Numberশ্বরের সংখ্যার একটি ইন্টারেক্টিভ প্রমাণ?

Question

আমি ইদানীং ইন্টারেক্টিভ প্রমাণগুলি সম্পর্কে শিখছি এবং আমি ভাবছিলাম যে পুরো জিনিসটি তাত্ত্বিক কৌতূহল ছাড়া আর কিছুই ছিল না, বা এর কোনও ব্যবহারিক প্রয়োগ রয়েছে কিনা। আমি ভেবেছিলাম যে আমি একটি উদাহরণ দিয়ে শুরু করব যা ঝরনার সময় আমার সাথে ঘটেছিল:

এটি "God'sশ্বরের সংখ্যা" = ২০ এ ইদানীং সংবাদ তৈরি করছে। (রুবিকের কিউব সমাধানের জন্য God'sশ্বরের সংখ্যা হ'ল ন্যূনতম পদক্ষেপ)। যদিও এটি বেশ আকর্ষণীয়, সেখানে কিছুটা মোড় আছে বলে মনে হচ্ছে ... এটি পাঠ্যপুস্তকের কোনও "সাধারণ" প্রমাণ নয়, বহু কালীন সময় যাচাইযোগ্য অর্থে। এই প্রমাণটির স্বতন্ত্রভাবে একটি "ব্রুট ফোর্স" স্বাদ রয়েছে - এর অর্থ হ'ল ডাঃ মরলির ল্যাব-এর লোকেরা এই ঝরঝরে, নিচু বাঁধনের সন্ধানের জন্য গুগলের বিশাল সুপার কম্পিউটারগুলিতে বিলিয়ন-বিলিয়ন কিউবসের সংমিশ্রণ নিয়ে চেষ্টা করেছিল।

যাইহোক, প্রশ্ন: ডঃ মুরলি ডেভিডসন এবং তাঁর দল সত্যনিষ্ঠ যে আমরা কীভাবে নিশ্চিত হতে পারি? ঠিক আছে, তাত্ক্ষণিকভাবে কর্তৃপক্ষ থেকে তর্কটি উইন্ডো থেকে ফেলে দিতে পারে কারণ এটি গাণিতিকভাবে কঠোর নয়। সুস্পষ্ট বিকল্পটি হ'ল উত্স কোডটি যাচাই করে আবার পুরো জিনিসটি চালিয়ে প্রমাণটি পুনরায় যাচাই করা, যা গণনার উত্সগুলির একটি ভয়াবহ বর্জ্য বলে মনে হয়, যারা এই বিষয়ে দৃ mention় বিশ্বাস পোষণ করতে চায় তারা এই সত্যটি উল্লেখ না করে এটি তার নিজের ওয়ার্কস্টেশনে করা দরকার - সত্য সংশয়ের জন্য খুব ক্লান্তিকর এবং অপ্রীতিকর প্রস্তাব osition সুতরাং এটি এক ধরণের অনটোলজিকাল ডিলেমা বলে মনে হয়।

তাই কি আমি এই ঠিক একটি অবস্থা যেখানে আমরা একটি প্রয়োজন ইন্টারেক্টিভ প্রমাণ । গুগলের সুপার কম্পিউটারটি সমস্ত শক্তিশালী তবে ছলনাময় প্রবাদ হতে পারে এবং আমরা সন্দেহজনক, যদি জনসাধারণের মলদ্বার সদস্য না হয় তবে বহুবর্ষীয়ভাবে বেঁধে দেওয়া ভেরিফায়ার। আমরা যদি কোনওভাবে আমাদের "ওরাকল" কে বহুবারের বহু সংখ্যা জিজ্ঞাসা করতে পারি এবং এই নিম্ন সীমা সম্পর্কে নিশ্চিত হতে পারি, তবে আমরা যুক্তিসঙ্গত সন্দেহের বাইরেও যে সত্য তা নিশ্চিত হতে পারি।

সুতরাং সিদ্ধান্তের সমস্যাটি মনে হয় "God's <20" বা নীচে এটি পুনঃস্থাপন করা যেতে পারে (অনানুষ্ঠানিকভাবে)$\Pi_2^p$

রুবিকের কিউবে শুরু হওয়া সমস্ত সংমিশ্রণের জন্য এর জন্য একটি সমাধান রয়েছে যা <= 20 পদক্ষেপ নেয়, যা এটি সমাধান করে।$\alpha$$\beta$

(এটি সঠিক কিনা তা নিশ্চিত নন তবে প্রারম্ভিক কনফিগারেশন এবং একটি সমাধান দেওয়া হলেও এবং উভয় ছোট, এটি কিউবকে প্রকৃত সমাধান করে কিনা তা যাচাই করা সহজ)$\alpha$$\beta$

এবং সিদ্ধান্ত সমস্যার "God'sশ্বরের সংখ্যা 20" হিসাবে পুনরায় করা যেতে পারে

Numberশ্বরের সংখ্যাটি <20 এবং সেখানে রুবিকের ঘনকটির 20 টি পদক্ষেপ গ্রহণের কিছু শুরু সংমিশ্রনের জন্য একটি সমাধান রয়েছে।

সুতরাং সম্ভবত এটির জন্য একটি আইপি [এন] প্রমাণ রয়েছে। (আবারও, আমার কাজগুলি পরীক্ষা করুন)

আমার প্রশ্ন দ্বিগুণ

1. এটি করার কোন আসল উপায় আছে?
2. ইন্টারেক্টিভ প্রমাণগুলির "প্র্যাকটিকাল" ব্যবহারের আর কী উদাহরণ রয়েছে?

Comments

আমি মনে করি আপনার অর্থ " গডের নম্বর" হ'ল রুবিক্স কিউব সমাধান করার জন্য প্রয়োজনীয় সর্বাধিক সংখ্যক চাল। একইভাবে আপনি "এই ঝরঝরে, আঁটসাঁট নীচু আবদ্ধ" যখন আপনি বোঝাচ্ছেন কিছু সংখ্যক বার উল্লেখ করেছেন "উপরের সীমা"।

— রস স্নাইডার

যাইহোক, আপনার প্রশ্নের একটি আংশিক উত্তর। এখানে সম্ভবত সম্পর্কিত একটি প্রশ্ন রয়েছে cstheory.stackexchange.com/questions/2461/… । আপনার প্রথম প্রশ্নের উত্তরটি আমার বোঝার জন্য হ্যাঁ - কেবল প্রোটোকলটি অনুসরণ করুন। তবে এটি আমার বোধগম্যতা যা আসলে ইন্টারেক্টিভ প্রুফ সেটিংয়ে জড়িত তা "ধরা পড়ে না"। জড়িত ধ্রুবকগুলি খুব বেশি কিনা কেউ কি জানেন?

— রস স্নাইডার

@ রোস স্নাইডার: দুঃখিত, আমার ভুল :( সংশোধন করা হয়েছে। আপনার দ্বিতীয় দফার জন্য, হ্যাঁ। তবে আমি মনে করি না যে সমস্যাটি ভেরিফায়ারে বড় ধ্রুবক সহ, তবে "প্রোভার" এর উপর খুব বেশি বোঝা। আইপি [এন] (যেখানে গুগল রয়েছে) এর চেয়ে যাচাইকারীকে অনেক বেশি শক্তিশালী করার প্রয়োজন হবে তবে প্রকৃতপক্ষে প্রক্রিয়াটির জন্য এটি চেয়ে আরও শক্তিশালী হওয়া প্রয়োজন , এটি "অবৈজ্ঞানিক" করে তোলে, আমার ধারণা, আপনি যে লিঙ্কটি পোস্ট করেছিলেন তা ছিল খুব সহায়ক, আপনাকে ধন্যবাদ পি এস পি একটি সি $\Pi_2$$PSPACE$

— gabgoh

Answer 1

... দেখে মনে হচ্ছে সিদ্ধান্তটির সমস্যা "Number সংখ্যা <20" ।$\Pi_2^p$

এটি একটি ইন্টারেক্টিভ প্রমাণ থাকার জন্য যথেষ্ট। আসলে, লন্ড এট আল। বহুবর্ষীয় স্তরের (পিএইচ) প্রতিটি ভাষার টোডোর উপপাদ্য ( ) ব্যবহার করে একটি ইন্টারেক্টিভ প্রমাণ রয়েছে তা প্রমাণিত করে । তারা # কে # পি-সম্পূর্ণ ভাষা পার্মানেন্টে হ্রাস করেছে এবং একটি বীজগণিত পদ্ধতি সরবরাহ করেছে যা ইন্টারেক্টিভভাবে পার্মানেন্ট প্রমাণ করার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। (এটি অত্যন্ত ভুল; আরও তথ্যের জন্য দয়া করে কাগজটি দেখুন)) এল ∈ পি $\rm{PH} \subseteq P^{\#P}$$L\in \rm{PH}$

তাদের কৌশলগুলি ব্যবহার করে শামির প্রমাণ করলেন যে আইপি = পিএসপিএসিই ।

এটি আগে প্রমাণিত হয়েছিল যে সমস্ত আইপির শূন্য-জ্ঞানের প্রমাণ রয়েছে , তাই:

PSPACE- এ সমস্ত ভাষার শূন্য-জ্ঞান ইন্টারেক্টিভ প্রমাণ রয়েছে।

Comments

তবে ইন্টারেক্টিভ প্রমাণ সহ কিছু প্রমাণ করার অর্থ হল পি # পি সমস্যা সমাধান করা ( cstheory.stackexchange.com/questions/2461/… ), সুতরাং যদি আপনি ব্যবহারিক ইন্টারেক্টিভ প্রমাণগুলি সন্ধান করেন তবে এটি তা করবে না। $\Pi_2$$^{\#\mathrm{P}}$

— পিটার শোর

@ পিটার: যদি "ব্যবহারিক" দ্বারা আপনি প্রবাদটি বিপিপি হিসাবে বোঝাচ্ছেন তবে আপনি ঠিক বলেছেন। আসলে, কেবল এনপি ভাষাগুলিতেই এরকম প্রমাণ রয়েছে।

— এমএস দৌস্তি

আমি "ব্যবহারিক" এমন কিছু বোঝাতে চেয়েছিলাম যেখানে প্রবাদটির কাছে number

— পিটার শর

প্রতিক্রিয়াটির জন্য আপনাকে ধন্যবাদ, তবে "প্রাকটিক্যাল" দ্বারা শোর মন্তব্য হিসাবে, আমি এমন কিছু বোঝাচ্ছি যা সম্ভবত বাস্তবায়িত হতে পারে, নীতিগতভাবে সম্ভব নয়। এর সংক্ষিপ্তসার দেখতে, এখানে একটি উদাহরণ "প্রাকটিক্যাল" প্রুফ সিস্টেম যা কোনও প্রমাণ দেয় না। [আমি প্রবাদটি একটি এলোমেলোভাবে কনফিগারেশন give দিয়ে থাকি এবং প্রবাদটি 20 টিরও কম পদক্ষেপে চলার ক্রম দেয় যা এটি সমাধান করে। আমি এটি বেশ কয়েকবার চেষ্টা করে দেখি]] অবশ্যই, এটি কাজ করবে না, তবে এটি যে জিনিসটি আমি সন্ধান করছি তা এটি। $\alpha$

— গাবগোহ

@ সাদেক: এমএ এবং এএম-তে সম্ভবত কিছু সমস্যা হতে পারে তবে আমি এই শ্রেণীর বাইরের এমন কিছু সম্পর্কে অবগত নই যার "ব্যবহারিক" ইন্টারেক্টিভ প্রমাণ রয়েছে।

— পিটার শোর

Answer 2

নির্ধারণ যে $20$ রুবিক্স কিউব গ্রুপের ব্যাস (ঈশ্বরের সংখ্যা) করা হয় $G$ অধীনে অর্ধ চালু Singmaster উৎপাদিত সেট দিয়ে মেট্রিক $s=\langle U, U', U^2, D, D', D^2,\cdots\rangle$ একটি বিস্ময়কর ছিল ফলাফল. আমি যেমন নির্ণয় কত অর্ধ পালা ওঠা পড়ার যেমন ফলো-আপ প্রশ্ন, সম্পর্কে কৌতুহলী $m$ এটা ঘনক্ষেত্র সম্পূর্ণরূপে থেকে "মিশ্র" পেতে নিতে হবে $\epsilon$ অভিন্ন নিশ্চল বিতরণের -close $\pi$ ।

আমি বিশ্বাস করি যে এই ধরনের মেশানো প্রদর্শণ একটি কাটা চিহ্নটা জন্য $n\lt m$ , কিছু কনফিগারেশনের অন্যদের তুলনায় অনেক সম্ভাবনা বেশি, জন্য যেহেতু $n\ge m$ ঘনক্ষেত্র প্রায় সম্পূর্ণরূপে অভিন্ন বিতরণের scrambled হয় $\pi$ কোনও বড় উপসেট, এবং $A\subset G$ এর কনফিগারেশন অপসারণ করা হয়। এমন কোনও মিশ্রণের হৃদয়ে একটি প্রতিশ্রুতি থাকতে পারে যা এই ধরনের কাটা বন্ধ দেখায়। আর্থার-মের্লিন $\mathsf{AM}$ প্রোটোকল তৈরি করতে এই প্রতিশ্রুতিটি কাজে লাগানো যেতে পারে ।

উদাহরণস্বরূপ, এটি লক্ষণীয় $\vert s \vert=18$ এবং $m$ -কে-যাচাই-বাছাই করা মিক্সিং টাইম হিসাবে কল করে, আমি মনে করি আমরা প্রতিশ্রুতি দিতে পারি:

• তাহলে $n\ge m$ সব কিন্তু একটি খুব ছোট সংখ্যার জন্য তারপর, $\epsilon$ , উপাদানের $g\in G$ খুব কাছাকাছি $\frac{18^n}{\vert G \vert}$লেখার উপায়$g$শব্দের যেমন$s$দৈর্ঘ্যের$\le n$, এবং

• যদি $n \lt m$ , তবে অনেক বড় সংখ্যা আছে, $k=\vert A\vert$উপাদানগুলির, $g\in G$ যেখানে $g$ শুধুমাত্র সর্বাধিক 18 এন লেখা যেতে পারে$\frac{18^n}{2 \vert G \vert}$দৈর্ঘ্যের শব্দ হিসাবে উপায়$\le n$।

এখানে আমি $\epsilon$ হিসাবে মনে করি , বলুন, $\frac{1}{10^9}\vert G\vert$, এবং$k$হিসাবে,1বলুন$\frac{1}{10}\vert G\vert$।

স্ট্যান্ডার্ড ইউনিভার্সাল হ্যাশিং ট্রিকস একক বৃত্তাকার আর্থার-মের্লিন প্রমাণ তৈরি করে যে মিশ্রণের সময়টি কমপক্ষে $n$ ।

1. আর্থার একটি র্যান্ডম উপাদান বেছে $g\in G$ , একটি র্যান্ডম হ্যাশ $h$ এর ম্যাপিং শব্দ $G$ আকার একটি সেট সম্মুখের দিকে $\frac{18^n}{\vert G \vert}$, এবং একটি র্যান্ডম ইমেজ$y$এর$h$
2. মেরলিন আর্থারকে n পর্যন্ত দৈর্ঘ্যের $W$ শব্দটি বলে যা কিউবার শুরুর অবস্থানে প্রয়োগ করা হলে, জি এর সমান হয়$n$$g$
3. শব্দ $W$ এছাড়াও সন্তুষ্ট করা আবশ্যক $h(W)=y$ - ইঙ্গিত সেখানে সম্ভবত একটি আছে অনেক দৈর্ঘ্যের শব্দের $\le n$ যে সমান $g$
4. আর্থার এবং মার্লিন পুনরাবৃত্তি হিসাবে প্রয়োজন প্রসারিত

কারণ, আমার মনে হয় যে গোষ্ঠীগুলির জন্য, মিশ্রণের সময়টি কমপক্ষে ব্যাস (God'sশ্বরের সংখ্যা), এটি একটি বৃহত গোষ্ঠীর aশ্বরের সংখ্যাকে আবদ্ধ করার জন্য আর্থার-মের্লিন প্রমাণও সরবরাহ করে।

Comments

এই প্রোটোকলটি কার্যকর করতে মার্লিনের কত শক্তি প্রয়োজন? ব্রুট ফোর্স দ্বারা ব্যাস গণনা করার চেয়ে প্রথম নজরে এটি নির্দিষ্ট শব্দটি খুঁজে পাওয়া শক্তিশালী মনে হয়। (আমি মনে করি যে এই প্রোটোকলটি এমন একজনের দৃষ্টিকোণ থেকে আকর্ষণীয় যে কোনও নির্দিষ্ট মার্কভ চেইন মিশ্রিত হয়েছে - নির্দিষ্ট হ্যাশ মানটির সাথে শব্দটি তৈরি করা দীর্ঘ সময় ধরে চেইন চালনার চেয়ে আরও শক্ত মনে হয় ...)

— লরেঞ্জো নাজাত

@ লোরেঞ্জো নাজত উপরোক্ত বিষয়গুলি বিবেচনা করার জন্য সময় দেওয়ার জন্য ধন্যবাদ প্রকৃতপক্ষে! আমি মনে করি যে প্রদত্ত জি- তে মানচিত্রের শব্দগুলি খুঁজে বের করার জন্য (অভ্যন্তরীণ) এন পি পরীক্ষাগুলি , এবং (বাহ্যিক) ঘনিষ্ঠভাবে লেখার শব্দটি খুঁজে বের করার জন্য ম্যাসলিনের কমপক্ষে ক্ষুদ্রতর শংসাপত্রগুলির সমাধান করার জন্য কমপক্ষে শক্তি প্রয়োজন হতে পারে ( প্রদত্ত Y । কিন্তু এই সাধারণ হতে পারে একটি এম প্রোটোকল যেমন আলোচনা করা হয়েছে, যেমন, এখানে । (অবিরত)$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$g$$y$$\mathsf{AM}$

— এস চিহ্নিত করুন

যাইহোক, এর ব্যাস সন্ধানের অসুবিধার সাথে এটির বিপরীতে করুন । উদাহরণস্বরূপ, God'sশ্বরের নম্বর পরীক্ষার জন্য আমি বিশ্বাস করি যে একজনকে অবশ্যই সি ও এন পি প্রুফের একটি ক্ষতিকারক সংখ্যা করতে হবে । (বাইরের) সূচকীয় সব উপাদানের উপরে বাহির হবে জি উপাদানের জন্য গ্রাম থাকার (ভিতরের) গ ণ এন পি যে দেখাচ্ছে টেস্ট ছ একটি শব্দ চেয়ে ছোট হিসেবে লেখা যাবে না Δ । (বিরূদ্ধে)। $G$$\mathsf{coNP}$$G$$g$$\mathsf{coNP}$$g$$\Delta$

— এস চিহ্নিত করুন

আপনি যেমনটি ইঙ্গিত করেছেন, পরিষ্কারভাবে "দীর্ঘ পর্যাপ্ত" সময়ের জন্য কেলে গ্রাফ ধরে হাঁটানো বেশ সহজ, তবে তবুও উপরের সাথে আর্থারটির এখনও মেরিলিনকে সরবরাহ করার জন্য এলোমেলোভাবে , h , এবং y আঁকতে হবে এবং তুচ্ছভাবে হতে পারে মার্লিন তাকে যা দেয় তা যাচাই করুন। (সমাপ্ত)$g$$h$$y$

— এস চিহ্নিত করুন