ওরাকল টুরিং মেশিনগুলির জন্য থামার সমস্যা সম্পর্কে তথ্য সংক্ষেপণ

থামার সমস্যাটি অসমর্থিত হিসাবে সুপরিচিত। তবে, থামার সমস্যা সম্পর্কে তাত্পর্যপূর্ণভাবে "সংক্ষেপণ" তথ্য সরবরাহ করা সম্ভব, যাতে এটি সংক্ষেপিত করা গণনাযোগ্য।

আরও স্পষ্টভাবে, টিউরিং মেশিনের বিবরণ এবং একটি বিট পরামর্শ থেকে টুরিং মেশিনগুলির সমস্ত এর জন্য থামানো সমস্যার উত্তর উল্লেখ করা সম্ভব , এবং ধরে নেওয়া সম্ভব পরামর্শের রাজ্যটি বিশ্বাসযোগ্য - আমরা কতটা টুরিং মেশিন বাইনারিতে থামে তা বর্ণনা করতে আমাদের পরামর্শদাতাকে বিটগুলি নির্বাচন করতে দিন, অনেকগুলি থামার আগ পর্যন্ত অপেক্ষা করুন এবং বাকীটি থামবে না এমন আউটপুট। $2^{n}-1$ $n$ $2^{n}-1$

এই যুক্তি হ'ল সমস্যাটি সমাধানের জন্য চৈটিনের ধ্রুবকটি ব্যবহার করা যেতে পারে তার প্রমাণের একটি সহজ বৈকল্পিক। আমাকে কী অবাক করেছে তা তীক্ষ্ণ। টিউরিং মেশিনের বিবরণ থেকে কোনও গণনীয় মানচিত্র নেই এবং একটি বিট পরামর্শে ট্যুরিং মেশিনের প্রতিটি টুপলের জন্য কিছু বিট টুপল করার জন্য বিঘ্নিত আউটপুট যা সঠিক উত্তর পেয়ে যায় to যদি সেখানে থাকে তবে আমরা টিউরিং মেশিনগুলির প্রত্যেকটি বিটগুলির possible সম্ভাব্য বিন্যাসগুলির মধ্যে প্রোগ্রামটি কী করে তা অনুকরণ করে এবং তারপরে ভবিষ্যদ্বাণী লঙ্ঘন করার জন্য তার নিজস্ব থামানো রাষ্ট্রটি বেছে নিয়ে তির্যককরণের মাধ্যমে একটি পাল্টা নমুনা তৈরি করতে পারি could । $2^n$ $n$ $2^n$ $2^n$ $2^n$ $n$

ট্যুরিং মেশিনগুলির জন্য থামার সমস্যা সম্পর্কে তথ্যকে কোনওভাবেই থামানো সম্ভব নয় (কিছুটা ওরাকল নিজেই অ্যাক্সেস না করে)। আপনি যেখানে থামছেন না সেগুলিকে উপেক্ষা করে আপনার সম্ভাব্য ইনপুটগুলির বিষয়ে ভবিষ্যদ্বাণীগুলি মেশিনগুলি কেবল অনুকরণ করতে পারে এবং আপনি কোনও ইনপুটতে পূর্বাভাস করেননি এমন অভিধানিকভাবে প্রথম উত্তর দেওয়ার জন্য তাদের থামার সময়গুলি বেছে নিয়েছেন।

এটি অন্যান্য ওরাকলগুলির জন্য কী ঘটেছিল তা ভেবে আমাকে অনুপ্রাণিত করেছিল:

কোনও ওরাকেলের উদাহরণ আছে যেখানে ল্যাখর এবং তাত্ক্ষণিকের মধ্যে মধ্যবর্তী বৃদ্ধির হারে সেই ওরাকল দিয়ে টিউরিং মেশিনগুলির জন্য থামার সমস্যাটি সংকুচিত করা যেতে পারে?

আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি ওরাকল দেওয়া, সবচেয়ে বড় হতে পারে যে ওরাকল টিউরিং মেশিন এবং বিট থেকে বিট পর্যন্ত একটি গণনীয় আংশিক ফাংশন উপস্থিত রয়েছে , যেমন ওরাকল টুরিং মেশিনের প্রতিটি টুপলের জন্য রয়েছে বিটের একটি টিপল, যেখানে ইনপুটটিতে মূল্যায়ন করা ফাংশনের মান প্রতিটি ওরেकल টুরিং মেশিনের জন্য এর টুপলের সমান হয় যা স্থায়ী হয় এবং প্রতিটি ওরাকল টুরিং মেশিনের জন্য স্থায়ী হয় যা চিরতরে চলে। $f(n)$ $m$ $m$ $n$ $m$ $m$ $n$ $m$ $1$ $0$

এমন কোনও ওরাকল আছে যেখানে ? An যেখানে এমন কোনও ওরাকল আছে ? $n<f(n)<2^{n}-1$ $\omega(n)=f(n)=o(2^n)$

— উইল সাওন
সূত্র

যাক আউটপুট হতে ম টুরিং মেশিন ওরাকল দিয়ে সজ্জিত করা , ইনপুট । এখানে দাঁড়ায় "জাম্প"। (না থামার ক্ষেত্রে ) $J^A(e)$ $e$ $A$ $e$ $J$ $J^A(e)$

একটি অরাকল এটিকে লাফিয়ে সন্ধান করতে পারে যদি কোনও গণনীয় ননডেক্রেসিং ফাংশন থাকে তবে th যেমন সকল , জন্য সীমাবদ্ধ সেটগুলির কয়েকটি গণনাযোগ্য পরিবার সহ সমস্ত । $A$ $h:\mathbb N\to\mathbb N$ $e$ $J^A(e)\in T_e$ $(T_e)_{e\in\mathbb N}$ $|T_e|\le h(e)$ $e$

আসুন বিবেচনা করা যাক দৈর্ঘ্য এর স্ট্রিং যা নির্দেশ করে যে ট্যুরিং মেশিনের সংখ্যা থামাতে হবে( হোল্টের চেয়ে কম হলে , ) $f^A(k,n)=$ $n$ $k$ $0,\dots,n-1$ $k$ $f^A(k,n)$

লক্ষ্য করুন আংশিক গণনীয় আপেক্ষিক । সুতরাং সেখানে একটি গণনীয় ফাংশন যেমন যে। $f^A$ $A$ $g$ $f^A(k,n)=J^A(g(k,n))$

জন্য থামানো সেটটির প্রথম বিটগুলি সংকুচিত করতে বলা উচিত যে টি- অনেকগুলি উপাদান মধ্যে সঠিক, যেখানে এবং এর সঠিক সংখ্যা থামানো টিএমস $n$ $A$ $h(e)$ $T_e$ $e=g(k,n)$ $k$

জাম্প-ট্রেসেবল ওরাকলগুলির একটি যথাযথ শ্রেণিবদ্ধতা রয়েছে (নিস, গণনা এবং র্যান্ডমনেস , উপপাদ্য 8.5.2)। সুতরাং চয়ন করে উপযুক্তভাবে ছোট, আমরা একটি ওরাকল প্রার্থী পেতে হিসাবে আপনার জন্য জিজ্ঞাসা। $h$ $A$

এটি এই অর্থে যথাযথভাবে ভাল প্রার্থী যে আমাদের একটি দিক রয়েছে (বৃদ্ধির হারের উপরের সীমানা) এবং এটি সম্ভবত যে পদ্ধতিটি দ্বারা আমরা উপরের সীমাটি পেয়েছি তার চেয়ে কোনও ছোট ছোট উচ্চতর আবদ্ধতা দেয় না।

— Bjørn Kjos-Hanssen
সূত্র

একটি কিছুটা ভিন্ন সমস্যা একটি পন্থা, যা প্রথম সম্পর্কে জিজ্ঞেস মত এই সৌন্দর্য এর একটি অবাধ সেট বদলে টুরিং মেশিন টুরিং মেশিন। তবে, সমস্যাটিও আকর্ষণীয় বলে মনে হচ্ছে। আমি সম্মত হই যে এটি প্রশংসনীয় যে "জেনেরিক" লাফ-ট্রেসযোগ্য ওরাকলটির জন্য, আপনি যে উপরের সীমাটি দেন তা দৃ়ের কাছাকাছি হওয়া উচিত।

n

$n$

n

$n$

— উইল সাওন