গাছের প্রস্থের চেয়ে বেশি পথচলাচলের অ্যালগরিদমিক সুবিধা

ট্রিভিডথ এফপিটি অ্যালগরিদমগুলিতে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, অংশে কারণ অনেকগুলি সমস্যা গাছের প্রস্থ দ্বারা FPT পরামিতি করে। সম্পর্কিত, আরও সীমাবদ্ধ, ধারণাটি হল পথচলাথ id যদি কোনও গ্রাফের প্যাথউইথ এটির বেশিরভাগ তেও গাছের প্রস্থ থাকে , তবে বিপরীত দিকের দিক থেকে, ট্রিউইথ- কেবল সর্বাধিক এ পথ নির্দেশনা বোঝায় এবং এটি শক্ত। $k$ $k$ $k$ $k\log n$

উপরের দিক থেকে দেওয়া, কেউ আশা করতে পারেন যে সীমানা প্যাথউথের গ্রাফগুলিতে একটি উল্লেখযোগ্য অ্যালগরিদমিক সুবিধা থাকতে পারে। তবে, মনে হয় বেশিরভাগ সমস্যাগুলি যা একটি প্যারামিটারের জন্য এফপিটি হয় অন্যটির জন্য এফপিটি। আমি এর যে কোনও পাল্টা উদাহরণগুলি জানতে আগ্রহী, এটি হ'ল সমস্যাগুলি যা পথচলাথের জন্য "সহজ" তবে গাছের চওড়ার পক্ষে "শক্ত"।

যাক আমাকে উল্লেখ যে আমি ইগর Razgon দ্বারা একটি সাম্প্রতিক কাগজ মধ্যে চলমান এই প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে প্রেরণা ছিল ( "বেষ্টিত treewidth এর CNFs জন্য OBDDs অন", KR'14) যা কোন সমস্যা হওয়ার একটি উদাহরণ দিয়েছিলেন যখন সমাধান pathwidth এবং একটি (প্রায়) নিম্ন মুখী যখন treewidth হয়। আমি ভাবছি যে এই আচরণের সাথে অন্যান্য নমুনা আছে কিনা। $2^{k}n$ $k$ $n^k$ $k$

সংক্ষিপ্তসার: প্রাকৃতিক সমস্যার কোনও উদাহরণ রয়েছে যা ডাব্লু-হার্ড প্যাডউইথ দ্বারা প্যারামিটারাইজড তবে এফপিটি প্যাথউইথ দ্বারা পরামিতিযুক্ত? আরও বিস্তৃতভাবে, এমন সমস্যার কি উদাহরণ রয়েছে যেগুলি গাছপথের পরিবর্তে প্যাথউইথ দ্বারা প্যারামিটারাইজ করা হলে যাদের জটিলতা আরও বেশি ভাল বলে মনে হয়?

parameterized-complexity treewidth graph-minor

— মাইকেল ল্যাম্পিস
সূত্র

এমন সমস্যা রয়েছে যা পাথগুলিতে সহজ তবে গাছগুলিতে এনপি-হার্ড। এর মধ্যে ন্যূনতম মাল্টিকট এবং সর্বাধিক পূর্ণসংখ্যার মাল্টিফ্লো রয়েছে।

— চন্দ্র চেকুরি

@ চন্দ্রচেকুরী এটি একটি ভাল পয়েন্ট, তবে এই জাতীয় সমস্যার জন্য পথগুলির জন্য অ্যালগরিদমগুলি সাধারণত পথচলাচায় সাধারণীকরণ করে? উদাহরণস্বরূপ, সর্বাধিক পূর্ণসংখ্যার মাল্টিফ্লোয়ের জন্য, আমি মনে করি এটি কেস নয়। গার্গ, বাজিরানী এবং ইয়ন্নাকাকীরা "অবিচ্ছেদ্য প্রবাহের জন্য প্রাথমিক ও দ্বৈত গাছের বহুগুণ জন্য" প্রাথমিক-দ্বৈত আনুমানিক আলগোরিদিমগুলিতে গাছগুলির জন্য এনপি-কঠোরতা প্রমাণ করেছিলেন। সেখানে হ্রাস হ'ল 3 উচ্চতার গাছ ব্যবহার করে that

— মাইকেল ল্যাম্পিস

এটি আবার মূল প্রশ্নের পরিষ্কার উত্তর নয়। প্যাথউইথ কে গ্রাফের প্রবাহ-কাট ব্যবধানটি লি এবং সিডিরোপ্লোসের ফলাফলের মাধ্যমে কিছু ফাংশনের জন্য f (কে) দ্বারা আবদ্ধ বলে জানা যায়। যেমন একটি ফলাফল বৃক্ষের প্রশস্ততা ধরে রাখে কিনা এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ উন্মুক্ত সমস্যা। কে = 3 কেসটি গাছের প্রস্থের জন্য উন্মুক্ত।

— চন্দ্র চেকুরি

হ্যামিল্টনিয়ান চক্র জন্য শ্রেষ্ঠ অ্যালগরিদম pathwidth দ্বারা স্থিতিমাপ হয়েছে রানটাইম

(arxiv.org/abs/1211.1506) যখন সেরা treewidth এক

(arxiv.org/abs/1103.0534) এই সম্ভবত একটা ফাঁক যদিও, বন্ধ হওয়ার জন্য অপেক্ষা করছে।

(2 + \sqrt{2})^{p w}

$(2+\sqrt{2})^{pw}$

4^{t w}

$4^{tw}$

— ড্যানিয়েলো

এটি দেখানো হয়েছে যে [1] পাথউইথথ দ্বারা প্যারামিটারাইজড মিক্সড চায়নিজ পোস্টম্যান প্রবলেম (এমসিপিপি) -ও, ইনপুট গ্রাফ এর সমস্ত প্রান্ত এবং আর্কগুলির ওজন এবং ট্রিডিপথের সাথে সম্মত FPT থাকলেও। এটিই প্রথম সমস্যাটি সম্পর্কে সচেতন যা গাছের প্রস্থের সাথে শ্রদ্ধার সাথে তবে ট্রেডিপথের সাথে এফপিটি হিসাবে দেখানো হয়েছে । নোট করুন যে কোনও গ্রাফের পাথের প্রস্থটি তার গাছের প্রস্থ এবং ট্রিডিপথের মধ্যে রয়েছে। $W[1]$ $G$ $1$ $W[1]$

স্টেইনার মাল্টিকট সমস্যা, যা জিজ্ঞাসা করে, একটি অপ্রচলিত গ্রাফ , একটি সংগ্রহ , , সর্বাধিক আকারের টার্মিনাল সেট , এবং একটি পূর্ণসংখ্যা , একটি সেট কিনা অধিকাংশ সময়ে প্রান্ত বা এই ধরনের নোড প্রতিটি সেটের অন্তত একটি এ টার্মিনালগুলির জোড়া এর বিভিন্ন সংযুক্ত উপাদানগুলিতে । $G$ $T = \{T_1, . . . , T_t\}$ $T_i ⊆ V(G)$ $p$ $k$ $S$ $k$ $T_i$ $G \ S$

নোড স্টেইনার মাল্টিকুট, এজ স্টেইনার মাল্টিকুট এবং রেস্টর। নোড স্টেনার Multicut হয় পরামিতি জন্য -hard , এমনকি যদি এবং [2]। $W[1]$ $k$ $p = 3$ $tw(G) = 2$

[1] https://core.ac.uk/download/pdf/77298274.pdf

[২] http://drop.dagstuhl.de/opus/volltexte/2015/4911/pdf/11.pdf

— রুপেই জু
সূত্র