ((\log n)^{1-\epsilon})^2 2^{(\log n)^{1-\epsilon}} n } =$

\underset{এন \to \infty}{লিম} (0,801 \cdot লগ এন - লগ গ - 2 (1 - ε) লগ (লগ এন) - (লগ এন)^{1 - ε}) = \infty

$\lim_{n \to \infty} \Big( 0.801 \cdot \log n - \log c - 2 (1- \epsilon) \log (\log n) - (\log n)^{1-\epsilon}\Big) = \infty$

— মারজিও দে বিয়াসি
সূত্র

কমপক্ষে দুটি সাধারণ উপায় আছে যা দেখাতে পারে যে কোনও

উপরের আবদ্ধ একটি দ্বন্দ্বের দিকে নিয়ে যায়। প্রাথমিকভাবে আমি ব্যবহার মনের মধ্যে ছিল (মূলত অভিন্ন, কিন্তু সামান্য সাথে কাজ করার জন্য আরও সহজ) বৈষম্য

কিছু ধ্রুবক জন্য

। শেষ ধাপে আপনি প্রদান এছাড়াও শক্তিশালী করা যেতে পারে যেমন একটি অসঙ্গতি থেকে অনুসরণ করে

জন্য

o (\log n)

$o(\log n)$

T (n) \leq 2^{\log n + C . S (n)}

$T(n) \le 2^{\log n + C.S(n)}$

C

$C$

S (n) \leq δ \log n

$S(n) \le \delta\log n$

।

δ < 0.801 / C

$\delta < 0.801/C$

— অ্যান্ড্রেস সালামন

@ AndrásSalamon: চালু

এস চুম্বন এবং আর উইলিয়ামস থেকে: সাইড আবদ্ধ, আপনি সহজ উন্নতি আশা করতে পারে না। টাইম-স্পেস লোয়ার বাউন্ডস, ২০১২ এর জন্য অল্টারনেশন-ট্রেডিং প্রুফের সীমাবদ্ধতা: "আমরা দেখিয়েছি যে সন্তোষজনকতা সমস্যাটির জন্য আরও ভাল সময়-স্থান নিম্নতর সীমাবদ্ধ করার জন্য নতুন কৌশলগুলি সম্ভবত প্রয়োজনীয়। প্রমাণগুলি "প্রতিষ্ঠা করতে যে স্যাট মধ্যে সমাধান করা যায় না ব্যবহৃত

সময় এবং

স্থান প্রমাণ করতে পারে এমন একটি

S \cdot T

$S\cdot T$

n^{2 \cos (π / 7)}

$n^{2\cos(\pi /7)}$

n^{o (1)}

$n^{o(1)}$

প্রতি

"এরজন্য

সময় নীচু আবদ্ধ

আপনার কি ধারণা আছে :-)?

n^{2 \cos (π / 7)} + ϵ

$n^{2\cos(\pi /7)}+\epsilon$

ϵ > 0

$\epsilon >0$

— মারজিও ডি বায়াসি

আমি মনে করি স্পেস-টাইম সীমানা ব্যবহার করে এটি যতদূর যেতে পারে, ঠিক কারণ রায়ান এর পদ্ধতির যতদূর এই সীমানা চলেছে।

— অ্যান্ড্রেস সালামন

এমনকি একটি স্যাট উদাহরণস্বরূপ আপনার যা দরকার সঞ্চয় করতে

এবং এটা পড়তে আপনার যা দরকার

Ω (n)

$\Omega(n)$

সময়। এই প্রমাণ করে না

এসটি আবদ্ধ নিম্ন?

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— টি ....

@ টার্বো, এটি স্পষ্ট নয় যে স্যাট সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য প্রতিটি অ্যালগরিদমকে উদাহরণ সংরক্ষণ করতে হবে: প্রমাণ করে একটি

বিট নির্ধারণকারী স্থানকে নিম্ন সীমানা

দেখানো হবে।

Ω (n)

$\Omega(n)$

L ⊊ N P

$\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{NP}$

— আন্দ্রেস সালামন