কীভাবে প্রমাণ করবেন যে ইউএসটিসিওএন-এর লগারিদমিক স্থান প্রয়োজন?

ইউএসটিসিএনএন হ'ল সমস্যাটি যার জন্য গ্রাফ তে উত্স ভারটেক্স থেকে টার্গেট ভারটেক্স পর্যন্ত কোনও পথ রয়েছে কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়া দরকার , যেখানে এগুলি সমস্তই ইনপুটটির অংশ হিসাবে দেওয়া হয়। $s$ $t$ $G$

ওমর রিইনগোল্ড দেখিয়েছেন যে ইউএসটিসিএনএন এল (ডোই: 10.1145 / 1391289.1391291 ) এ রয়েছে। প্রমাণটি জিগ-জ্যাগ পণ্যটির মাধ্যমে একটি ধ্রুবক-ডিগ্রি প্রসারণকারী তৈরি করে। একটি ধ্রুবক-ডিগ্রি এক্সপেন্ডারের লোগারিদমিক ব্যাস থাকে এবং এরপরে স্থির সংখ্যক লোগারিদমিক আকারের চিহ্নিতকারীগুলি ব্যবহার করে সমস্ত সম্ভাব্য পাথ চেক করতে পারে।

রিইনগোল্ডের ফলাফলটি ইউএসটিসিওএন-এর স্পেস জটিলতায় একটি লোগারিথমিক আপার উপরের আবদ্ধ দেয়, কাগজ অনুসারে এর স্পেস জটিলতা "একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর অবধি" সমাধান করে। আমি সংশ্লিষ্ট নিম্ন সীমা সম্পর্কে কৌতূহলী, যা অন্য কোথাও কাগজে উল্লেখ করা হয়নি।

কেউ কীভাবে প্রমাণ করতে পারে যে লগারিদমিক স্থানটি সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে ইউএসটিসিএনএনকে সিদ্ধান্ত নিতে প্রয়োজন?

সম্পাদনা: ইন -ইনপুট উপস্থাপনাটি অন্তর্নিহিত ভারটেক্স প্রতিসাম্যিক সহজ নির্দেশিত গ্রাফের সংলগ্ন ম্যাট্রিক্স হিসাবে স্থির করুন , সারিগুলি ক্রমান্বয়ে তালিকাভুক্ত বিট স্ট্রিং গঠনের জন্য । $N \times N$ $N$ $N^2$

লুইস এবং পাপাদিমিট্রিউ দেখিয়েছেন (ডোই: 10.1016 / 0304-3975 (82) 90058-5 ) যে ইউএসটিসিএনএন এসএল-সম্পূর্ণ, যা রিইনগোল্ডের ফলাফলের সাথে বোঝায় যে এসএল = এল। স্যাভিচ দেখিয়েছে (doi: 10.1016 / S0022-0000 (70) 80006-X ) যে । স্টার্নস, হার্টম্যানিস এবং লুইস ( ডও : 10.1109 / এফওসিএস দ্বারা কোনও গুনযোগ্য ফাংশনের জন্য আরও .1965.11 ), সুতরাং USTCONN এর জন্য কমপক্ষে me স্থান প্রয়োজন। অবশেষে, সাধারণ ক্লাসগুলি এল এর নীচে (যেমন $\text{NSPACE}(n) \subseteq \text{DSPACE}(n^2)$ $\text{DSPACE}(f(n)) = \text{DSPACE}(1)$ $f(n) = o(\log\log n)$ $\Omega(\log\log n)$ $\text{NC}^1$ ) সার্কিটের ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং স্পেস সীমানার ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত কোনও শ্রেণীর সাথে স্পষ্টতই তুলনীয় নয়।

আমি যতদূর দেখতে পাচ্ছি, এই পাতাগুলি (স্বীকারযোগ্যভাবে সম্ভাবনা নেই) সম্ভাবনাটি উন্মুক্ত করে যে আরও ভাল নির্ধারক অ্যালগরিদম রয়েছে যা কেবল তবে স্থান, কিছু , বা এমনকি ইউএসটিসিওএনএন-এর জন্য একটি নির্ধারিত অ্যালগরিদম যা স্পেস ব্যবহার করে। $O((\log n)^\delta)$ $\Omega(\log \log n)$ $\delta < 1$ $o((\log n)^{1/2})$

দ্বারা স্থান অনুক্রমের উপপাদ্য , দীর্ঘ হিসাবে হিসাবে স্থান-অঙ্কনযোগ্য। এই সুপারিশ মনে হতে পারে USTCONN থাকতে পারে না However তবে, ইউএসটিসিএনএন লগস্পেস হ্রাসের অধীনে এলের জন্য সম্পূর্ণ হচ্ছে এটি বোঝা যাচ্ছে না still এটি এখনও সম্ভব বলে মনে হচ্ছে যে ইউএসটিসিওএন-এর এল তে কোনও সমস্যা এনকোড করার পর্যাপ্ত কাঠামো রয়েছে seems লগস্পেস হ্রাসের মাধ্যমে, তবুও ইউএসটিসিএনএন নিজেই কেবল সাবলোগারিথমিক স্পেসের প্রয়োজন। $\text{DSPACE}(o(f(n)) \subsetneq \text{DSPACE}(f(n))$ $f(n)$ $\text{DSPACE}(o(\log n))$

যতক্ষণ না এল তে কিছু ভাষা থাকে যা লগারিদমিক স্থানের প্রয়োজন হয় না, ততক্ষণ ইউএসটিসিএনএন দেখায় যে লগস্পেস হ্রাসের তুলনায় কঠোরভাবে "দুর্বল" এর অধীনে এলের জন্য সম্পূর্ণ, এটি পছন্দসই নিম্ন সীমাটি অর্জন করবে।

ইউএসটিসিএনএন কি কমার জন্য এল সম্পূর্ণরূপে স্থানের প্রয়োজনের মধ্যে পূর্ণ? $o(\log n)$

ইম্মারম্যান দেখিয়েছিলেন (doi: 10.1137 / 0216051 ) নির্দেশিত পুনঃব্যবহারের একটি সংস্করণ যাতে কাঙ্ক্ষিত পথটি (তবে গ্রাফটি নিজেই নয়) নির্ধারিত, প্রথম অর্ডার হ্রাসের অধীনে এল এর জন্য সম্পূর্ণ, যা এসি সার্কিট দ্বারা গণনাযোগ্য । এটি সম্ভবত এফটি-হ্রাসের অধীনে ইউএসটিসিএনএন সম্পূর্ণরূপে এটি দেখানোর জন্য মানিয়ে নেওয়া যেতে পারে। যাইহোক, এসি strictly কঠোরভাবে এলতে অন্তর্ভুক্ত থাকলেও এসি আবার একটি সার্কিট শ্রেণি এবং আমি সাবলোগারিথমিক স্পেসে এফও-হ্রাস করার কোনও উপায় সম্পর্কে অবগত নই। $^0$ $^0$ $^0$

2015-07-14 সম্পাদনা করুন: এটি একটি আকর্ষণীয় দার্শনিক ইস্যু যে কোনও টিএম এর স্থান ব্যবহার ইনপুটটিতে একটি সূচকের আকার অন্তর্ভুক্ত করা উচিত (এইভাবে ইনপুটটিতে এলোমেলো অ্যাক্সেসের অনুমতি দেয় তবে ইনপুট আকারে দ্বিগুণ হলে অতিরিক্ত বিট প্রয়োজন ), বা কোনও টিএম দ্বারা ব্যবহৃত স্থানটি কোনও গণনার সময় পরিদর্শন করা ওয়ার্কট্যাপ স্কোয়ারের সংখ্যা কিনা (যা ধরে নেয় যে ইনপুট টেপ মাথাটি স্থির হয়ে গেছে এবং যখন ইনপুট টেপ আকারে দ্বিগুণ হয় তখন পরিবর্তন হয় না)। সাবেক র্যাম-শৈলী সংজ্ঞা অবিলম্বে logspace জন্য আবদ্ধ LOWER দেয় কোনগণনা এবং মডেলগুলি বর্তমান কম্পিউটারগুলি যা ফাইলের শুরু থেকে অফসেট হিসাবে কোনও ফাইলের বর্তমান অবস্থানের উপর নজর রাখে। পরবর্তী শাস্ত্রীয় সংজ্ঞাটি একটি নির্দিষ্ট পঠিত মাথার সাথে একটি কাগজের মতো টেপ ধরেছিল যা বর্তমান ইনপুট প্রতীক ছাড়া টেপ সম্পর্কে কিছুই জানে না, সম্ভবত টুরিং তার 1937 সালের গবেষণাপত্রে লিখেছিলেন।

থমাসের মন্তব্যের মতো বৈজ্ঞানিক যুক্তি, যে জায়গার বিটের সাহায্যে সূচক করা সম্ভব নয়, এটি আধুনিক র‌্যাম-স্টাইল সংজ্ঞা হিসাবে উপস্থিত বলে মনে হয়। স্টার্নস / হার্টম্যানিস / লুইস টিএম-স্টাইল সংজ্ঞাটি ব্যবহার করেন, যেমন স্থান-সীমিত গণনায় বেশিরভাগ ধ্রুপদী কাজ রয়েছে। $o(\log n)$

নিখুঁত বর্গক্ষেত্রের অখণ্ড ভাষাটি লগস্পেসের জন্য স্বীকৃতি প্রয়োজন বলে উল্লেখ করে USTCONN এর জন্য একটি লগস্পেসের নিম্ন সীমানাকে প্রমাণ করতে পারে (দেখুন রাশি ফ্রেইভাল্ডস, গণনার মডেল, রিমন হাইপোথেসিস এবং ক্লাসিকাল গণিত , সফটওয়্যার 1998, এলএনসিএস 1521, 89 –106। Doi: 10.1007 / 3-540-49477-4_6 ( প্রিপ্রিন্ট)))। তারপরে একই নিম্ন সীমাটি সংযুক্ত ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনার সাথে USTCONN এ প্রযোজ্য। এটি সম্ভবত প্রতারণার খুব বেশি: সাধারণত কোনও প্রতিশ্রুতি সমস্যায় প্রতিশ্রুতি প্রয়োগ করা প্রকৃত সমস্যার তুলনায় সহজ হওয়া বোঝানো হয়, তবে এখানে প্রতিশ্রুতি কার্যকর করা যে ইনপুটটি গ্রাফটি ইতিমধ্যে নিম্ন গণ্ডিকে দেয়। সুতরাং প্রতিশ্রুতি সমস্যার জন্য লগস্পেসের নীচের দিকে আবদ্ধ হওয়ার জন্য একটি আর্গুমেন্টটি দেখে ভাল লাগবে যেখানে ইনপুটটি from । $\{\{0,1\}^{N \times N} \mid N=1,2,\dots\}$

— আন্দ্রেস সালামন
সূত্র

আপনার ", সুতরাং কমপক্ষে ... USTCONN এর জন্য স্থান প্রয়োজন" বাকী বাক্য থেকে উপসংহারটি অনুসরণ করা হয় না, যেহেতু জন্য এমন একটি করে অস্তিত্ব নেই.

o (\log (\log (n)))

$o(\log(\log(n)))$

δ

$\delta$

$\;$

ইনপুট প্রতিনিধিত্ব গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে, যেমন স্পেসের সাথে আমরা ইনপুটটিতে একটি স্বেচ্ছাসেবীর অবস্থান নির্দিষ্ট করতে বা অ্যাক্সেস করতে পারি না। আপনি কোন ইনপুট উপস্থাপনা ব্যবহার করছেন? আমরা কি এটিও দেখাতে পারি যে ইউএসটিসিএনএন অ-নিরস্তক সাব-লোগারিথমিক স্পেসে আছে?

o (\log n)

$o(\log n)$

— থমাস মনিকা

এফও = এলটিএইচ = ডলগটাইম ইউনিফর্ম এসি ^ 0

— কাভে

এটি অত্যন্ত বিশদযুক্ত এবং দুর্দান্ত এটি তবে এটি "সরকারীভাবে পরিচিত / স্বীকৃত উন্মুক্ত সমস্যাগুলির" সাথে পরিচিত এবং সম্পূর্ণ সমস্যাগুলিও পরিচিত হতে পারে (বেশিরভাগটি তবে সম্ভবত আরও কাছাকাছি দেখুন?) ... যার মধ্যে এটি দৃশ্যত বেশ কাছাকাছি ... এবং দ্রষ্টব্য সে এর জন্য ভাল ফর্ম্যাট নয় যদি তাই হয় ... ইউএসটিসনের ইউ বিটিডব্লিউটি ডায়রিডাইরেক্টড ডান? এই সাইটে ফাই এসজে "নিম্ন স্তরের" এসটিসন নিম্ন সীমানা এবং ইউএসটিওনের সাথে এর আন্তঃসম্পর্ক অধ্যয়ন করেছে, মনে হয় খুব প্রাকৃতিক সংযোগ থাকবে

— vzn

সময় স্থান কম বাউন্ড প্রমাণ করার জন্য যোগাযোগ জটিলতা কৌশল সাহায্য করতে পারে: যদি স্থানটি চেয়ে কম হয় তবে সময় চেয়ে কম হয় তাই স্থানের সময় চেয়ে কম হয় । আমরা কি কোনওভাবে স্থানের থেকে মুক্তি পেতে পারি এবং স্থানটি চেয়ে কম হলে সময় স্থান চেয়ে কম কিনা তা প্রদর্শন করতে পারি?

\log n

$\log n$

n^{2}

$n^2$

n^{2} \log n

$n^2 \log n$

\log n

$\log n$

\log n

$\log n$

n^{2}

$n^2$

— কাভেহ

কাগজ কাউন্টিং Quantifiers, উত্তরসূরী সম্পর্ক এবং লগারিদমিক স্পেস , Kousha Etessami দ্বারা প্রমাণ করে যে সমস্যা (যা মূলত চেক করা হয় একটি প্রান্তবিন্দু তার আগে বসেছে একটি প্রান্তবিন্দু একটি outdegree এক গ্রাফে , যে একটি পথ হবে যে ওয়াদা দেয়া হচ্ছে ) কোয়ান্টিফায়ার ফ্রি প্রজেকশনের অধীনে $\mathbf{ORD}$ $s$ $t$ $G$ $\mathsf{L}$

সমস্যা সমস্যা কমাতে দেখা যায় দ্বারা -reductions: একটি দৃষ্টান্ত দেওয়া এর শুধু ডিলিট প্রান্ত থেকে বের এবং আউটপুট অন্যান্য প্রান্ত undirected প্রান্ত যেমন প্রশ্ন হচ্ছে কিনা ফলে গ্রাফে সংযুক্ত। (দ্রষ্টব্য: হ্রাস সম্ভবত আরও সূক্ষ্ম করা যেতে পারে।) $\mathbf{ORD}$ $\mathbf{USTCONN}$ $\mathsf{FO}$ $\langle G,s,t\rangle$ $\mathbf{ORD}$ $t$ $u \rightarrow v$ $\{u,v\}$ $\mathbf{USTCONN}$ $s,t$

— SamiD
সূত্র

ধন্যবাদ! এটি USTCONN এর সম্পূর্ণতা সম্পর্কে আমার চূড়ান্ত মন্তব্যের একটি বিশদ বলে মনে হচ্ছে। তবে, এটি আমার কাছে স্পষ্ট নয় যে ওআরডি থেকে হ্রাসটি সাবলোগারিথমিক স্পেসে করা যেতে পারে, সুতরাং এটি মূল প্রশ্নের উত্তর বলে মনে হয় না, ইউএসটিসিএনএনকে সত্যিকার অর্থে কমপক্ষে লগারিদমিক স্থানের প্রয়োজন হয় তা দেখানোর জন্য। আমি কী মিস করছি?

— আন্দ্রেস সালামন

@ আন্দ্রেসালামন: আপনি ইনপুট প্রতিনিধিত্ব সম্পর্কে থমাসের প্রশ্নটি মিস করছেন, এমনকি যদি এটি সবে জিজ্ঞাসা করা প্রশ্নের সমাধান না করে।

$\:$

$\;\;\;\;$