মনমিলাসমূহের সরলরেখার জটিলতা

কিছু ক্ষেত্র হতে দিন । যথারীতি, আমরা সংজ্ঞায়িত করি $k$ $f\in k[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ $L(f)$ সরল-রৈখিক জটিলতা হতে $f$ উপর $k$ । যাক $F$ এর monomials সেট হতে $f$ , যথা monomials যা প্রদর্শিত $f$ নন-জিরো সহগ সঙ্গে।

এটা কি সত্য যে $\forall m\in F:L(m)\le L(f)$ ?

এমনকি জন্য কিছু দুর্বল ওপেন বাউন্ডও $L(m)$ জানা যায়?

cc.complexity-theory algebraic-complexity arithmetic-circuits

— গোরভ জিন্দাল
সূত্র

উত্তর:

যদি তবে এতে মনোমালিকা এবং । একটি গণনা যুক্তি অনুসারে, দৈর্ঘ্যের এর সরলরেখার প্রোগ্রাম রয়েছে । যেহেতু এর আরও মনোমায়াল রয়েছে, কারও জন্য আমাদের আরও দীর্ঘ প্রোগ্রাম প্রয়োজন program প্রকৃতপক্ষে এই যুক্তিটি একটি মোমিয়াল দেয় যার জন্য ।

f = (Σ_{i = 1}^{n} x_{i})^{2^{n}}

$f=(\Sigma_{i=1}^n x_i)^{2^n}$

(\binom{2^{n} + n - 1}{n - 1}) \approx 2^{n^{2}}

${2^n+n-1\choose n-1} \approx 2^{n^2}$

L (f) = O (n)

$L(f)=O(n)$

2^{O (n \log n)}

$2^{O(n\log n)}$

O (n)

$O(n)$

f

$f$

m

$m$

L (m) = \tilde{Ω} (L^{2} (f))

$L(m)=\widetilde\Omega(L^2(f))$

— domotorp
সূত্র

Domotorp এর উত্তর উপর ভিত্তি করে একটি ছোট গঠনমূলক উদাহরণ হিসাবে, এক সময় লাগতে পারে সঙ্গে যখন ।

f = (x + y)^{8}

$f=(x+y)^8$

L (f) = 4

$L(f)=4$

L (x^{7} y) = L (x^{7}) + 1 = 5

$L(x^7y)=L(x^7)+1=5$

— ব্রুনো

@ ডমোটরপ, সুন্দর উত্তরের জন্য ধন্যবাদ। এটি কি উপরের সীমাবদ্ধ বলে মনে হচ্ছে? বা আরও ভাল নিম্ন সীমানা হতে পারে?

— গোরভ জিন্দাল

আমি জানি না, তবে যেহেতু এই উদাহরণটি এত সহজ ছিল, আমি অনুমান করব যে ব্যবধানটি আরও বড় হতে পারে, এমনকি সম্ভবত ক্ষতিকারকও।

— ডোমোটরপ

আমার একটি "প্রমাণ" আছে যে এখানে রৈখিক উপরের আবদ্ধ আছে ... আমি কোথায় ভুল (যেহেতু আপনি চতুর্ভুজটি নিম্ন চৌদ্দটি প্রমাণ করেছেন)? এটি নিম্নরূপ: সাইজের এর একটি এসএলপি সহ , আপনি মোট ডিগ্রি বহুবচন গণনা করেন । এখন এর বাইনারি এক্সপেনসিয়েশন সহ সর্বাধিক আকারের একটি এসএলপি রয়েছে । একটি ডিগ্রি- ভ্যারিয়েট মোনোমিয়ালের পরে আকারের একটি এসএলপি সর্বাধিক (খুব রুক্ষ আবদ্ধ): সমস্ত , এবং তারপরে তাদের পণ্যটি গণনা করুন । সুতরাং আমরা যদি একটি বহুবর্ষীয় বিবেচনা করি তবে এর সর্বমোট ডিগ্রি সর্বাধিক , এবং প্রতিটি সর্বাধিক এর একটি এসএলপি থাকে

L

$L$

\leq 2^{L}

$\le 2^L$

x^{D}

$x^D$

2 \log D

$2\log D$

D

$D$

n

$n$

2 n \log D + n - 1

$2n\log D+n-1$

x_{i}^{D_{i}}

$x_i^{D_i}$

D_{i} \leq D

$D_i\le D$

f

$f$

2^{L (f)}

$2^{L(f)}$

2 n L (f) + n - 1

$2nL(f)+n-1$ ।

— ব্রুনো

@ ব্রুনো: চমৎকার প্রমাণ এবং এতে কোনও ভুল নেই, তবে এটি রৈখিক নয়, কারণ আপনি এবং । তবে যেহেতু আমরা জানি যে বেশিরভাগ ভেরিয়েবলের উপর নির্ভর করতে পারে, তাই আমরা ধরে নিতে পারি , যা প্রয়োজনীয় চতুর্ভুজকে আবদ্ধ করে। এভাবে ।

n

$n$

L (f)

$L(f)$

f

$f$

L (f) + 1

$L(f)+1$

n \leq L (f) + 1

$n\le L(f)+1$

L (m) = O (L^{2} (f))

$L(m)=O(L^2(f))$

— ডোমোটরপ

দ্রষ্টব্য: এটি পূর্বের মন্তব্যের একটি সম্প্রসারণ, যেহেতু ওপি স্পষ্টতই দুর্বল উপরের সীমাগুলির জন্য জিজ্ঞাসা করেছিল।

পলিনোমিয়াল এর মোট ডিগ্রি দ্বারা আবদ্ধ হয় - যেহেতু প্রতিটি ক্রিয়াকলাপ বহুবর্ষের সর্বাধিক দ্বিগুণ হতে পারে। সুতরাং, প্রত্যেকের জন্য , । $f$ $2^{L(f)}$ $m\in M$ $\deg(m)\le 2^{L(f)}$

এখন, কিছু পরিবর্তনশীল এবং ডিগ্রী , একটি SLP conputing হয় দ্বারা বাইনারি exponentiation যদি আকার সর্বাধিক । একটি monomial জন্য , এক আলাদাভাবে প্রতিটি গনা করতে এবং তারপর তাদের পণ্য গ্রহণ। সুতরাং যেখানে এর মোট ডিগ্রি (যা অবশ্যই প্রতিটি উপরের একটি আবদ্ধ )। $x$ $d$ $x^d$ $2\log(d)$ $m=x_1^{d_1}\dotsb x_n^{d_n}$ $x_i^{d_i}$ $L(m)\le 2n\log(d) + (n-1)$ $d$ $m$ $d_i$

একসাথে, : জন্য একসাথে প্রাপ্ত হয় $m\in M$

L (m) \leq 2 n \log (\deg (m)) + (n - 1) \leq 2 n L (f) + (n - 1) .

$L(m)\le 2n\log(\deg(m))+(n-1)\le 2nL(f)+(n-1).$

যেহেতু উপসংহারে আসতে পারে $n\le L(f)+1$

\forall m \in M, L (m) \leq 2 L (f)^{2} + 3 L (f) .

$\forall m\in M, L(m) \le 2L(f)^2+3L(f).$

মন্তব্য. বর্ণিত হিসাবে আবদ্ধ খুব রুক্ষ। বিশেষত, প্রদত্ত উপরের আবদ্ধটি দ্বিতীয় অনুচ্ছেদটি শক্ত নয়। তবুও, ডমোটরপের উত্তরটি দেখায় যে কেউ আরও ভাল আবদ্ধের আশা করতে পারে না এবং আরও স্পষ্টভাবে বলা যায় যে উপর চতুর্ভুজ নির্ভরতা অপসারণ করা যায় না। নির্মাণটি আরও শক্ত করতে, কেউ অতিরিক্ত চেইনে সর্বাধিক পরিচিত নির্মাণগুলি ব্যবহার করতে পারে । দ্রষ্টব্য যে সুনির্দিষ্ট সীমাগুলি এখনও এই সমস্যার জন্য পরিচিত নয়। $L(m)$ $L(f)$

— ব্রুনো
সূত্র