অ-বর্ধমান জন্য অনুমানের উপর নিম্ন সীমাবদ্ধ

আমি জানতে চাই ( যদি এই অন্যান্য প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত ) নীচের সীমাটি নিম্নলিখিত পরীক্ষামূলক সমস্যার জন্য পরিচিত হত: একটিকে অ-নেতিবাচক সংখ্যা এবং a এর অনুক্রমের জন্য ক্যোয়ারী অ্যাক্সেস দেওয়া হবে , প্রতিশ্রুতি দিয়ে যে either বা । $a_n \geq \dots\geq a_1$ $\varepsilon \in (0,1)$ $\sum_{k=1}^n a_k = 1$ $\sum_{k=1}^n a_k \leq 1-\varepsilon$

কমপক্ষে সম্ভাবনা সহ দুটি ক্ষেত্রে পার্থক্য করার জন্য (অভিযোজিত) এলোমেলোভাবে অ্যালগরিদমকে কতগুলি ক্যোয়ারী (লকআপস) যথেষ্ট এবং প্রয়োজনীয় ? $2/3$

আমি একটি পূর্ববর্তী পোস্ট পেয়েছি যা সংখ্যার সমীকরণের সম্পর্কিত সমস্যার জন্য একটি লগারিদমিক ( ) দেয় এবং ডিটারমিনিস্টিক অ্যালগরিদমের জন্য প্রায় সমস্যার সাথে নীচের আবদ্ধ একটি মিল দেয়; তবে আমি যে নির্দিষ্ট সমস্যার জন্য বিবেচনা করছি তার কোনও ফলাফল খুঁজে পেল না (বিশেষত, এলোমেলোমীকরণগুলি এলোমেল্ড)। $n$

সম্পাদনা: নীচের উত্তর অনুসরণ করে, আমি অনুমান করি যে আমার আরও পরিষ্কার হওয়া উচিত ছিল: উপরের (এবং বিশেষত নীচের গণ্ডির জন্য অ্যাসিম্পটিকগুলিতে), হল "প্রধান" পরিমাণ যা অনন্তের দিকে যাচ্ছে, যখন একটি (নির্বিচারে) ছোট) ধ্রুবক। $n$ $\varepsilon$

reference-request randomized-algorithms property-testing

— ক্লিমেন্ট সি।
সূত্র

আমার ধারণা আপনার অর্থ ।

\sum_{k = 1}^{n} a_{k} \leq 1 - ε

$\sum_{k=1}^n a_k \leq 1-\varepsilon$

— আরবি

প্রকৃতপক্ষে - এটি স্থির।

— ক্লিমেন্ট সি।

ঠিক আছে, আদেশ ছাড়া উপর নির্ভরতা প্রয়োজন হবে, আমি গণনা করি (নমুনা সহ বা ছাড়াই)। একটা 'খারাপ' উদাহরণ হিসেবে বলা যায় (ক্রম এর একটি জোড়া) সব একটা ক্রম উদাহরণস্বরূপ হবে এর সমান হচ্ছে , (, নির্বিচারে র্যান্ডম) এক জন্য ব্যতীত যেমন যে হয় সমান (প্রথম অনুক্রমে) এবং (দ্বিতীয় ক্ষেত্রে)। Me অনুসন্ধান ব্যতীত দুটি ক্রম পৃথকভাবে বলা যায় না ...

n

$n$

a_{k}

$a_k$

\frac{1 - ε}{n - 1}

$\frac{1-\varepsilon}{n-1}$

j

$j$

a_{j}

$a_j$

ε

$\varepsilon$

0

$0$

Ω (n)

$\Omega(n)$

— ক্লিমেন্ট সি

আমি ধরে নিয়েছি ক্যোয়ারী মডেল আপনাকে - বেছে নেওয়ার অনুমতি দেয় যার জন্য আপনি জিজ্ঞাসা , এটি কি ঠিক?

k

$k$

a_{k}

$a_k$

— কোডলু

হ্যাঁ (আপনি যে কোনও পয়েন্ট "প্রকাশ" করতে চান তা চয়ন করতে পারেন)।

— ক্লিমেন্ট সি

উত্তর:

নীচের সীমানা এখানে আমি প্রদর্শন করতে পারি। আমি অনুমান করি যে স্থির জন্য ডান নীচের দিকের , তবে স্বাভাবিকভাবেই আমি ভুল হতে পারি। $\epsilon$ $\Omega( \log n)$

আমি একটি হ্রাস ক্রম ব্যবহার করতে যাচ্ছি (কেবল সুবিধার্থে)। প্রাথমিক প্রক্রিয়াটি ক্রমটি ব্লকে বিভক্ত করছে । ইন তম ব্লক সেখানে হতে যাচ্ছে উপাদানের (অর্থাত, )। $L$ $i$ $n_i$ $\sum_i n_i = n$

নীচে, আমরা চাই যে অ্যালগরিদমটি কিছু প্যারামিটার জন্য সম্ভাবনা সহ সফল হয় । $\geq 1-\delta$ $\delta >0$

প্রথম নীচে আবদ্ধ: । $\displaystyle \Omega\left( \frac{1}{\epsilon} \log \frac{1}{\delta} \right)$

তম ব্লক হয়েছে তাই উপাদান, । আমরা তম ব্লকের সমস্ত উপাদানগুলির মান , যেখানে হল বা একটি পরিবর্তনশীল । স্পষ্টতই, এই অনুক্রমের মোট যোগফল হ'ল প্রতিটি অবচয় কল্পনা সম্ভাব্যতা সঙ্গে হতে এবং অন্যথায়। অনুমান করতে আমাদের এর একটি নির্ভরযোগ্য অনুমান প্রয়োজন $i$ $n_i = 2^{i-1}$ $L = \lg n$ $i$ $(1+X_i)/(2n_iL)$ $X_i$ $0$ $1$

α = \sum_{i = 1}^{L} \frac{1 + X_{i}}{2 n_{i} L} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 L} (\sum_{i = 1}^{L} X_{i}) .

$\alpha = \sum_{i=1}^L \frac{1+X_i}{2n_i L} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2L}\left(\sum_{i=1}^L X_i \right).$

X_{i}

$X_i$

β

$\beta$

1

$1$

0

$0$

α

$\alpha$

β

$\beta$ । বিবরণীতে, আমরা বেস এবং,, বলতে পার্থক্য করতে সক্ষম হতে চাই ।

β = 1 - 4 ϵ

$\beta = 1-4\epsilon$

β = 1

$\beta=1$

এখন, স্যাম্পলিং কল্পনা এই র্যান্ডম ভেরিয়েবল, এবং দিন নমুনা ভেরিয়েবল হও। সেটিংস (দ্রষ্টব্য, আমরা পরিপূরক ভেরিয়েবলগুলির যোগফল নিচ্ছি ), আমাদের কাছে , এবং চেরনফ অসমতা আমাদের বলে যে যদি , তবে , এবং ব্যর্থতার সম্ভাবনা হ'ল এই পরিমাণটি চেয়ে ছোট করতে , আমাদের প্রয়োজন $m$ $Z_1, \ldots, Z_m$ $Y = \sum_{i=1}^m (1-X_i)$ $\mu = E[Y] = (1-\beta) m$ $\beta =1-4\epsilon$ $\mu = 4\epsilon m$

P [Y \leq 2 ϵ m] = P [Y \leq (1 - 1 / 2) μ] \leq \exp (- μ (1 / 2)^{2} / 2) = \exp (- ϵ m / 2) .

$P\left[ Y \leq 2\epsilon m \right] = P\left[ Y \leq (1-1/2) \mu \right] \leq \exp \left( -\mu (1/2)^2 / 2 \right) = \exp \left( -\epsilon m / 2 \right).$

δ

$\delta$

m \geq \frac{2}{ϵ} \ln \frac{1}{δ}

$\displaystyle m \geq \frac{2}{\epsilon} \ln \frac{1}{\delta}$ ।

মূল পর্যবেক্ষণটি হ'ল চেরনফ বৈষম্য কঠোর (একজনকে সতর্কতা অবলম্বন করতে হবে, কারণ এটি সমস্ত পরামিতিগুলির জন্য সঠিক নয়, তবে এটি ক্ষেত্রে সঠিক)), তবে আপনি (ধ্রুবক পর্যন্ত) এর চেয়ে ভাল করতে পারবেন না।

দ্বিতীয় নিম্ন সীমাবদ্ধ: । $\Omega( \log n / \log \log n)$

সেট তম ব্লক হতে সাইজ লাগে , যেখানে ব্লক সংখ্যা। ম ব্লকের একটি উপাদানটির মান । সুতরাং অনুক্রমের মানগুলির মোট যোগফল । $i$ $n_i = L^i$ $L = \Theta( \log n / \log \log n)$ $i$ $\alpha_i = \Bigl(1/L\Bigr)/n_i$ $1$

এখন আমরা একটি অবাধ ব্লক বাছাই বলতে করার সিদ্ধান্ত নেন পারে তম এক, এবং তার ব্লকে সব মান সেট হওয়ার (পরিবর্তে )। এটি তম ব্লকের অবদান থেকে বৃদ্ধি করে এবং ক্রমের মোট ভরকে (প্রায়) বাড়িয়ে দেয় । $j$ $\alpha_{j-1} = L \alpha_j$ $\alpha_j$ $j$ $1/L$ $1$ $2$

এখন, অনানুষ্ঠানিকভাবে, যেকোন এলোমেলোমী অ্যালগরিদমকে অবশ্যই প্রতিটি ব্লকের মান পরীক্ষা করতে হবে। এর মতো, এটি অবশ্যই ক্রমের কমপক্ষে মানগুলি পড়তে হবে । $L$

সম্ভাব্যতা 1/2 সহ উপরোক্ত যুক্তিটিকে আরও আনুষ্ঠানিক করতে, ভর এর মূল অনুক্রমটিকে ইনপুট হিসাবে দিন (আমরা এটিকে মূল ইনপুট হিসাবে উল্লেখ করি)। অন্যথায়, এলোমেলোভাবে ব্লকটি নির্বাচন করুন যাতে বর্ধিত মান রয়েছে (পরিবর্তিত ইনপুট)। স্পষ্টতই, যদি এলোমেলোনাযুক্ত অ্যালগরিদম এন্ট্রির চেয়ে কম পড়েন তবে পরিবর্তিত ইনপুট সনাক্ত করার সম্ভাবনা (মোটামুটি) থাকে যেমন, এই অ্যালগরিদম সম্ভাবনাটি ব্যর্থ হয়, যদি এটি এন্ট্রির চেয়ে কম পড়ে তবে কমপক্ষে $p=1/2$ $1$ $L/8$ $1/8$ $L/8$

(1 - p) (7 / 8) > 7 / 16 > 1 / 3.

$(1-p)(7/8) > 7/16 > 1/3.$

পিএস আমি মনে করি পরামিতিগুলি সম্পর্কে আরও সতর্কতার সাথে, প্রথম নীচের উন্নত করা যেতে পারে । $\Omega(1/\epsilon^2)$

— সারিল হার-প্লেড
সূত্র

এই জন্য আপনাকে ধন্যবাদ! প্রথমটি সম্পর্কে আমার একটি ছোট প্রশ্ন আছে, পাউন্ড (আরও বিশেষত সম্ভাব্য চতুষ্কোণ উন্নতি)। যেহেতু আমাদের এখানে একতরফা প্রতিশ্রুতি সমস্যা রয়েছে, যা বোঝায় যে অ্যালগরিদম যে কোনও মানকে "দেখায়" তার সাথে সাথে evidence কোনও প্রমাণ দেয় যে , এটি : আরও সঠিক অনুমান না করেই উপসংহারে আসতে পারে এর অর্থ এই নয় যে এই নির্মাণের জন্য অনুকূল, কারণ মূলত কেউ আশা করে যে কোনও একটি এর 1 হবে, বা কমপক্ষে একটি ভগ্নাংশটি হবে না?

Ω (1 / ϵ)

$\Omega(1/\epsilon)$

β < 1

$\beta < 1$

β

$\beta$

1 / ϵ

$1/\epsilon$

X_{i}

$X_i$

ϵ

$\epsilon$

— ক্লিমেন্ট সি।

হ্যাঁ। যদি আপনি কেবল 1 এবং 1-অ্যাপসিলনের মধ্যে পার্থক্য করতে চান তবে অবশ্যই আপনি নিম্ন সীমানাকে উন্নত করতে পারবেন না ... আমি অন্যান্য

— রেঞ্জকে

নিম্ন সীমা

দুটি ক্ষেত্রে পৃথক করার জন্য কমপক্ষে ক্যোয়ারীগুলি প্রয়োজনীয়। $\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$

ক্রম বিবেচনা করুন কর্তৃক প্রদত্ত , সঙ্গে মনোনীত যাতে । বিশেষ করে, আমরা গ্রহণ করতে পারেন । $a_1,\dots,a_n$ $\epsilon,2\epsilon,3\epsilon,4\epsilon,\dots$ $n$ $a_1+\dots+a_n = 1$ $n \approx 1/\sqrt{2\epsilon}$

এখন একটি নতুন ক্রম গঠন করা যতবার উপরে ক্রম একটি একক উপাদান পরিবর্তন করে । অন্য কথায়, , , ইত্যাদি বাদে । লক্ষ্য করুন যে । $a'_1,\dots,a'_n$ $\epsilon$ $a'_1=a_1$ $a'_2=a_2$ $a'_i = a_i - \epsilon$ $a'_1 + \dots + a'_n = 1-\epsilon$

থেকে পার্থক্য করতে কতগুলি প্রোব লাগে ? ঠিক আছে, তারা কেবলমাত্র একটি একক উপাদানে ( ম উপাদান) পৃথক, সুতরাং পৃথক করার ধ্রুব সম্ভাবনা অর্জন করতে প্রোব লাগে । এখন সেই ; আমরা দেখতে পেয়েছি যে প্রোবগুলির প্রয়োজন। $a_1,\dots,a_n$ $a'_1,\dots,a'_n$ $i$ $\Omega(n)$ $n \approx 1/\sqrt{2\epsilon}$ $\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$

ঊর্ধ্বসীমা

আমি মনে করি আপনি ব্যবহার করে দুটি ক্ষেত্রে আলাদা করতে পারবেন । আমি জানি না এটি সর্বোত্তম কিনা। $O(\lg(n/\epsilon) [\lg n + 1 / \epsilon^2])$

এখানে কিভাবে। আসুন এর পরিসীমাটি নীচে ভাগ করুন : $[0,1]$

[0, 1] = [0, 0.25 ϵ / n] \cup (0.25 ϵ / n, 0.5 ϵ / n] \cup (0.5 ϵ / n, ϵ / n] \cup (ϵ / n, 2 ϵ / n] \cup (2 ϵ / n, 4 ϵ / n] \cup \dots \cup (\dots, 1] .

$[0,1] = [0,0.25\epsilon/n] \cup (0.25\epsilon/n,0.5\epsilon/n] \cup (0.5\epsilon/n,\epsilon/n] \cup (\epsilon/n,2\epsilon/n] \cup (2\epsilon/n,4\epsilon/n] \cup \dots \cup (\ldots,1].$

এটি একটি বিভাজন, সুতরাং প্রতিটি মান অবশ্যই উপরের রেঞ্জের একের মধ্যে হবে। আমরা মানগুলিকে কোন ব্যাপ্তির মধ্যে রয়েছে সে অনুযায়ী ভাগ করব Each প্রতিটি মান এই রেঞ্জগুলির মধ্যে একটির মধ্যে পড়ে এবং একটি নির্দিষ্ট পরিসরে পড়ে এমন মানগুলি আপনার ক্রম অনুসারে ক্রমাগত প্রদর্শিত হয় appear সুতরাং, প্রদত্ত যে কোনও ব্যাপ্তির জন্য , আমরা বাইনারি অনুসন্ধান ব্যবহার করে যেমন সূচকগুলি খুঁজে । এর জন্য বাইনারি অনুসন্ধানগুলি দরকার। ধরুন আমরা এটি করেছি। $a_i$ $a_i$ $a_i$ $[\ell,u]$ $i,j$ $a_i,\dots,a_j \in [\ell,u]$ $O(\lg(n/\epsilon))$

এখন, আমরা প্রতিটি পরিসরের মানগুলির সমষ্টি অনুমান করব। প্রথম পরিসরটি বাকি সমস্ত থেকে আলাদাভাবে পরিচালনা করা হবে:

প্রথম পরিসরের জন্য , আমরা সেই পরিসরের মানগুলির যোগফলকে এবং মধ্যে কোথাও বেঁধে রাখতে পারি , যেখানে সেই মানের সংখ্যার যে সংখ্যাটি এই সীমার মধ্যে পড়ে is । থেকে যেহেতু এই গণ্ডিতে পরম ত্রুটিটি সর্বাধিক । $[0,0.25\epsilon/n)$ $0$ $m \times 0.25\epsilon/n$ $m$ $m \le n$ $0.25 \epsilon$
একে অপরের পরিসরের জন্য, আমরা এই পরিসরের মানগুলির যোগফলকে এলোমেলো প্রোব ব্যবহার করে আপেক্ষিক ত্রুটি- মধ্যে আবদ্ধ করতে পারি । (এখানে মূল কীটি হ'ল এই পরিসরের সমস্ত মানগুলির একটি নিম্ন নিম্ন-সীমাবদ্ধ রয়েছে এবং এটি নিম্ন বদ্ধের সর্বাধিক ।) আমরা বেছে নেব । $\delta$ $O(1/\delta^2)$ $2 \times$ $\delta = 0.25 \epsilon$

প্রথম পরিসীমা ব্যতীত সকলের জন্য অনুমানের যোগফলের ত্রুটি সবচেয়ে বেশি । প্রথম পরিসরের অনুমানের ত্রুটিটি সর্বোচ্চ । । সুতরাং, এই সমস্ত অনুমানের যোগফলের মোট ত্রুটি হবে , যা মোট বনাম মোট মধ্যে পার্থক্য করতে যথেষ্ট । $0.25 \epsilon$ $0.25 \epsilon$ $\le 0.5 \epsilon$ $1$ $1-\epsilon$

— ডিডাব্লিউ
সূত্র

ধন্যবাদ - এটি আকর্ষণীয় দেখায় (যতদূর আমি বলতে পারি, এটি উপরে উল্লিখিত কাগজ / আলোচনার মতো ব্যবহারের মত নয়) এবং আপনি কী লিখেছেন সে সম্পর্কে আমার আরও গভীর দৃষ্টি থাকবে। তবে, আমি উপরের বাউন্ডের চেয়ে নিম্ন সীমাটির সন্ধান করছি - অর্থাত, কতগুলি ক্যোয়ারী প্রয়োজনীয় ।

— ক্লিমেন্ট সি

(সময় শেষ হওয়ার সাথে সাথে আমি উত্তরের জন্য "অনুগ্রহ" দিচ্ছি - যদিও আমি এখনও নীচের দিকে আবদ্ধ একটি রেফারেন্স খুঁজছি, যদি সেখানে কোথাও কেউ থাকে তবে।)

— ক্লিমেন্ট সি

@ ক্লেমেন্টসি।, আমি আপনার অনুরোধ অনুযায়ী একটি নিম্ন সীমা যুক্ত করেছি।

— DW

আপনাকে ধন্যবাদ (যদিও, সম্পত্তি পরীক্ষার সাধারণ ফোকাস অনুযায়ী, আমি স্পষ্টতই কে প্রাথমিক পরিমাণটিকে অনন্তের দিকে যাওয়া হিসাবে বিবেচনা করি , যখন কিছুটা নির্বিচারে ছোট ধ্রুবক: আমি এটিকে স্পষ্ট করার জন্য প্রশ্নটি সম্পাদনা করেছি)।

n

$n$

ε

$\varepsilon$

— ক্লিমেন্ট সি।