গ্রাফগুলির বর্ণালি পার্টিশন করার জন্য কাগজপত্রগুলি ক্রেডিট

Question

তাহলে একটি undirected হয় -regular গ্রাফ এবং cardinality ছেদচিহ্ন একটি উপসেট হয় , কল প্রান্ত সম্প্রসারণ এর পরিমাণ$G=(V,E)$$d$$S$$\leq |V|/2$$S$

$\phi(S) := \frac {Edges(S,V-S)}{d\cdot |S|\cdot |V-S|}$

কোথায় এক শেষবিন্দু দিয়ে প্রান্ত সংখ্যা এবং এক শেষবিন্দু । তারপরে এজ প্রসারণ সমস্যাটি হ'ল দিয়ে একটি সেট যা হ্রাস করে । কে একটি অনুকূল সেটটির প্রসারণ কল করুন ।$Edges(A,B)$$A$$B$$S$$|S|\leq |V|/2$$\phi(S)$$\phi(G)$

স্পেকট্রাল পার্টিশনের অ্যালগরিদম এজ সম্প্রসারণ সমস্যার জন্য খোঁজার একটি eigenvector করে কাজ করে এর দ্বিতীয় বৃহত্তম eigenvalue এর , এর সন্নিহিত অবস্থা ম্যাট্রিক্স , এবং তারপর সব `থ্রেশহোল্ড সেট '' বিবেচনা করা ফর্মের all সমস্ত প্রান্তিকের উপর । যদি আমরা ২ কে ম্যাট্রিক্স এর দ্বিতীয় বৃহত্তম হতে পারি , তবে স্পেকট্রাল পার্টিশন অ্যালগরিদমের বিশ্লেষণে দেখা যায় যে অ্যালগোরিদম সন্তুষ্টির দ্বারা পাওয়া সেরা প্রান্তিক সেট সেট করে$x$$A$$G$$S$$\{ v : x(v) \leq t \}$$t$$\lambda_2$$\frac 1d \cdot A$$S_{SP}$

$\phi(S_{SP}) \leq 2\sqrt {\phi(G)}$

যা চেজারের অসমতার অনুসরণ করে

$\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$

এবং

$1-\lambda_2 \leq 2 \phi(G)$

এমন দাবি করার জন্য প্রথম কাগজটি কী? কোন কাগজপত্র ধারণাগুলির জন্য কৃতিত্ব? আমি যা পেয়েছি তা এখানে:

• এন। অ্যালন এবং ভিডি মিলম্যান। , গ্রাফগুলির জন্য অসমতা এবং সুপার , জার্নাল অফ কম্বিনেটরিয়াল থিওরি, সিরিজ বি, 1985, 38 (1): 73-88 $\lambda_1$

  "সরল" চেজার অসমতা এর স্পিরিটে একটি ফলাফল প্রমাণ করুন , তবে প্রান্তের প্রসারণের পরিবর্তে প্রান্তিক প্রসারণের জন্য। চিনে নিন যে প্রান্তের প্রসার এবং ইগেনভ্যালুগুলির মধ্যে সম্পর্ক হ'ল চেগার দ্বারা অধ্যয়ন করা কোনও সমস্যার স্বতন্ত্র সংস্করণ $1-\lambda_2 \leq 2\phi(G)$

  জে চিগার Laplacian এর ক্ষুদ্রতম এগেনালুয়ের জন্য একটি নিম্ন সীমাবদ্ধ। বিশ্লেষণে সমস্যা, 1970

• এন। অ্যালন ইজেনভ্যালু এবং প্রসারক। Combinatorica। 6 (2): 83-96, 1986।

  কঠিন চেজার অসমতার তবে প্রান্তের প্রসারণের পরিবর্তে প্রান্তিক প্রসারণের জন্য ফলাফল প্রমাণ করে। $\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$

• উঃ সিনক্লেয়ার, এম। জেরাম। আনুমানিক গণনা, অভিন্ন প্রজন্ম এবং দ্রুত মার্কভ চেইনের মিশ্রণ। তথ্য এবং গণনা 82: 93-133, 1989 (সম্মেলন সংস্করণ 1987)

  উপরে বর্ণিত হিসাবে চিগার অসমতা প্রমাণ করুন। (তাদের কাগজগুলি সময় বিপরীতমুখী মার্কভ শৃঙ্খলার _যাত্রা_র অধ্যয়ন করে, যা নিয়মিত গ্রাফগুলিতে বিস্তৃতি_র সমান হয়) এই কৌশলগুলির জন্য তারা অ্যালন এবং মিলম্যান এবং অ্যালনের কাজের কৃতিত্ব দেয়। নিয়মিত গ্রাফগুলিতে মিশ্রণের সময় এবং প্রান্তের বিস্তারের মধ্যে সম্পর্কিত আবদ্ধের জন্যও তারা আলডসকে কৃতিত্ব দেয়।

• এম মিহাইল। মার্কভ চেইনের পরিচালনা এবং একত্রিতকরণ - প্রসারকারীদের একত্রিত চিকিত্সা। FOCS 1989, পৃষ্ঠা 526-531

  কাগজের মূল বক্তব্যটি হ'ল এর কৌশলগুলি সময়-বিপরীতমুখী মার্কভ চেইনের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যখন এটি নিয়মিত পুনর্নির্দেশিত গ্রাফগুলিতে প্রয়োগ করা হয় তবে এটি পূর্ববর্তী কাজের তুলনায় একটি সুবিধা রাখে: এটি দেখায় যে কেউ যদি সালিসের সাথে বর্ণালী পার্টিশনগ আলগোরিদিম চালায় if ভেক্টর, এখনও একটি বৈষম্য যেখানে ভেক্টরের রেলেইগ ভাগফল। অ্যালন, মিলম্যান, সিনক্লেয়ার এবং জেরামের যুক্তিগুলির জন্য একটি আসল আইজেনভেেক্টর প্রয়োজন। এটি আনুমানিক ইগেনভেেক্টর ব্যবহার করে দ্রুত বর্ণালী পার্টিশনকারী অ্যালগরিদমগুলির সাথে প্রাসঙ্গিক। $\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda')}$$\lambda'$

প্রমাণ কৌশল হিসাবে ক্রেডিট করা উচিত যে অন্যান্য কাগজপত্র আছে?

গ্রাফ বিভাজন অ্যালগরিদম হিসাবে উপরের ফলাফলগুলির অ্যালগরিদমিক তাত্পর্যটি কখন স্বীকৃত হয়? উপরের কাগজপত্রগুলিতে এ জাতীয় কোনও আলোচনা নেই।

Comments

খুব সামান্য মন্তব্য: আমি দেখেছি এবং মধ্যে প্রান্তের সংখ্যা বোঝায় (সাধারণত যখন কোনও গ্রাফের সর্বাধিক / মিনিট কাটা হয়)। $[A,B]$$A$$B$$[S, \overline{S}]$

— ডেরিক স্টোলি

Answer 1

দেখে মনে হয় যে এই প্রথম ধারণাগুলি (এই বীজগণিত আক্রমণকারী ব্যবহার করে , গ্রাফের দ্বিতীয় ক্ষুদ্রতম গ্রাহক গ্রাফের বিভিন্ন বৈশিষ্ট্যকে আবদ্ধ করার জন্য) গ্রাফিক তত্ত্বের সাথে ফিদলারের চেকোস্লোভাক গাণিতিকের "গ্রাফের বীজগণিত সংযোগ" ছিল জার্নাল। এটি ১৯3৩ সালে প্রায়শই একই সাথে চেজারের কাগজ (১৯ 1970০) হিসাবে প্রকাশিত হয়েছিল, যা বহুগুণ নিয়ে কাজ করে। আমি নিশ্চিত নই যে এই ক্ষেত্রে গ্রাফ এবং বহুগুণের মধ্যে সমান্তরাল পর্যবেক্ষণকারী প্রথম কে ছিলেন। কে কখনও কখনও ফিদলারের নম্বর বলা হয়।$\lambda_2$$\lambda_2$

মজার বিষয় হল, ফিডলারের কাগজের শেষে একটি মন্তব্য রয়েছে, ১৯ 1971১ সাল থেকে একটি গ্রাফ অন এ্যাপারভ্যালিউস অফ দি ল্যাপ্লেসিয়ান শীর্ষক অ্যান্ডারসন এবং মরলি একটি স্বতন্ত্র প্রযুক্তিগত প্রতিবেদনের দিকে ইঙ্গিত করেছেন, যা স্পষ্টতই একই রকম ধারণা ছিল। তবে এটি একই শিরোনাম সহ অ্যান্ডারসন এবং মরলি দ্বারা প্রকাশিত কাগজটি কেবল ১৯৮৫ সালে লিনিয়ার এবং মাল্টলাইনার বীজগণিতগুলিতে প্রকাশিত হয়েছিল।

Answer 2

সেই যুগের কিছু অতিরিক্ত রেফারেন্স আমার মনে আছে:

1) ডায়াকনিস এবং স্ট্রোক, মার্কভ চেইনের ইগেনাল্যুয়ালের জ্যামিতিক সীমা, আনলালস অফ ফলিত সম্ভাব্যতা, 1991; তবে আমার মনে আছে ১৯৯০ সালে কোনও এক সময় প্রিপ্রিন্টে হাত দেওয়া হয়েছিল turn

2) ডডজিউক, পার্থক্য সমীকরণ, আইসোপ্যারিমিট্রিক অসমতা এবং নির্দিষ্ট এলোমেলো পদক্ষেপের ট্রান্সিয়েন্স, আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটির লেনদেন, 1984

এছাড়াও, সেই সময়ে সিনক্লেয়ার এবং জেরামের কাছে একটি গুরুত্বপূর্ণ "অ্যালগরিদমিক সহচর" পত্রিকা ছিল

3) ডায়ার ফ্রিজে কান্নান, উত্তল সংস্থাগুলির ভলিউম আনুষ্ঠানিককরণের জন্য এলোমেলো বহু-কালীন সময়ের অ্যালগরিদম, STOC 89. অবশ্যই, ফলাফলগুলি এখানে এসজে শীর্ষে নির্মিত হয়েছিল।