স্কোয়ার পদ্ধতির যোগফলের সংখ্যার যথার্থতা?

Question

আমি থেকে সমষ্টি অফ স্কোয়ার পদ্ধতি (এসওএস) সম্পর্কে একটু পড়া হয়েছে বারাক & Steurer প্রদানকারীর করা একটি সমীক্ষা এবং বরাক বক্তৃতা নোট । উভয় ক্ষেত্রেই তারা গালিচা অধীনে সংখ্যার যথাযথতার বিষয়গুলি ছড়িয়ে দেয়।

পদ্ধতিটি সম্পর্কে আমার (স্বীকৃতভাবে সীমাবদ্ধ) বোঝার থেকে নিম্নলিখিতটি সত্য হওয়া উচিত:

Real রিয়েল-ভ্যালু ভেরিয়েবলের ওপরে বহুবর্ষীয় সমতা এর যে কোনও সিস্টেম দেওয়া হয়েছে , যেখানে সমস্ত প্যারামিটারগুলি ( , এবং প্রতিটি সীমাবদ্ধতার ডিগ্রি), ডিগ্রি- " "( ) এসওএস পদ্ধতিটি ভেরিয়েবলগুলির একটি সন্তোষজনক কার্য সম্পাদন করে বা প্রমাণ করে যে সময়ে কোনওটিই বিদ্যমান নেই । x ∈ R n O ( 1 ) n | E | 2 এন = ও ( 1 ) ও ( 1 $E$$x \in \mathbb{R}^n$$O(1)$$n$$|E|$$2n$$=O(1)$$O(1)$

আমার প্রথম প্রশ্নটি কি উপরের দাবিটি সত্য কিনা (কোনও নিষ্পাপ যুক্তি যা সমাধান করতে এসওএস ব্যবহার করে না?)। দ্বিতীয় প্রশ্নটি হ'ল সংখ্যাসূচক নির্ভুলতাটি কোথায় খাপ খায়? যদি আমি এমন একটি অ্যাসাইনমেন্ট পেতে চাই যা অ্যাডিটিভ- নির্ভুলতার মধ্যে সমস্ত সীমাবদ্ধতাগুলি পূরণ করে তবে রানটাইম কীভাবে উপর নির্ভর করে ? বিশেষত, এটি কি বহুপদী?1 /$\varepsilon$$1/\varepsilon$

এটির অনুপ্রেরণাটি বলা হয় যে বেস সিস্টেমটি আকারের সিস্টেম না হওয়া পর্যন্ত একটি বৃহত সিস্টেমে বিভাজন এবং বিজয়ী পদ্ধতির প্রয়োগ করা।$O(1)$

সম্পাদনা: বারাক-স্টিউয়ার থেকে, এটি দেখা যাচ্ছে যে p9 এর উপর "ডিগ্রি সমষ্টি অফ স্কোয়ার্স অ্যালগোরিদম" (এবং এটি অনুচ্ছেদে অনুচ্ছেদে) সমস্ত over এর উপর সমাধানের সমস্যার সংজ্ঞা দেয় , এবং বাস্তবে সত্য অধ্যায় 2.2 একটি সিউডো-বণ্টনের সংজ্ঞা শেষ হয়ে গেছে । এখন আমি লেমমা ২.২ থেকে দেখছি, তবে, বাইনারি ভেরিয়েবলগুলি ব্যতীত ডিগ্রি এ কোনও সমাধান / খণ্ডনের গ্যারান্টিযুক্ত নয় ।আর আর 2 $l$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$2n$

তাই আমি আমার প্রশ্নটি কিছুটা পরিমার্জন করতে পারি। যদি আপনার ভেরিয়েবলগুলি বাইনারি না হয় তবে উদ্বেগটি হ'ল আউটপুটগুলির ক্রম ite সীমাবদ্ধ নয় (সম্ভবত একঘেয়েমি বাড়ছে না?)। সুতরাং প্রশ্নটি হ'ল: এখনও বাড়ছে? এবং যদি তাই হয় তবে আপনাকে নির্ভুলতা পেতে কতদূর যেতে হবে ? φ ( l )$\varphi^{(l)}$$\varphi^{(l)}$$\varepsilon$

যদিও সম্ভবত কিছু পরিবর্তন নয়, আমি জানতে চাই আমার সিস্টেম Satisfiable আছে (কোন ডিগ্রী কোন অপ্রমাণ হয়), তাই আমি সত্যিই am ঠিক কিভাবে বৃহৎ নিয়ে উদ্বিগ্ন ঘটতে চাহিদা যাবে। পরিশেষে, আমি একটি সংখ্যক সমাধানকারী নয়, একটি তাত্ত্বিক সমাধানে আগ্রহী।$l$

Comments

যৌক্তিক সহগ (2008) সহ স্কোয়ারের পচনগুলির সমষ্টি

— রোডরিগো ডি আজেভেদো

Answer 1

এই বিষয়ে বোয়াজ বারাকের মন্তব্য এখানে :

আমরা গালিচা অধীনে সংখ্যাসূচক নির্ভুলতা ঝুলি - আরও বেশি "serতিহ্যবাহী" এসওএস সাহিত্যের পেরিলো, লাসেরে ইত্যাদি। এই বিষয়গুলি নিয়ে কাজ করে (যেমন, মনিক লরেন্টের সমীক্ষা এবং এর উল্লেখগুলি দেখুন) see এটি জানা যায় যে শ্রেণিবিন্যাস একঘেয়েমি (এটি বোঝা মুশকিল নয় যে ডিগ্রি সাইয়েডো-ডিস্ট্রিবিউশন বিশেষত একটি ডিগ্রি এক) এবং এটি যে কোনও নির্দিষ্ট সমীকরণের জন্য সীমাবদ্ধ ডিগ্রীতে রূপান্তর করবে (এটি হ'ল পজিটিভসটেলেনস্যাটজ)। সঠিক ডিগ্রি বিভিন্ন হতে পারে। সাধারণত, যদি বহুবচনগুলির সমস্ত সহগ বা সীমাবদ্ধ থাকে এবং আপনি যে সমাধান এবং কেসটি যে কোনও কার্যক্রমে সমীকরণের একটি দ্বারা বন্ধ রয়েছে এমন কেসটির মধ্যে পার্থক্য করার চেষ্টা করছেন , তবে একজন এটি একটি করতে পারে$l$$l-1$$\epsilon$$\delta$- ভেরিয়েবলের সংখ্যা, সমীকরণের ডিগ্রি এবং এপসিলনের সাথে সম্পর্কিত ডেল্টার জন্য নেট, এবং তারপরে (নেট যথেষ্ট পরিমাণে "দুর্দান্ত" এবং "কিউব লাইক" ধরে নিলে) ডিগ্রিটি নেট এর আকারের প্রায় লগইন করা উচিত।$\delta$$\epsilon$

Comments

ভবিষ্যতে আবারও সম্প্রদায়টি বটকে প্রশ্নটি ঠাঁই করতে এড়াতে একটি উত্তর হিসাবে পোস্ট করেছে।

— কাভেঃ

Answer 2

আমি মনে করি আমার উত্তর সম্ভবত অপর্যাপ্ত, তবে এটি সম্পূর্ণতার জন্য রয়ে গেছে (যদিও এর চেয়ে আরও ভাল উত্তরের জন্য নীচে বোজের মন্তব্য দেখুন)

যখন আমরা নিজেকে বুলিয়ান ভেরিয়েবলের মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখি তখন দাবীটি দেখা যায় যখন জন্য all সমস্ত পর্যবেক্ষণের সাথে ডিগ্রি সিউডো-ডিস্ট্রিবিউশনগুলি প্রকৃত বিতরণ, অর্থাৎ ধরুন আপনি আপনার বহুপদী সমতা সন্তুষ্টিজনক এর সমাধানগুলির জন্য সিউডো-বিতরণ :$(x_i^2-1) \in E$$i \in[n]$$2n$$\mu(x)$$x$$E$

$\sum_{ x \in \{-1,1\}^n} \mu(x)$ এবং সর্বাধিক ডিগ্রি সহ সমস্ত বহুভুজ জন্য$\sum_{x\in\{-1,1\}^n} \mu(x) p^2(x)\ge0$$p$$n$

তবে ডিগ্রি পলিনোমিয়ালগুলি সূচক বহুপদী অন্তর্ভুক্ত করে (উদাহরণস্বরূপ, এর যা সমস্ত- অন্য কোথাও শূন্য এবং সেই নিয়োগের ক্ষেত্রে 1)। সুতরাং জন্য সমস্ত for এর জন্য , সুতরাং আমরা সিদ্ধান্ত হ'ল এর সমাধানগুলির উপর একটি প্রকৃত বন্টন । ডিগ্রী সিউডো-ডিস্ট্রিবিউশন semidefinite প্রোগ্রামিং ব্যবহার করে একটি সংশ্লিষ্ট ডিগ্রী এটি পাওয়া যাবে মধ্যে সিউডো-প্রত্যাশা অপারেটর সময়, তাই আমরা প্রকৃত বিতরণ জানতে পারেন সময়$n$$x_1 = 1, x_2=-1, x_3=1$$2^{-3}(1+x_1)(1-x_2)(1+x_3)$$\mu(x) \ge 0$$x\in\{-1,1\}^n$$\mu$$E$$\ell$$\ell$$n^{O(\ell)}$n ও ( এন )$\mu$$n^{O(n)}$ এর সমস্ত মুহুর্তগুলি খুঁজে পেতে সেই ছদ্ম-প্রত্যাশা (এখন একটি সত্য প্রত্যাশা) ব্যবহার করে ।$\mu$

সুতরাং, যদি , তাহলে আপনি একটি সমাধান বিতরণের জানতে পারেন মধ্যে সময়। অবশ্যই, নিষ্ঠুর বল অনুসন্ধান একই গ্যারান্টি দেয়।ই ও ( 1 $|E| = O(1)$$E$$O(1)$

তবে, যদি সমাধানগুলি অগত্যা বুুলিয়ান না হয়, তবে ডিগ্রি- সিউডো-প্রত্যাশাগুলি সমাধানগুলির উপর বিতরণ সন্ধানের জন্য পর্যাপ্ত নয়। উপরে দেখা যাবে যে, ডিগ্রি সিউডো-ডিস্ট্রিবিউশনগুলি প্রকৃত বিতরণগুলির প্রমাণ নির্ভর করে যে ডিগ্রি পলিনোমিয়ালগুলি স্বতন্ত্র কার্যনির্বাহাগুলি 'বাছাই' করতে যথেষ্ট, যা সাধারণভাবে সত্য নয়। এটি দেখার আরেকটি উপায় হ'ল বুলিয়ান-ভেরিয়েবল বহুভিত্তিকে , সুতরাং প্রতিটি মনোমির ডিগ্রি সর্বাধিক ।2 এন $2n$$2n$$n$$\mod(x_i^2)$$n$

উদাহরণস্বরূপ, কেউ প্রতি বাইনারি ভেরিয়েবলকে 4-অ্যারি ভেরিয়েবলের পরিবর্তে বিবেচনা করতে পারে, including অন্তর্ভুক্ত করে বলুন । তারপরে সমাধানের মাধ্যমে বিতরণ পুনরুদ্ধারের গ্যারান্টি পেতে আপনার কাছে একটি ডিগ্রি সিউডো-প্রত্যাশা থাকতে হবে।4 $(x_i^2-1)(x_i^2-4) \in E$$4n$

এখন, তাত্ত্বিক গ্যারান্টিগুলির জন্য, মনে হচ্ছে পলিনোমালগুলির একটি সিস্টেমের মূলের কাছাকাছি হওয়াও সামেলের 17 তম সমস্যা হিসাবে পরিচিত, এবং স্পষ্টতই একটি এলোমেলোভাবে (লাস ভেগাস) বহুপদী সময় অ্যালগরিদম রয়েছে যা এটি সমাধান করে - দেখুন http://arxiv.org /pdf/1211.1528v1.pdf । নোট করুন যে এটি ব্লাম-শাব-সামেল মডেলের মধ্যে রয়েছে বলে মনে হয়, তাই আসল অপারেশনগুলি আদিম। আমি নিশ্চিত নই যে এটি আপনার প্রয়োজনীয় গ্যারান্টি দেয় কিনা।

Comments

আমি মনে করি আমি এটি পরিষ্কার করে নাও থাকতে পারি: আমার ভেরিয়েবলগুলি in এ রয়েছে , অন্যথায় আমি কেবল বুলিয়ান হাইপারকিউবে একটি তুচ্ছ অনুসন্ধান করতে পারি। এটি প্রতিফলিত করতে আমি প্রশ্ন আপডেট করেছি। এসডিপি / এসওএসগুলি বাস্তব-ইনপুট অপটিমাইজেশন সমস্যার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য, তাই না? R O ( 2 n ) = O ( 1 $x_i$$\mathbb{R}$$O(2^n) = O(1)$

— জেরেমি কুন

উফফফফ, আমার ভুল! হ্যাঁ, এটি আরও সাধারণ সেটিংসে প্রযোজ্য, যদিও অনেক সময় আমরা ধরে নিই যে হাইপারকিউবে রয়েছি। আমি আমার উত্তর আপডেট করেছি, যদিও আমার উত্তরটি আমি আশা করেছিলাম তার চেয়ে কম পরিষ্কার হবে।

— জো বেবেল

আমরা গালিচা অধীনে সংখ্যাসূচক নির্ভুলতা ঝুলি - আরও বেশি "serতিহ্যবাহী" এসওএস সাহিত্যের পেরিলো, লাসেরে ইত্যাদি। এই বিষয়গুলি নিয়ে কাজ করে (যেমন, মনিক লরেন্টের সমীক্ষা এবং এর উল্লেখগুলি দেখুন) see এটি জানা যায় যে শ্রেণিবদ্ধতা একঘেয়ে (এটি দেখতে খুব কঠিন নয় যে একটি ডিগ্রি এসিউডো-ডিস্ট্রিবিউশন বিশেষত একটি ডিগ্রি এক) এবং এটি যে কোনও নির্দিষ্ট সমীকরণের জন্য সীমাবদ্ধ ডিগ্রিতে রূপান্তর করবে ( এটি পজিটিভসটেলেনস্যাটজ)। ℓ - $\ell$$\ell-1$

— বোয়াজ বারাক

.. সঠিক ডিগ্রি বিভিন্ন হতে পারে। সাধারণত, যদি বহুবচনগুলির সমস্ত সহগ বা সীমাবদ্ধ থাকে এবং আপনি যে সমাধান এবং কেসটি যে কোনও কার্যক্রমে সমীকরণের একটি দ্বারা বন্ধ রয়েছে এমন কেসটির মধ্যে পার্থক্য করার চেষ্টা করছেন , তবে একজন এটি একটি করতে পারে -net জন্য ভেরিয়েবল নম্বর, সমীকরণ ডিগ্রী, এবং এর সাথে সম্পর্কিত , এবং তারপর প্রয়োজনীয় মোটামুটিভাবে হওয়া উচিত নেট আকার লগ ইন করুন ডিগ্রী (নেট অভিমানী পর্যাপ্ত "চমৎকার" এবং "মত ঘনক্ষেত্র" হয়) । δ δ $\epsilon$$\delta$$\delta$$\epsilon$

— বোয়াজ বারাক

@ বোয়াজবারক সম্ভবত এটির উত্তর হতে পারে?

— সুরেশ ভেঙ্কট