2D আয়তক্ষেত্র রঙ করার সমস্যাটির জন্য কি ধ্রুবক ফ্যাক্টর আনুমানিক আলগোরিদম আছে?

Question

আমরা এখানে যে সমস্যাটি বিবেচনা করি তা হ'ল সুপরিচিত বিরতি রঙিন সমস্যাটির প্রসার। অন্তরগুলির পরিবর্তে আমরা অক্ষগুলির সাথে সমান্তরালভাবে থাকা আয়তক্ষেত্রগুলি বিবেচনা করি। উদ্দেশ্যটি হ'ল ন্যূনতম সংখ্যার রঙ ব্যবহার করে আয়তক্ষেত্রগুলিকে রঙ করা যাতে কোনও দুটি ওভারল্যাপিং আয়তক্ষেত্রকে বিভিন্ন রঙ বরাদ্দ করা হয়।

এই সমস্যাটি এনপি-হার্ড হিসাবে পরিচিত। জিন হান, কাজুও ইওয়ামা, রল্ফ ক্লেইন এবং আন্দ্রেজেজ লিঙ্গাস (বক্স গ্রাফগুলিতে সর্বাধিক স্বতন্ত্র সেট এবং ন্যূনতম ভার্টেক্স রঙিনকরণের জন্য) একটি ও (লগ এন) আনুমানিকভাবে দিয়েছেন। আরও ভাল অনুমানের অ্যালগরিদম আছে?

আমরা জানি যে ব্যবধানে বর্ণের সমস্যাটি প্রথম বাম অ্যালগরিদম দ্বারা তাদের বাম প্রান্ত অনুযায়ী বিরতি বিবেচনা করে বহুবচনীয় সময়ে সমাধান করা হয়। যাইহোক, প্রথম-ফিট অনলাইন অ্যালগরিদমটি 8-প্রতিযোগিতামূলক হয় যখন অন্তরগুলি স্বেচ্ছামূলক ক্রমে উপস্থিত হয়।

আয়তক্ষেত্র রঙিন সমস্যার জন্য প্রথম-ফিট অ্যালগরিদমের কার্যকারিতা কী? যখন আয়তক্ষেত্রগুলি তাদের বাম (উল্লম্ব) দিক অনুযায়ী প্রদর্শিত হয় তখন প্রথম-ফিট অ্যালগরিদমের কী হবে?

এই কোন সাহায্যের জন্য অগ্রিম ধন্যবাদ।

Answer 1

অন্য উত্তরের পরামর্শ অনুসারে, bound নীচে আবদ্ধ হওয়া খুব বেশি কঠিন নয়। আসুন আমরা একটি অনুভূমিক রেখা সহ ঝাপটানো নীচে আপ করি। ধারণাটি এমন উপাদানগুলি তৈরি করা দরকার যাতে বৃহত্তর এবং বৃহত্তর সংখ্যক রঙের প্রয়োজন হয়। বিশেষ করে, দিন রঙ দিয়ে একটি শীর্ষ আয়তক্ষেত্র আছে একটি গ্যাজেট হতে (অর্থাত, প্রথম হইয়া এটা রং নির্ধারণ করবে )। স্পষ্টতই, কেবল একটি একক আয়তক্ষেত্র। উপাদানটি হ'ল$\Omega(\log n)$$C(i)$$i$$i$$C(1)$$C(2)$

সাধারণভাবে, উপাদান $C(k)$ নীচে ঝুলন্ত $C(1), \ldots, C(k-1)$ সহ একটি আয়তক্ষেত্র :

এখন, এটি যাচাই করা সহজ যে নীচের দিক থেকে অনুভূমিকভাবে ঝাপটানো একটি ফিট-প্রথম অ্যালগরিদম সি ( কে ) রঙে $k$ রং ব্যবহার করবে । তবে, সি ( কে ) এর ছেদ গ্রাফটি কেবল একটি গাছ, এবং এটি 2 টি রঙ দিয়ে রঙিন হতে পারে । এখন, সি ( কে ) কাঠামোর মধ্যে কেবল একটি ফিবোনাচি গাছ, এবং এর মতো নোডের সংখ্যা 2 ও ( কে ) , যা Ω ( লগ এন ) ফাঁক বোঝায় ।$C(k)$$C(k)$$2$$C(k)$$2^{O(k)}$$\Omega( \log n )$

যেহেতু একটি সরল অ্যালগরিদম রয়েছে যা $O( \log n)$ এর সাথে আয়তক্ষেত্রের বর্ণের সংমিশ্রণ লাভ করে, এটি শক্ত হতে পারে। আমি জানি না।

Answer 2

আমি যতদূর জানি, এটি জানা যায়নি। অ্যাসপ্লান্ড এবং গ্রুনবাউমের একটি পুরানো কাগজ (1960ish) দেখায় যে চক্রের সংখ্যাটি যদি 2 হয় তবে ক্রোম্যাটিক সংখ্যাটি সর্বাধিক 6 (এবং এটি শক্ত) হয়। আমি মনে করি যে প্রথম-ফিটের জন্য ফাঁকগুলি যে কোনও ধ্রুবকের চেয়ে বড়, উদাহরণগুলি সহ সহজেই আসা উচিত, যেহেতু গাছগুলিকে আয়তক্ষেত্রের ছেদকৃত গ্রাফ দ্বারা উপস্থাপন করা যেতে পারে এবং গাছগুলিকে যে কোনও অনলাইন অ্যালগরিদমের দ্বারা লগ এন রঙের প্রয়োজন হয়।

Answer 3

আমি মনে করি অ্যাসপ্লানড, গ্রুনবাউম পেপার বা পরবর্তী কাগজপত্রগুলিও দেখায় যে আয়তক্ষেত্রের ছেদ গ্রাফের ক্রোম্যাটিক সংখ্যাটি সর্বাধিক ও (কে ^ 2), যেখানে k সর্বাধিক চক্রের আকার ... তবে, এখানে কিছু জানা যায়নি রঙের কে সংখ্যায় লিনিয়ারের চেয়ে বেশি প্রয়োজন এমন উদাহরণ examples