নিম্নলিখিত ডিরেক্টরিতে সরাসরি সম্পত্তির সাথে কার্যকারিতা বিদ্যমান বলে জানা যায়?

Question

এই প্রশ্নটি হয় বুলিয়ান সার্কিটগুলির সার্কিট জটিলতার কাঠামোতে বা বীজগণিত জটিল তত্ত্বের কাঠামোতে বা সম্ভবত প্রচুর অন্যান্য সেটিংসে জিজ্ঞাসা করা যেতে পারে। যুক্তিগুলি গণনা করে এটি দেখানো সহজ, এন ইনপুটগুলিতে বুলিয়ান ফাংশন বিদ্যমান রয়েছে যার জন্য তাত্পর্যপূর্ণভাবে অনেকগুলি গেটের প্রয়োজন (যদিও আমাদের কোনও স্পষ্ট উদাহরণ নেই)। ধরুন আমি একই ফাংশন M বার, কিছু পূর্ণসংখ্যার এম, ইনপুটগুলির এম স্বতন্ত্র সেটগুলিতে মূল্যায়ন করতে চাই, যাতে ইনপুটগুলির মোট সংখ্যা এমএন হয়। তা হল, আমরা কেবল একই ফাংশন জন্য প্রতিটি সময় হয়।$f(x_{1,1},...,x_{1,N}), f(x_{2,1},...,x_{2,N}),...,f(x_{M,1},...,x_{M,N})$$f$

প্রশ্ন হল: এটা পরিচিত হয় ফাংশন একটি ক্রম অস্তিত্ব আছে যে (প্রতিটি এন জন্য এক ফাংশন) যেমন যে কোন এন জন্য, কোন এম জন্য, প্রয়োজনীয় গেটস মোট সংখ্যা হয় অন্তত এম সময়ের একটি সূচকীয় ফাংশন সমান এন? সাধারণ গণনা যুক্তি কার্যকারিতা বলে মনে হচ্ছে না, কারণ আমরা এই ফলাফলটি সমস্ত এম। এর জন্য ধারণ করতে চাই, বীজগণিত সংক্রান্ত জটিলতা তত্ত্ব এবং অন্যান্য ক্ষেত্রে এই প্রশ্নের সাধারণ এনালগগুলি নিয়ে আসতে পারে।$f$

Answer 1

ঠিক আছে, এটি মিথ্যা: কেবলমাত্র ও (এন (এম + 2 ^ এন)) গেটগুলি ব্যবহার করে যে কোনও এম এর অনুলিপিগুলি মূল্যায়ন করা সম্ভব যা এম * এক্সপ্রেস (এন) এর চেয়ে অনেক কম হতে পারে (আসলে, আপনি লিনিয়ার অনুশীলনকারী পান ক্ষতিকারক এম এর জন্য জটিলতা)। আমার কোনও রেফারেন্স মনে নেই তবে আমি মনে করি এটি নীচের মতো কিছু হতে পারে:

প্রথমে 2 ^ N কল্পিত ইনপুট যুক্ত করুন যা কেবল 0 ... 2 ^ N-1 হয় এবং এখন xi দ্বারা N- বিট ইনপুটকে বোঝায় (সুতরাং i <= 2 ^ N এর জন্য আমাদের xi = i আছে এবং 2 ^ N <i <= 2 ^ N + M আমাদের আসল ইনপুট রয়েছে)। এখন আমরা প্রতিটি এম + 2 ^ এন ইনপুটগুলির জন্য একটি ট্রিপলেট তৈরি করি: (i, xi, fi) যেখানে প্রথম 2 ^ N ইনপুটগুলির জন্য ফাই (i) থাকে (সার্কিটের সাথে শক্ত থাকে) এবং ফাই = "*" অন্যথায়। এখন আমরা কী XI অনুসারে ট্রিপল্টগুলি (i, xi, fi) বাছাই করব, এবং এর থেকে আমরা ট্রিপলেট (i_j, x_j, f_j) হতে পারি_আমি g_j ছেড়ে দিয়ে একটি ট্রিপলেট (i_j, x_j, g_j) গণনা করি f_j যদি f_j একটি "*" না হয় এবং g_j কে g_ (j-1) হতে দিন। এখন i_j কী অনুসারে নতুন ট্রিপল্টগুলি পুনরায় সাজান এবং আপনি সঠিক জায়গায় সঠিক উত্তর পেয়েছেন।

Comments

চতুর! একটি ছোটখাটো জিনিস: আমাদের তিনটি স্থিরভাবে বাছাই করতে হবে (বা অন্য কোনও পদ্ধতিতে যা গ্যারান্টি দেয় যে ফাই - " " দিয়ে ট্রিপলগুলি ফাই = " " দিয়ে ট্রিপল্টের চেয়ে আগে আসে ))

— Tsuyoshi Ito

খুব চালাক, এবং ধন্যবাদ। বীজগণিত জটিলতা সেটিংয়ের ক্ষেত্রে অনুরূপ কিছু কাজ করে কি না?

— ম্যাট হ্যাসিংস

আমার মনে হয় অন্যভাবে এম এর ক্ষেত্রে এই কথাটি বলে, আপনি চ এর সমস্ত মানগুলির জন্য একটি হ্যাশ টেবিল তৈরি করতে 2 * N * 2 invest N সময় বিনিয়োগ করতে পারেন এবং তারপরে আপনি ও (এন) এর প্রতিটি অনুলিপি গণনা করতে পারবেন ) সময়। আমি মনে করি এর অন্য কোনও কারণ আছে যা আমাদের অন্তত জানা উচিত নয়, এমনকি এন এর মৃদু মানগুলির জন্যও এটি জানা উচিত যা এটি নিম্নতর সীমাগুলির চেয়ে ভাল দিতে পারে। আপনি বৃহত্ জটিলতার সাথে এন '= লগ এন (বা সম্ভবত এন' = লগল এন) ইনপুটগুলিতে কোনও ফাংশন সন্ধান করতে বাধ্য হয়ে প্রথমে ব্রুট দ্বারা সুপারলাইনার নীচে আবদ্ধ একটি ফাংশন তৈরি করতে সক্ষম হবেন এবং এর পরে এন / এন'কপিগুলি গ্রহণ করতে সক্ষম হবেন ।

— বোয়াজ বারাক

উপরের যুক্তি অনুসারে কেন এই জাতীয় ফলাফলগুলি নিম্ন সীমানায় নিয়ে যায় আমি জানি না যে পুনরাবৃত্তির সংখ্যাটি সত্যই হালকা হয় তবে এটি অসীম ক্ষেত্রগুলিতেও প্রযোজ্য।

— বোয়াজ বারাক

হাই বোয়াজ, আসলে আপনার মন্তব্যটি হ'ল আমি কেন এই ফাংশনগুলির অস্তিত্ব সম্পর্কে আগ্রহী ছিলাম। তবে একটি সূক্ষ্ম বিন্দু রয়েছে, "ব্রুট ফোর্সিং"। এটি হতে পারে (যা আমার প্রশ্নটি লক্ষ্য করে), এই জাতীয় ফাংশন বিদ্যমান তবে আমাদের কাছে কোনও অ্যালগরিদম নেই যা আমাদের দেখাতে দেবে যে প্রদত্ত ফাংশনটির এই সম্পত্তি রয়েছে। সর্বোপরি, এমন কোনও সম্পত্তি জবরদস্ত করার কোনও উপায় বলে মনে হচ্ছে না যা এই ধরণের নিম্ন সীমানা সমস্ত এমকে ধরে রাখে, কারণ আপনাকে সীমাহীন সংখ্যক বিভিন্ন সার্কিট পরীক্ষা করতে হবে। সুতরাং, সম্ভবত এই জাতীয় ফাংশনগুলি অসীম ক্ষেত্রগুলির জন্য বিদ্যমান তবে আমরা এটি প্রদর্শন করতে পারি না।

— ম্যাট হ্যাসিংস

Answer 2

$O(2^n/n)$$m$$m$$f$$m 2^n/n$

"একাধিক ইনপুট মানগুলির জন্য বুলিয়ান ফাংশনগুলি গণনা করছে নেটওয়ার্কগুলি"

$m = 2^{o(n/\log n)}$$m$$f$$O(2^n/n)$$m = 1$

আমি অনলাইনে একটি গেস্ট অনুলিপি, বা লেখকের জন্য একটি হোমপেজ খুঁজে পাচ্ছি না, তবে এই কার্যক্রমে আমি কাগজটি পেরিয়ে এসেছি:

বুলিয়ান ফাংশন জটিলতা (লন্ডন ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি লেকচার নোট সিরিজ)

Comments

ধন্যবাদ! টিসিএসে প্যারাডক্স সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করা প্রশ্ন ছিল না? এটি সেখানে একটি উত্তর হিসাবেও কাজ করতে পারে :)

— অর্ণব

এই উত্তরের জন্য ধন্যবাদ। প্রক্রিয়াটি পড়তে সক্ষম না হয়ে, আমি অনুমান করব যে পূর্বের উত্তরের মতো এটি সম্ভাব্য ইনপুটগুলির সুনির্দিষ্ট সংখ্যার উপর নির্ভর করতে পারে, সুতরাং আবার সেই একই ফলো-আপ প্রশ্নটি উপরে উঠবে: বীজগণিত জটিলতার ক্ষেত্রে কী হবে?

— ম্যাট হ্যাসিংস

প্রকৃতপক্ষে, এটি শানন প্রথমে O (2 ^ n / n) উপরের আবদ্ধকে প্রমাণ করেছে; লুপানভ সঠিক নেতৃত্বাধীন ধ্রুবক পেয়েছিলেন। আমি এটি সংশোধন করেছি। ফ্রেন্ডসেন এবং মিলটারসেন দ্বারা "সবচেয়ে শক্তিশালী ফাংশনের সার্কিট আকারের সীমানা পর্যালোচনা করা" তে বিশদগুলি ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

— অ্যান্ডি ড্রকার

Answer 3

বীজগণিত সংক্রান্ত জটিলতা সম্পর্কে, আমি এমন কোনও উদাহরণ জানি না যেখানে ঘনিষ্ঠ জটিলতা সাব-এক্সফোনেনশিয়াল amorised জটিলতায় চলে যায় তবে কমপক্ষে একটি সাধারণ উদাহরণ রয়েছে যে এম ডিসজিওন্ট কপিগুলির জটিলতা একক অনুলিপিটির জটিলতার চেয়ে এম এর চেয়ে কম কম হতে পারে can :

একটি "এলোমেলো" এন * এন ম্যাট্রিক্স এ এর ​​জন্য বি দ্বারা সংজ্ঞায়িত বিলিনারের আকারের জটিলতা (ফাংশন f_A (x, y) = xAy, যেখানে x এবং y দৈর্ঘ্যের 2 ভেক্টর) ওমেগা (n ^ 2) ) - এটি একটি "গণনা-মত" মাত্রার যুক্তি দ্বারা দেখানো যেতে পারে যেহেতু ধ্রুবকগুলি রাখার জন্য আপনার সার্কিটের n ^ 2 "স্থান" দরকার। তবে, বিভিন্ন ভিন্ন ভিন্ন ভেক্টরকে দেওয়া (x ^ 1, y ^ 1) ... (x ^ n, y ^ n), আপনি এক্সকে একটি এন * এন ম্যাট্রিক্স এক্সের সারিতে রাখতে পারেন এবং একইভাবে y এর একটি ম্যাট্রিক্স ওয়াইয়ের কলামগুলিতে এবং তারপরে XY এর তির্যকটি থেকে সমস্ত উত্তর x ^ iAy ^ i পড়ুন, যেখানে এটি দ্রুত ম্যাট্রিক্স গুণণের সাহায্যে n ^ 2.3 (বা তাই) অপারেশনগুলিতে গণনা করা হয়েছে, এন * এন এর চেয়ে কম ^ 2।

Comments

ধন্যবাদ, আমি উদাহরণটি জানি। অনুরূপ একটি হ'ল একটি ভেরিয়েবলের মধ্যে ডিগ্রি এন পলিনোমিয়াল রয়েছে যা একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে মূল্যায়ন করতে সময় n লাগে (যদিও আমি মনে করি না যে এখানে কোনও স্পষ্ট উদাহরণ রয়েছে, আমি কি ভুল?) তবে, এ জাতীয় বহুবর্ষের মূল্যায়ন করতে পারেন n পয়েন্টগুলি সময়ে n লগ ^ 2 (এন)।

— 18:38

বীজগণিত প্রত্যক্ষ-সমষ্টি সমস্যার বিষয়ে আমি ৮০-এর দশক থেকে দুটি কাগজপত্র পেয়েছি: জাজা এবং তকচে দ্বারা "সরাসরি সমমানের অনুমানের বৈধতার উপর", এবং বুশতির "বর্ধিত প্রত্যক্ষ সমমানের অনুমানের উপর" papers আমি তাদের বিষয়বস্তু সংক্ষিপ্ত করতে পারি না, তবে সম্ভবত তারা সহায়ক হবে।

— অ্যান্ডি ড্রাগার

Answer 4

এটি ওল্ফগ্যাং পল অধ্যয়ন করেছেন এবং সমাধান করেছেন যিনি মূলত যা আলোচনা করেছেন তা হ'ল।

Comments

নিস! কোন রেফারেন্স আছে?

— হিসিয়েন-চিহ চাং 之