পিএ এবং কিছু ধরণের তত্ত্বের আপেক্ষিক ধারাবাহিকতা

এক ধরণের তত্ত্বের জন্য, ধারাবাহিকতায়, আমি বোঝাতে চাইছি এটির মধ্যে এমন একটি প্রকার রয়েছে যা জনবসতিপূর্ণ নয়। ল্যামডা ঘনক্ষেত্র দৃঢ় নিয়মমাফিককরণ থেকে, সিস্টেম অনুসরণ $F$ এবং সিস্টেম $F_\omega$ সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়। এমএলটিটি + ইনডাকটিভ টাইপগুলিতেও একটি নরমালাইজেশন প্রুফ রয়েছে। যাইহোক, এই সমস্তগুলি পিএর মডেল তৈরির জন্য যথেষ্ট শক্তিশালী হওয়া উচিত, যা প্রমাণ করে যে এই তত্ত্বগুলি থেকে পিএ সুসংগত। সিস্টেম $F$ হয় বেশ শক্তিশালী তাই আমি এটি একটি মডেল চার্চ সংখ্যাসমূহ ব্যবহার গঠন করে পিএ এর দৃঢ়তা প্রমাণ করতে বলে আশা করা। এমএলটিটি + আইটির একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা প্রেরণাদায়ক টাইপ রয়েছে এবং পাশাপাশি এটি ধারাবাহিকতা প্রমাণ করা উচিত।

এটি সমস্তই বোঝায় যে এই তত্ত্বগুলির জন্য সাধারণীকরণের প্রমাণগুলি পিএতে অভ্যন্তরীণ করা যায় না। তাই:

সিস্টেম $F$ , সিস্টেম $F_\omega$ , এবং এমএলটিটি + আইটি আসলে পিএর ধারাবাহিকতা প্রমাণ করতে পারে?
যদি তারা করতে পারেন, metatheory সিস্টেমের জন্য নিয়মমাফিককরণ প্রমাণ করার প্রয়োজন হয় তাহলে কি $F$ , $F_\omega$ এবং MLTT এটা?
সাধারণভাবে টাইপ তত্ত্বগুলির প্রুফ তত্ত্বের জন্য, বা বিশেষত এই ধরণের কিছু তত্ত্বগুলির জন্য কি ভাল রেফারেন্স রয়েছে?

type-theory proof-theory

— fhyve
সূত্র

সিস্টেম এফ এ আপনি আপনার চার্চের সংখ্যার জন্য অন্তর্ভুক্তির নীতি পাবেন না যাতে তারা সমীকরণের বাইরে থাকে।

— গ্যালাইজ

আপনার প্রশ্নের 1 এর সংক্ষিপ্ত উত্তর হ'ল না , তবে সম্ভবত সূক্ষ্ম কারণে।

প্রথম সব, সিস্টেম এবং গাণিতিক প্রথম-অর্ডার তত্ত্ব প্রকাশ করতে পারে না , এবং এমনকি তার কম দৃঢ়তা । $F$ $F_\omega$ $\mathrm{PA}$

দ্বিতীয়ত, এবং এটি সত্যই অবাক করার বিষয়, আসলে সেই দুটি সিস্টেমেরই ধারাবাহিকতা প্রমাণ করতে পারে! এই তথাকথিত ব্যবহার করা যাবে প্রমাণ-অপ্রাসঙ্গিক মডেল , যা সেট হিসাবে ব্যাখ্যা করে ধরনের , যেখানে একটি খালি টাইপ বাসিন্দা প্রতিনিধিত্বমূলক কিছু ডামি উপাদান। তারপর অপারেশন জন্য সহজ নিয়ম নিচে লিখতে পারেন এবং বরং সহজেই ধরনের সিস্টেমের জন্য একটি মডেল পেতে , যা টাইপ দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয় $\mathrm{PA}$ $\in\{\varnothing,\{\bullet\}\}$ $\bullet$ $\rightarrow$ $\forall$ $F$ $\forall X.X$ $\varnothing$ । এক জন্য একটি অনুরূপ জিনিস করতে পারেন আরো সসীম ফাংশন স্পেস হিসাবে উচ্চতর ধরণের ব্যাখ্যা করা পরোয়া একটু ব্যবহার করে,। $F_\omega$

এখানে একটি আপাত প্যারাডক্স রয়েছে, যেখানে এই আপাতদৃষ্টিতে শক্তিশালী সিস্টেমগুলির ধারাবাহিকতা প্রমাণ করতে পারে, তবে (যেমন আমি একটি মুহুর্তে দেখাব) সাধারণীকরণ নয়। $\mathrm{PA}$

$p$ $\phi$ $p\Vdash \phi$ $\phi$ $p$ $p\not\Vdash\bot$

উপপাদ্য: যদি 2 য় অর্ডার গাণিতিক গাণিতিক উপপাদ্য হয় , তবে সিস্টেম কিছু বদ্ধ শব্দ রয়েছে যা $\phi$ $\mathrm{PA}_2$ $t$ $F$
$t ⊩ ϕ$ $t\Vdash\phi$

এই উপপাদ্য প্রমাণিত হতে পারে , এবং তাই আমরা আছে গোডেলের যুক্তি প্রযোজ্য এবং (এবং সিস্টেম স্বাভাবিককরণ প্রমাণ করতে পারে না )। বিপরীত প্রভাবও ধরে রেখেছে এটি লক্ষণীয় দরকারী, সুতরাং সিস্টেম স্বাভাবিকীকরণ প্রমাণ করার জন্য আমাদের প্রুফ-তাত্ত্বিক শক্তির যথাযথ বৈশিষ্ট্য রয়েছে । $\mathrm{PA}$

P A ⊢ F is normalizing \Rightarrow {P A}_{2} is consistent

$\mathrm{PA}\vdash F\mbox{ is normalizing}\Rightarrow\mbox{$\mathrm{PA}_2$ is consistent}$

P A

$\mathrm{PA}$

F

$F$

F

$F$

সিস্টেম জন্য একই রকম গল্প রয়েছে , যা আমি বিশ্বাস করি উচ্চতর পাটিগণিত গাণিতিক । $F_\omega$ $\mathrm{PA}_\omega$

অবশেষে, আমাদের কাছে এমএলটিটি-র প্রবণতাজনক প্রকারের কৃপণ মামলা রয়েছে। এখানে আবার কিছুটা সূক্ষ্ম সমস্যা দেখা দেয়। অবশ্যই এখানে আমরা of এর ধারাবাহিকতা প্রকাশ করতে পারি , সুতরাং এটি কোনও সমস্যা নয় এবং কোনও প্রমাণ-অপ্রাসঙ্গিক মডেল নেই, কারণ আমরা প্রমাণ করতে পারি যে টাইপ এর কমপক্ষে 2 টি উপাদান রয়েছে (একটি স্বতন্ত্র উপাদানগুলির অসীম পরিমাণ) $\mathrm{PA}$ $\mathrm{Nat}$

তবে আমরা উচ্চতর-অর্ডার intuitionistic তত্ত্ব বিস্ময়কর সত্য মধ্যে চালানো: , Heyting পাটিগণিত উচ্চতর-অর্ডার সংস্করণ রক্ষণশীল উপর ! বিশেষত, আমরা of এর সামঞ্জস্যতা প্রমাণ করতে পারি না , (যা that এর সমান )। এর স্বজ্ঞাত কারণ হ'ল স্বজ্ঞাত ফাংশন স্পেসগুলি আপনাকে এর স্বেচ্ছাসেবী সাবসেটের উপরে পরিমাণ নির্ধারণ করতে দেয় না , যেহেতু সমস্ত নির্ধারিত ফাংশনগুলি অবশ্যই গণনাযোগ্য হতে পারে। $\mathrm{HA}_\omega$ $\mathrm{HA}$ $\mathrm{PA}$ $\mathrm{HA}$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$

বিশেষত, আমি মনে করি না আপনি যদি ইউনিভার্স ব্যতীত কেবলমাত্র এমএলটিটিতে প্রাকৃতিক সংখ্যা যুক্ত করেন তবে আপনি cons এর ধারাবাহিকতা প্রমাণ করতে পারবেন । আমি বিশ্বাস করি যেহেতু মহাবিশ্ব বা "শক্তিশালী" ইন্ডুকিটিভ টাইপগুলি (অর্ডিনাল টাইপগুলি) যুক্ত করা আপনাকে যথেষ্ট শক্তি দেবে তবে আমি ভয় করি যে এর পক্ষে আমার কোনও রেফারেন্স নেই। বিশ্বজগতের সঙ্গে, যুক্তি বেশ সহজ যদিও মনে হয়, যেহেতু আপনি যথেষ্ট সেট তত্ত্বের একটি মডেল তৈরি করতে হবে । $\mathrm{PA}$ $\mathrm{HA}$

পরিশেষে, টাইপ সিস্টেমগুলির প্রুফ তত্ত্বের জন্য রেফারেন্স: এখানে আমি মনে করি সাহিত্যের সত্যিই একটি ফাঁক আছে, এবং আমি এই সমস্ত বিষয়গুলির একটি পরিষ্কার চিকিত্সা উপভোগ করব (আসলে, আমি এটি কোনও দিন নিজেই এটি লেখার স্বপ্ন দেখি!)। এর মধ্যে:

প্রুফ-অপ্রাসঙ্গিক মডেলটি এখানে মিকুয়েল এবং ওয়ার্নার ব্যাখ্যা করেছেন , যদিও তারা এটি নির্মাণের ক্যালকুলাসের জন্য করেন, যা কিছুটা জটিল করে তোলে।
উপলব্ধিযোগ্যতার আর্গুমেন্টটি জিরাার্ড , টেলর এবং ল্যাফন্টের ক্লাসিক প্রুফ এবং প্রকারভেদে স্কেচ করা হয়েছে । আমি মনে করি তারা প্রুফ-অপ্রাসঙ্গিক মডেল এবং পাশাপাশি দরকারী জিনিসগুলির একটি বিশাল অঙ্কনও স্কেচ করে। এটি সম্ভবত প্রথম রেফারেন্স।
হাই-অর্ডার হেইটিং পাথের গাণিতিকের সংরক্ষণযোগ্যতা যুক্তি ট্রোলস্ট্র্রা এবং ভ্যান ড্যালেনের দ্বারা গণিতের কনস্ট্রাকটিভিজমের অধরা দ্বিতীয় খণ্ডে পাওয়া যাবে ( এখানে দেখুন )। উভয় খণ্ড অত্যন্ত তথ্যবহুল, তবে একটি নবাগত, আইএমএইচও-র জন্য পড়া বেশ কঠিন। এটি কিছুটা "আধুনিক" ধরণের তত্ত্বের বিষয়গুলি এড়িয়ে যায়, যা বইয়ের বয়স অনুসারে আশ্চর্যজনক নয়।

মন্তব্যে একটি অতিরিক্ত প্রশ্ন ছিল এমএলটিটি + ইন্ডাকটিভসের সঠিক সঙ্গতি শক্তি / স্বাভাবিককরণ শক্তি সম্পর্কে। আমার এখানে একটি সুনির্দিষ্ট উত্তর নেই, তবে অবশ্যই উত্তরটি মহাবিশ্বের সংখ্যা এবং অনুমোদিত ইন্ডাকটিভ পরিবারের প্রকৃতির উপর নির্ভর করে। রথজেন এই প্রশ্নটি চমৎকার কিছু গবেষণায় আবিষ্কার করেছেন কিছু মার্টিন-লফ টাইপ তত্ত্বের শক্তি ।

রাইটিং নরমালাইজেশন, মূল ধারণাটি হ'ল যদি 2 টি তত্ত্বের জন্য এবং আমাদের কাছে $\cal{T}$ $\cal{U}$

P A ⊢ C o n (T) \Rightarrow C o n (U)

$\mathrm{PA}\vdash\mathrm{Con}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Con}(\cal{U})$

তারপরে, সাধারণত

P A ⊢ 1- C o n (T) \Rightarrow N o r m (U)

$\mathrm{PA}\vdash \mbox{1-$\mathrm{Con}$}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Norm}(\cal{U})$

যেখানে 1- হয় 1-দৃঢ়তা এবং (দুর্বল) নিয়মমাফিককরণ হয়। $\mathrm{Con}$ $\mathrm{Norm}$

এমএলটিটি + প্রাকৃতিক সংখ্যার ধরণ (এবং পুনরাবৃত্তি) হ'ল th গণিত একটি রক্ষণশীল এক্সটেনশন , যা কনস্ট্রাকটিভ সেট থিউরিগুলির জন্য বেসন রিকার্সিভ মডেলগুলিতে প্রমাণিত । $\mathrm{HA}_\omega$

ইন্ডাকশন-রিকার্সন বা ইনডাকশন-ইনডাকশন সহ এমএলটিটি যতদূর, পরিস্থিতি কী তা আমি জানি না এবং এএফএআইআইকি, সঠিক ধারাবাহিকতার শক্তির সমস্যা এখনও উন্মুক্ত।

— কোডি
সূত্র

সুতরাং এক অর্থে, সিস্টেম এফ একটি খুব দুর্বল তত্ত্ব, কিন্তু এটিতে এই সমন্বয়মূলক সমস্যা রয়েছে যা প্রমাণ করার জন্য খুব দৃ theory় তত্ত্বের প্রয়োজন? যদি এটির ক্ষেত্রে হয়, তবে এর প্রমাণ তাত্ত্বিক অর্ডিনালটি জানা উচিত নয়, এবং আমি যে প্রশ্নটি যুক্ত করেছিলাম তার বিপরীতে চেয়ে কম নয় ?

ϵ_{0}

$\epsilon_0$

— ফাইভ

এবং এটা "পড়া উচিত যদি , স্বাভাবিক তখন ?

p

$p$

p ⊮ \emptyset

$p\not\Vdash\emptyset$

— fhyve

" সমস্ত ফাংশন অবশ্যই গণনীয় হতে চান"? অবশ্যই না, সেট-তাত্ত্বিক মডেলটি বিবেচনা করুন।

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

@ আন্ড্রেজবাউর অবশ্যই, সমস্ত ফাংশন th যা বিদ্যমান বলে প্রমাণিত হতে পারে ("বাইরের" থেকে)। অবশ্যই, "অভ্যন্তরীণ" থেকে, এটি অনুমান করার জন্য সামঞ্জস্যপূর্ণ যে সেখানে অ-গণনীয় ফাংশন রয়েছে, যদি না আরও মজাদার অক্ষর যোগ করা হয়।

N \to N

$\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$

— কোডি

তারপরে আপনার "th ম্যাথর্ম defin নির্ধারিত ফাংশন গণনাযোগ্য" এর মতো কিছু বলা উচিত ছিল । "অবশ্যই গণ্য হতে হবে" বলা কমপক্ষে বিভ্রান্তিকর।

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$

— আন্দ্রেজ বাউয়ার