নূন্যতম জটিলতা ওরাকল যা পিএসপিএসিইকে বহুপদী স্তরক্রম থেকে আলাদা করে?

পটভূমি

এটা তোলে পরিচিত একটি ওরাকল অস্তিত্ব আছে যে যেমন যে, । $A$ $PSPACE^A \neq PH^A$

এটি এমনকি জানা যায় যে বিচ্ছেদটি একটি এলোমেলো ওরাকেলের সাথে সম্পর্কিত। অনানুষ্ঠানিকভাবে, কেউ এটির অর্থ ব্যাখ্যা করতে পারে যে অনেকগুলি ওরাকল রয়েছে যার জন্য এবং পৃথক। $PSPACE$ $PH$

প্রশ্ন

এই ওরাকলগুলি কতটা জটিল যেগুলি থেকে আলাদা করে । বিশেষ করে, সেখানে একটা ওরাকল হল যেমন যে ? $PSPACE$ $PH$ $A \in DTIME(2^{2^{n}})$ $PSPACE^A \neq PH^A$

আমাদের কি কোনও ওরাকল যেমন এবং এর একটি জটিল জটিল উপরের আবদ্ধ আছে? $A$ $PSPACE^A \neq PH^A$ $A$

দ্রষ্টব্য: কাঠামোগত জটিলতা তত্ত্বে এই ধরনের ওরাকেলের অস্তিত্বের বিস্তৃতি হতে পারে। আরও তথ্যের জন্য নীচের নীচের আপডেটটি দেখুন।

নিম্ন সীমাবদ্ধ কৌশল সম্পর্কে বিশদ সহ আপডেট করুন

দাবি: যদি $PSPACE = PH$ , তারপর সব ওরাকেল জন্য $A \in P/poly$ , $PSPACE^A = PH^A$ ।

প্রুফ স্কেচ: ধরুন যে $PSPACE = PH$ ।

একটি ওরাকল দেওয়া হোক। আমরা একটি বহুপদী সময় নির্মাণ করতে পারেন ওরাকল টুরিং মেশিন যে একটি প্রদত্ত দৈর্ঘ্যের জন্য , আকার একটি বর্তনী অনুমান একটি অস্তিত্ববাদের রাশিকরণ যাচাই করে জানাচ্ছেন যে সার্কিট সিদ্ধান্ত নেয় ব্যবহার বর্তনী মূল্যায়ন তুলনা করে এবং ক্যোয়ারী ফলাফল প্রতিটি দৈর্ঘ্যের স্ট্রিংয়ের জন্য সর্বজনীন পরিমান ব্যবহার করে। $A \in P/poly$ $\Sigma_2$ $M$ $n$ $p(n)$ $A$ $n$

আরও, একটি সিদ্ধান্ত সমস্যার কথা বিবেচনা করুন যা আমি কোয়ান্টিফায়েড বুলিয়ান সার্কিট (কিউবিসি) হিসাবে উল্লেখ করছি যেখানে আপনাকে একটি পরিমাণযুক্ত বুলিয়ান সার্কিট দেওয়া হয়েছে এবং এটি বৈধ কিনা (জানতে চাই কিউবিএফের মতো)। এই সমস্যাটি PSPACE- সম্পূর্ণ কারণ QBF PSPACE- সম্পূর্ণ।

অনুমান দ্বারা, এটি QBC follows অনুসরণ করে । যথেষ্ট পরিমাণে কিছু জন্য বলি । একটি বহুবর্ষের সময় বোঝাতে দিন টুরিং মেশিন যা কিউবিসি সমাধান করে। $\in PH$ $QBC \in \Sigma_k$ $k$ $N$ $\Sigma_k$

আমরা কম্পিউটেশন মেশানো করতে এবং (কি Karp-লিপটন উপপাদ্য প্রমাণ মধ্যে সম্পন্ন করা হয় অনুরূপ) একটি বহুপদী সময় পেতে ওরাকল টুরিং মেশিন যে সমাধান । $M$ $N$ $\Sigma_k$ $QBC^A$

অনানুষ্ঠানিকভাবে, এই নতুন মেশিনটি ইনপুট হিসাবে একটি ওরাকল কিউবিসি নেয় (এটি ওরাকল গেটগুলির সাথে একটি কিউবিসি)। পরে, এটি একটি সার্কিট যে নির্ণয় নির্ণয় দৈর্ঘ্যের ইনপুট উপর (একযোগে প্রথম দুই quantifiers বন্ধ pealing)। এর পরে, তার জন্য বর্তনী সঙ্গে ওরাকল QBC মধ্যে Oracle দরজা প্রতিস্থাপন । অবশেষে, এটি সংশোধিত দৃষ্টান্তে জন্য বহুপদী সময় আলগোরিদিমটি প্রয়োগ করতে এগিয়ে যায় । $A$ $n$ $A$ $\Sigma_k$ $QBC$

এখন, আমরা কন্ডিশনাল লো-বাউন্ড দেখতে পারি।

প্রত্নতাত্ত্বিকতা: যদি কোনও ওরাকল exists বিদ্যমান থাকে যেমন , তারপরে । $A \in NEXP$ $PSPACE^A \neq PH^A$ $NEXP \nsubseteq P/poly$

প্রুফ স্কেচ: ধরুন অস্তিত্ব আছে যে যেমন যে । যদি তবে আমরা একটি বৈপরীত্য পেতে পারি। $A \in NEXP$ $PSPACE^A \neq PH^A$ $NEXP \subseteq P/poly$

বিশেষত, যদি , তবে উপরের দাবি অনুসারে আমাদের কাছে । তবে এটি জানা যায় যে ইঙ্গিত করে যে । $NEXP \subseteq P/poly$ $PSPACE \neq PH$ $NEXP \subseteq P/poly$ $PSPACE = PH$

( পি / পলি জন্য পরিচিত ফলাফল সম্পর্কে কিছু বিশদ জন্য এখানে দেখুন )

— মাইকেল ওয়েহার
সূত্র

এটা সম্ভবত মূল্য উল্লেখ করে যে PSPACE অনুমিত হচ্ছে PH এর। অর্থাত্ একটি তুচ্ছ ওরাকল করত তবে আমরা এটি প্রমাণ করতে পারি না।

≠ $\ne$

— থমাস মনিকা

কীভাবে, ঠিক আপনি আপেক্ষিকৃত PSPACE সংজ্ঞায়িত করেন? সাহিত্যে একাধিক সম্ভাবনা দেখা দেয়। বিশেষত, ওরাকল ক্যোয়ারীগুলি বহিরাগতভাবে আবদ্ধ বলে মনে করা হয়?

— এমিল জেব্যাক মনিকা

আপনি কি "কিউ সূত্রগুলির নির্মাণ," বড় একঘেয়ে বুলিয়ান সূত্রগুলি পিএইচ-তে মূল সূত্রের সমস্ত 2 ^ n কিউবিএফএস স্থিত করে থাকেন? কিউ স্পেসের পরিচিতি দেখুন, 2002 সন্তুষ্টিযোগ্যতা সম্মেলন, কিউবিএসে আন্তর্জাতিক কর্মশালা, কিউ সূত্রের জন্য আরও দেখুন।

— ড্যানিয়েল পহোশেক

আমি বিশ্বাস করি আমি, দেখাতে পারেন হিসাবে একটি, আবদ্ধ LOWER যে এই ধরনের একটি হচ্ছে Seh হবে "কাঠামোগত জটিলতা তত্ত্ব গার্গল আছে।" আমি কি তাড়াতাড়ি তাড়াতাড়ি পোস্ট করব (যার অর্থ কাল হতে পারে বা এর অর্থ 30 মিনিটের মধ্যে হতে পারে), বা এই উত্তরহীনকে আরও দীর্ঘ রেখে দিতে পারি যাতে আপনি যে ক্লাসে যথেষ্ট, তার উত্তর পাওয়ার সম্ভাবনা বেশি?

A $A$

এলোমেলো ওরাকলগুলির উচ্চতর কোলমোগোরভ জটিলতা রয়েছে বলে আমি আশা করব যে এই ধরণের ওরাকলগুলিতে কোনও গণনামূলক উচ্চতর আবদ্ধের উল্লেখযোগ্য পরিণতি হবে। দৃ upper় উপরের সীমানা যেমন একক-তাত্পর্যপূর্ণ এর দৃ strong় পরিণতি হওয়া উচিত। (অবশ্যই, এই যুক্তিটি নিখুঁতভাবে বৈজ্ঞানিক এবং এটি কীভাবে কঠোর করা যায় তা সম্পর্কে বর্তমানে আমার কোনও ধারণা নেই))

— আন্দ্রেস সালামন

আমি বিশ্বাস করি যদি আপনি প্রদত্ত যুক্তিটি সনাক্ত করেন, যেমন, কের -১ কো এর সমীক্ষা বিভাগের ৪.১ বিভাগে , আপনি উপরের পেতে পারেন । আসলে, আমরা এখানে প্রতিস্থাপন করতে পারি যে কোনও ফাংশন যেখানে হিসাবে । এটি যা চাওয়া হয়েছিল তা পুরোপুরি নয়, তবে এটি কাছে। $\mathsf{DTIME}(2^{2^{O(n^2)}})$ $n^2$ $nf(n)$ $f(n) \to \infty$ $n \to \infty$

বিশেষত, ওরাকল পৃথকীকরণ এবং সার্কিট নিম্ন সীমানার মধ্যে অনুবাদটি ব্যবহার করে এবং কো এর স্বরলিপি অনুসরণ করে, আমাদের নিম্নলিখিত রয়েছে:

আমরা দৈর্ঘ্যের স্ট্রিংগুলিতে তির্যক করবো যেখানে হ'ল " " তম বহুবর্ষীয় (পলি-টাইম অ্যালগরিদমের কিছু অঙ্কে) এবং নীচে নির্দিষ্ট করা হবে। $t(n) = p_n(m(n))$ $p_n(x) = x^n + n$ $n$ $m(n)$
সার্কিট নিম্ন সীমানায় অনুবাদ করা, এর অর্থ আমরা ইনপুটগুলিতে সীমাবদ্ধ-গভীরতার সার্কিট বিবেচনা করছি । $2^{t(n)}$
প্রয়োজন (দেখুন পি। কো 15) আমরা প্রয়োজন সন্তুষ্ট $m(n)$ সমস্ত। এখানেহ'ল আমরা যে সার্কিটগুলির সাথে তির্যক করতে চাই তার গভীরতা, বা সমানভাবেআমরাস্তর এরকরতে চাই যার বিরুদ্ধেসমস্তএর সাথে তির্যক করতে, কেবলফাংশন হতেনির্বাচন করুনযা; আমরা যেমন একটিচয়ন করতে পারেন $\frac{1}{10} 2^{m/(d-1)} > d p_n(m(n))$ $n$ $d$ $\mathsf{\Sigma_d^p}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$ $d$ $n$ $\omega(1)$ $d$ এটি ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পায় যদিও (সম্ভবত উপর কিছু গণ্যতা অনুমানের সাপেক্ষে , তবে এটি কোনও বাধা হওয়া উচিত নয়)। যদি আমরা অনুমান করি যে ধ্রুবক (যদিও তা না হলেও এটি নির্বিচারে ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পাবে), তবে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে প্রায় কাজ করা উচিত। $d(n)$ $d(n)$ $m(n)$ $2^n$
এর অর্থ এই যে , তাই আমরা একটি নিম্ন সঙ্গে সার্কিট বিরুদ্ধে আবদ্ধ খুঁজছেন ইনপুট। $t(n) \sim 2^{n^2}$ $\sim 2^{2^{n^2}}$
ট্রেভিসান এবং জিউ (সিসিসি '13) দেখিয়েছে যে কেউ একটি অ্যাসাইনমেন্ট সন্ধান করতে পারে যার ভিত্তিতে ইনপুটগুলিতে প্রদত্ত একটি সীমানা-গভীরতার সার্কিট দৈর্ঘ্যের বীজের সাথে পার্থক্য গণনা করে না । $N$ $polylog(N)$
আমাদের জন্য , সুতরাং । আমরা সময়ে এই জাতীয় বীজের উপর চাপ প্রয়োগ করতে পারি এবং কার্যকর যে প্রথমটি ব্যবহার করে তা ব্যবহার করতে পারি। $N=2^{2^{n^2}}$ $polylog(N) = 2^{O(n^2)}$ $2^{2^{O(n^2)}}$

প্রতিস্থাপন করতে সঙ্গে , শুধু দিন পরিবর্তে। $n^2$ $nf(n)$ $p_n(x) = x^{f(n)} + f(n)$

মজার বিষয় হচ্ছে, আমি যদি সঠিকভাবে বুঝতে পারি তবে আমি বিশ্বাস করি যে এর দ্বারা বোঝা যায় যে যদি কেউ ট্র্যাভিসান-জিউ উন্নত করতে পারে ...

... একটি থেকে pseudodeterministic / Bellagio অ্যালগরিদম (নীচের অ্যান্ড্রু মর্গান এর মন্তব্য), এক পেতে হবে ; অথবা $\mathsf{BPEXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$
... একটি nondeterministic অ্যালগরিদম যে অনুমিত করার বিট কিন্তু তারপর দৌড়ে এল সময়, এবং যেমন যে কোনো গ্রহণ পথে এটি একই আউটপুট (তোলে cf. ), এটি ; অথবা $polylog(N)$ $poly(N)$ $\mathsf{NPSV}$ $\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$
... একটি নির্ণায়ক অ্যালগরিদম, এক পেতে হবে । $\mathsf{EXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$

একদিকে, এটি পরামর্শ দেয় যে স্যুইচিং লেমাকে আরও ড্রেন্ডমাইজিং করা আরও কঠোর হওয়া উচিত - এমন যুক্তি যা আমি নিশ্চিত নই যে এটি আগে জানা ছিল! অন্যদিকে, এটি আমাকে এলোমেলোভাবে বনাম কঠোরতার বিরুদ্ধে এক ধরণের আকর্ষণীয় হিসাবে গ্রহণ করেছে (বা এটি আসলে কোনও নতুন বিষয়, এলোমেলো বনাম এলোমেলোতা?)।

— জোশুয়া গ্রোচো
সূত্র

এখানে একটি প্রতিদ্বন্দ্বিতা প্রকাশিত হয়েছে যেটি নির্মিত ওরাকলটি একটি একক, স্থির ওরাকল হতে হবে, যাতে এটি সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় যে বিপিএক্সপিতে বা যা কিছু হোক না কেন। যদি আপনি কেবল একটি ভাল জেনারেটরের একটি এলোমেলো বীজ চয়ন করেন, তবে আপনি যখন কিছু অরাকল কাজ করে তা পান তবে আপনি অবশ্যই সেই ওরাকলটির জন্য কোনও সিদ্ধান্ত প্রক্রিয়া পাবেন না, যেহেতু বিভিন্ন বীজ (সাধারণভাবে) বিভিন্ন ওরাকল দেয়। নির্মাণকে বাস্তবে "গঠনমূলক" করার জন্য আপনাকে আরও কিছু করতে হবে, যেমন একটি প্রচলিত বীজ সন্ধান করার মতো।

— অ্যান্ড্রু মরগান

যদিও যুক্তিটি বিপিএক্সপি দেয় না, আপনি কী জটিলতাটি এক্সপির একটি সীমাবদ্ধ স্তরে নামাতে পারবেন?

— এমিল জেব্যাক

@ এমিলজেবেক: বিশদটি যাচাই না করেই আমি মনে করি

কাজ করা উচিত। একটি বীজ ব্যবহার Guess

, এটি ব্যবহার কাজ যাচাই

, এবং তারপর যাচাই করুন যে এটি lexicographically অন্তত বীজ ব্যবহার করছে

, মোট

। $\mathsf{\Sigma_3 EXP}$

$\exists$

$\forall$

$\neg\exists\forall = \forall \exists \neg$

$\exists\forall\exists$

— জোশুয়া গ্রাচো

@ এমিলজেরাবেক: অবশ্যই, আমরা যদি কমপক্ষে এটি

নামতে পারতাম তবে আরও ভাল হত (নতুন সার্কিটের নিম্ন সীমানা প্রমাণ না করে অসম্ভব) তবে কীভাবে এটি করা যায় তা আমি এখনও দেখতে পাই না ... $\mathsf{MA_{EXP}}$

— জোশুয়া গ্রাচো

@ জোশুয়া গ্রাচো হ্যাঁ, আপনার মূল পোস্টটি ঠিক আছে বলে মনে হচ্ছে। আমি আপনার এমিলের জবাবের প্রতি আপত্তি জানছিলাম যে অনুমান করা ওরেकलটি এক্সপিতে তৈরি করা যেতে পারে, যেখানে চলমান সময়টি এককভাবে তাত্পর্যপূর্ণ। বিপরীতে আমি এই সম্পর্কে আরও পরিষ্কার হওয়া উচিত ছিল।

— অ্যান্ড্রু মরগান