টিএফএনপি সমস্যাগুলি শক্ত-গড়-গড় যে কোনও এলোমেলো ওরাকল পরিবর্তন করতে পারে?

আমি ক্রিপ্টোগ্রাফিতে এই প্রশ্নটি দেখার
পর থেকে আমি বিভিন্ন সময় নিম্নলিখিত প্রশ্নটি নিয়ে ভাবছিলাম ।

প্রশ্ন

দিন $R$ একটি TFNP সম্পর্ক হতে। একটি এলোমেলো ওরাকল পি / পলি
ভাঙতে সহায়তা করতে পারে $R$ অ-তুচ্ছ সম্ভাবনার সাথে? আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, $\newcommand{\Pr}{\operatorname{Pr}} \newcommand{\E}{\operatorname{\mathbb{E}}} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\Good}{\mathsf{Good}}$

নেই

সব জন্য পি / বহু আলগোরিদিম , হয় তুচ্ছ $A$ $\Pr_x [R(x, A(x))]$

অগত্যা যে বোঝাতে

জন্য প্রায় সব ণ racles , সব পি / বহু ওরাকল-আলগোরিদিম জন্য , তুচ্ছ হয় $\O$ $A$ $\Pr_x [R(x, A^\O(x))]$

বিকল্প গঠন

ওরাকলগুলির প্রাসঙ্গিক সেটটি হ'ল (এইভাবে পরিমাপযোগ্য), তাই সংকোচকারী এবং কোলমোগোরভের শূন্য-এক আইন প্রয়োগ করে নিম্নলিখিত সূত্রটি মূলটির সমতুল্য। $G_{\delta\sigma}$

নেই

জন্য প্রায় সব ণ racles , অস্তিত্ব আছে একটি পি / বহু ওরাকল-অ্যালগরিদম যেমন যে নয় তুচ্ছ $\O$
$A$ $\Pr_x [R(x,A^\O(x))]$

অগত্যা যে বোঝাতে

এখানে একটি পি / পলি অ্যালগরিদম রয়েছে যা নগণ্য নয় $A$ $\Pr_x [R(x,A(x))]$

ইউনিফর্ম কেস

ইউনিফর্ম সংস্করণের জন্য এখানে একটি প্রমাণ রয়েছে :

শুধুমাত্র countably অধিকের পিপিটি ওরাকল-আলগোরিদিম, তাই নাল [আদর্শ] [8] এর ধর্তব্য additivity দ্বারা আছে, সেখানে একটি ppt আলগোরিদিম যেমন যে একটি অ জন্য নাল ওরাকেল সেট , অবহেলিত। যাক যেমন একটি ওরাকল-অ্যালগরিদম হও। $A$ $\O$
$\Pr_x [R(x,A^\O(x))]$ $B$

একইভাবে, দিন একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যেমন হতে পারে, ওরাকেল একটি অ-নাল সেট , অন্তত অসীম-প্রায়ই হয় , যেখানে দৈর্ঘ্য। এর contrapositive দ্বারা Borel-Cantelli , অসীম। $c$ $\O$
$\Pr_x[R(x,B^\O(x))]$ $n^{-c}$ $n$
$\sum_{n=0}^{\infty} \Pr_{\O} \left[ n^{-c} \leq \Pr_{x\in\{0,1\}^n}[R(x,B^\O(x))] \right]$

দ্বারা তুলনা পরীক্ষা , অসীম প্রায়ই । $\Pr_{\O} \left[ n^{-c} \leq \Pr_{x\in \{0,1\}^n}[R(x,B^\O(x)) \right] \geq n^{-2}$

যাক পিপিটি অ্যালগরিদম যা [12] এবং রান [ওরাকল simulates] হতে যে কৃত্রিম-ওরাকল সঙ্গে। $S$ $B$

ফিক্স দিন ওরাকেল সেট হতে যেমন যে । $n$ $\Good$ $\O$ $n^{-c} \leq \Pr_{x\in\{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))]$

যদি না হয় তবে । $\Good$

\begin{matrix} \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot n^{- c} \\ = \\ \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot E_{O} [n^{- c}] \\ \leq \\ \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))] ∣ O \in G o o d] \\ = \\ E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [O \in G o o d and R (x, B^{O} (x))]] \\ \leq \\ E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))]] \\ = \\ \Pr_{O, x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))] \\ = \\ \Pr_{x \in {0, 1}^{n}, O} [R (x, B^{O} (x))] \\ = \\ E_{x \in {0, 1}^{n}} [\Pr_{O} [R (x, B^{O} (x))]] \\ = \\ E_{x \in {0, 1}^{n}} [\Pr [R (x, S (x))]] \\ = \\ \Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, S (x))] \end{matrix}

$\begin{matrix} \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot n^{-c} \\ = \\ \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot \E_{\O}[n^{-c}] \\ \leq \\ \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot \E_{\O} \left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \mid \O \in \Good \right] \\ = \\ \E_{\O}\left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [\O \in \Good \text{ and } R(x,B^\O(x))] \right] \\ \leq \\ \E_{\O}\left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \right] \\ = \\ \Pr_{\O, x\in\{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \\ = \\ \Pr_{x\in \{0,1\}^n, \O} [R(x,B^\O(x))] \\ = \\ \E_{x\in \{0,1\}^n} \left[ \Pr_{\O}[R(x,B^\O(x))] \right] \\ = \\ \E_{x\in \{0,1\}^n} \left[ \Pr[R(x,S(x))] \right] \\ = \\ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,S(x))] \end{matrix}$

যেহেতু অসীমভাবে প্রায়শই, তুচ্ছ নয়। $\Pr_{\O} [\O\in \Good] \geq n^{-2}$ $\Pr_x[R(x,S(x))]$

সুতরাং ইউনিফর্ম সংস্করণ ধারণ করে। প্রমাণটি সমালোচনামূলকভাবে এই সত্যটি ব্যবহার করে যে এখানে
কেবল প্রচুর পরিমাণে পিপিটি ওরাকল-অ্যালগোরিদম রয়েছে। এই ধারণাটি
অ-ইউনিফর্মের ক্ষেত্রে কার্যকর হয় না, যেহেতু অবিচ্ছিন্নভাবে অনেকগুলি P / Poly ওরাকল-অ্যালগোরিদম রয়েছে।

— সম্প্রদায়
সূত্র

আমি মনে করি না এটি সত্যই ওরাকলস সম্পর্কে একটি প্রশ্ন। যেহেতু স্বতন্ত্র , আপনি কেবল একটি এলোমেলো স্ট্রিং অ্যাক্সেস দিতে পারেন। তাহলে প্রশ্নটি হল: এলোমেলোভাবে কি বহু-আকারের সার্কিটগুলির শক্তি বাড়ায়? এর উত্তরটি "না", যেহেতু যদি একটি রেন্ডম স্ট্রিংটিতে ভালভাবে অ্যাক্সেস দেয়, তবে গড় গড় যুক্তি অনুসারে, এলোমেলো স্ট্রিংয়ের একটি নির্দিষ্ট সেটিংস থাকতে পারে যার সাহায্যে ভাল করতে পারে এবং তারপরে আমরা সম্ভবত ঠিক করতে পারি স্ট্রিংটি সার্কিটে প্রবেশ করুন।

O

$\mathcal{O}$

R

$R$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— অ্যাডাম স্মিথ

@AdamSmith: "যেহেতু স্বাধীন , আপনি হিসাবে ভাল শুধু দিতে পারে অনুভূতি হয় একটি র্যান্ডম স্ট্রিং অ্যাক্সেস", কিন্তু আমি এটা প্রমাণ পরিণত কোন উপায় দেখি না।

O

$\mathcal{O}$

R

$R$

A

$A$

@ অ্যাডাম, আরও একটি পরিমাণ রয়েছে যা গুরুত্বপূর্ণ। আমি প্রত্যাখ্যান করা সহজতর বলে মনে করি: এটি কি সম্ভব যে প্রায় প্রতিটি ওরাকালের জন্যই এমন একটি নন-ইউনিফর্ম বিরোধী উপস্থিত থাকে যা অনুসন্ধানের সমস্যাটি ভাঙ্গার জন্য ওরাকলটি ব্যবহার করতে পারে?

— কাভেহ

আমি দেখি. আমি আলাদা প্রশ্নের উত্তর দিচ্ছিলাম। বিভ্রান্তির জন্য দুঃখিত.

— অ্যাডাম স্মিথ

@ ডমোটরপ: তাদের এখনই ঠিক করা উচিত। (আমার সেরা অনুমান কেন যে ঘটেছে সংখ্যাযুক্ত লিঙ্ক ইন-লাইন লিঙ্ক বদলে ব্যবহার করুন।)

$\hspace{1.05 in}$

আমার শিরোনাম না, এবং আমার প্রশ্নের শরীরের হ্যাঁ। এটি প্রকৃতপক্ষে
প্রতিটি বহু-দৈর্ঘ্যের গেমকে অবিলম্বে সাধারণ করে তোলে যা বিরোধীদের কোড ব্যবহার করে না ।

লক্ষ্য করুন আমি ব্যবহার হতে হবে শত্রুদের বদলে , তাই হিসাবে আপ মেলে উপপাদ্য 2 এর স্বরলিপি। $C$ $A$

ধরে নিন যে প্রায় সমস্ত for এর জন্য একটি পি / পলি অ্যালগরিদম রয়েছে যা এমন $\mathcal{O}$
$C$ $\operatorname{Pr}_x\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ অবহেলিত।

প্রায় সমস্ত ওরাকল জন্য $\mathcal{O}$ , অস্তিত্ব আছে একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ঘ যেমন যে
সবচেয়ে ঘ এ আকারের সার্কিট একটা ক্রম অস্তিত্ব আছে + N ^ঘ যেমন যে
$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ অসীম-প্রায়শই এর চেয়ে বড় $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^d\hspace{-0.02 in}\right)$ ।

গণনাযোগ্য অ্যাডিটিভিটি দ্বারা, সেখানে ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যার উপস্থিত থাকে যা ওরাকলসের একটি নন-নাল সেট জন্য $\mathcal{O}$ সেখানে সবচেয়ে ঘ এ আকারের সার্কিট একটা ক্রম বিদ্যমান + N ^ঘ যেমন যে
$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ অসীম-প্রায়শই এর চেয়ে বড় $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^d\hspace{-0.02 in}\right)$ ।

আসুন j এর মতো বিজ্ঞাপন হতে দিন এবং জেডটিকে (অগত্যা দক্ষ নয়) ওরাকল-অ্যালগোরিদম হতে দিন যা এনকে
ইনপুট হিসাবে গ্রহণ করে এবং সর্বাধিক জে + এন এর অভিধানের কমপক্ষে কমপক্ষে ওরাকল-সার্কিটকে আউটপুট দেয় uts $^{\hspace{.03 in}j}$
যে সর্বাধিক $\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ । এর contrapositive দ্বারা Borel-Cantelli , $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right) \: < \: \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\hspace{-0.05 in}\bigg[\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.03 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right) < \operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.04 in}x,\hspace{-0.04 in}\left(z^{\mathcal{O}}\right)^{\hspace{-0.04 in}\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.05 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]\hspace{-0.06 in}\bigg] \;\;\;$ অসীম জন্য অনেক এন।

যেমন এন জন্য,

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; = \; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right) \cdot \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}\hspace{.02 in},\hspace{.04 in}x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[R\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.04 in}x,\hspace{-0.04 in}\left(z^{\mathcal{O}}\right)^{\hspace{-0.04 in}\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.05 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

।

দিন $A$ ওরাকল-অ্যালগোরিদম হতে 2 ইনপুট লাগে, যার মধ্যে একটি $n$ , এবং নিম্নলিখিত হিসাবে করে:

একটি এলোমেলো এন-বিট স্ট্রিং চয়ন করুন $x$ ।
[অন্য ইনপুটটিকে ওরাকল-সার্কিট হিসাবে পার্স করার চেষ্টা করুন এবং এন-বিট স্ট্রিংয়ে সেই ওরাকল-সার্কিটটি চালান]।
যদি এটি সফল হয় এবং ওরাকল-সার্কিটের আউটপুট $y$ আর (x, y) কে সন্তুষ্ট করে তারপরে আউটপুট 1, অন্য আউটপুট 0।

(নোট করুন $A$ হয় না শুধু প্রতিদ্বন্দ্বী।)
অসীম অনেক n জন্য, $\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \:\:\:\:$ । থিওরেম 2 এর
মতো পি হতে দিন এবং সেট করুন $\;\;\; f \: = \: 2\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}n^{(2+j)\cdot 2} \:\:\:\:$ ।

দ্বারা উপপাদ্য 2 , একটি ওরাকল ফাংশনের বিদ্যমান $\mathcal{S}$ যেমন যে সাথে $\mathcal{P}$ যে উপপাদ্য হিসাবে,
যদি $\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ তারপর

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)-\left(\hspace{-0.04 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{(2+j)\cdot 2}\right)\hspace{-0.04 in}\right)}$
$= \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.06 in} \cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{(2+j)\cdot 2}\right)\hspace{-0.04 in}\right)} \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}f\right)}$
$< \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right]-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}f\right)} \; \leq \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{P}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ ।

যেমন এন এর জন্য $\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ :

বিশেষত, আছে $\big[$ একটি ওরাকল-সার্কিট $C$ সর্বাধিক j + n আকারের $^{\hspace{.03 in}j}\big]$ এবং
$\big[$ সর্বাধিক এফ এর দৈর্ঘ্যের একটি অ্যাসাইনমেন্ট $\big]$ যেমন যে ইনপুট এবং presampling সঙ্গে,
$A$ আউটপুটটিংয়ের সম্ভাবনা $1$ এর চেয়ে বড় is $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ ।
সর্বাধিক জে + এন এর আকারের ওরাকল-সার্কিট $^{\hspace{.03 in}j}$ পলি (এন) বিট দিয়ে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, সুতরাং পি এর জন্য
উপরে এন-এর একটি বহুপদী দ্বারা আবদ্ধ হয়, যার অর্থ চ এর উপরেও এন-এ একটি বহুপদী দ্বারা আবদ্ধ থাকে।
নির্মাণ করে $A$ , তার মানে বেশিরভাগ জে + এন-তে আকারের ওরাকল-সার্কিট রয়েছে $^{\hspace{.03 in}j}$ এবং একটি
বহুপাক্ষিক দৈর্ঘ্যের অ্যাসাইনমেন্ট যেমন প্রিম্পলিংয়ের সাথে যখন চালানো হয়, তখন সমাধানগুলির সন্ধানের সম্ভাব্যতা সার্কিটের চেয়ে বেশি $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ । যেহেতু এই জাতীয় সার্কিটগুলি j + n এর চেয়ে দীর্ঘতর প্রশ্ন করতে পারে না $^{\hspace{.03 in}j}$ বিটস, প্র্যাম্পলড ইনপুটগুলির চেয়ে বেশি সময় উপেক্ষা করা যায় না, সুতরাং এ জাতীয় প্রম্পলিং দক্ষতার সাথে এবং নিখুঁতভাবে একটি এলোমেলো ওরাকল এবং পলি (এন) হার্ড-কোডড বিট দিয়ে সিমুলেটেড করা যায়। এর অর্থ রয়েছে যে বহুবর্ষীয়-আকারের ওরাকল সার্কিটগুলি যেমন একটি স্ট্যান্ডার্ড এলোমেলো ওরাকল সহ, সার্কিটগুলির সমাধান খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা এর চেয়ে বেশি $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ । এ জাতীয় এলোমেলো ওরাকল কেবলমাত্র সাধারণ এলোমেলো বিটগুলির সাথে দক্ষতার সাথে এবং নিখুঁতভাবে সিমুলেটেড হতে পারে, সুতরাং বহুবর্ষীয় আকারের সম্ভাব্য নন- ওরাকল সার্কিট রয়েছে যার সমাধান সন্ধানের সম্ভাবনা এর চেয়ে বেশি $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ । পরিবর্তে, হার্ড-কোডিং অপটিক্যাল এলোমেলোভাবে, বহুতল আকারের ডিটারমিনিস্টিক (নন-ওরাকল) সার্কিট রয়েছে যার সমাধান খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা (এক্স-এর পছন্দের চেয়ে বেশি) বেশি $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ ।

এই উত্তরটিতে আগে যেমন দেখানো হয়েছে, সেখানে অসীম অনেকগুলি এন রয়েছে $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ , $\;\;\;$ সুতরাং সেখানে একটি বহুপদী আছে

যার অনুক্রমটি এন-তম এন্ট্রি হল অভিধানিকভাবে কমপক্ষে
[সার্কিট সি এর উপরে বহুপাখি দ্বারা আবদ্ধ] যা সর্বোচ্চ $\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.04 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

একটি পি / পলি অ্যালগরিদম যার সমাধান খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা (এক্স নির্বাচনের চেয়ে বেশি) অ-উপেক্ষিত।

সুতরাং আমার প্রশ্নের শরীরের অন্তর্ভুক্তটি সর্বদা ধারণ করে।

অন্যান্য বহু-বহু-দৈর্ঘ্যের গেমগুলির জন্য একই প্রভাব পেতে,
এই প্রমাণটির পরিবর্তন করুন $A$ এটির জন্য ইনপুটটি ওরাকল-সার্কিটগুলি গেমটি খেলতে পারে।