ইন্টিগ্রালিটি গ্যাপের গুরুত্ব

Question

ইন্টিগ্রালিটি গ্যাপের (আইজি) গুরুত্ব এবং এটির সীমাবদ্ধতা বুঝতে আমার সর্বদা সমস্যা ছিল । আইজি সমস্যাটির শিথিলকরণের সর্বোত্তম প্রকৃত সমাধানের (মানের গুণমান) সর্বোত্তম পূর্ণসংখ্যার উত্তর (এর গুণমান) এর অনুপাত। উদাহরণ হিসাবে ভার্টেক্স কভার (ভিসি) বিবেচনা করুন। ভিসি নিম্নলিখিত রৈখিক সমীকরণের একটি সর্বোত্তম পূর্ণসংখ্যার সমাধান অনুসন্ধান হিসাবে বলা যেতে পারে:

গ্রাফের এর প্রতিটি এর জন্য আমাদের শূন্য / এক মূল্যবান ভেরিয়েবল গুলি রয়েছে । সমীকরণ হল: জন্য , এবং প্রতিটি প্রান্ত জন্য । আমরা এমন মানগুলির সন্ধান করছি যা ।$x_v$$v \in V(G)$$G$$0 \leq x_v \leq 1$$v\in V(G)$$1 \leq x_v+x_u$$uv \in E(G)$$\sum_{v \in V(G)} x_v$

এই সমস্যার শিথিলকরণ এবং মধ্যে প্রকৃত মানকে মঞ্জুরি দেয় যাতে সমাধানের স্থানটি আরও বড় হয় এবং একটি অনুকূল বাস্তব সমাধান আমরা খুঁজে পেতে চাইলে একটি অনুকূল পূর্ণসংখ্য সমাধানের চেয়ে ছোট হতে পারে। সুতরাং একটি পূর্ণসংখ্যা সমাধানের জন্য লিনিয়ার প্রোগ্রামিং থেকে প্রাপ্ত সর্বোত্তম আসল উত্তরের জন্য আমাদের "বৃত্তাকার" প্রক্রিয়া করা দরকার। অনুকূল পূর্ণসংখ্যার সমাধানটি সর্বোত্তম আসল সমাধান এবং রাউন্ডিং প্রক্রিয়ার ফলাফলের মধ্যে থাকবে। আইজি হ'ল একটি অনুকূল বাস্তব সমাধানের একটি সর্বোত্তম পূর্ণসংখ্যার সমাধানের অনুপাত এবং বৃত্তাকারী প্রক্রিয়া সম্পর্কে কিছু বলে না। রাউন্ডিং প্রক্রিয়া (তত্ত্বের ভিত্তিতে) সম্পূর্ণরূপে আসল সমাধানটিকে উপেক্ষা করতে পারে এবং সরাসরি সর্বোত্তম পূর্ণসংখ্যার সমাধান গণনা করতে পারে।$0$$1$

লোকেরা আইজির সীমানা প্রমাণ করতে আগ্রহী কেন?

Comments

দুটি উত্তর নেই: (1) অভিজ্ঞতা কম্পিউটার বিজ্ঞান। প্রায়শই প্রায়শই (অবশ্যই সর্বদা নয়!) এটি মনে হয় যে অখণ্ডতার ফাঁক x আনুমানিক কঠোরতা, অন্তত কিছুটা অনুমানের অধীনে। সুতরাং আপনার যদি ধারণা না হয় আনুমানিক সমস্যা এক্স এর পক্ষে কতটা কঠিন, অখণ্ডতার গ্যাপের উপর দৃ tight় সীমানা প্রমাণ করা আপনাকে শিক্ষিত অনুমান দিতে পারে। আপনার কাছে কমপক্ষে একটি অনুমান আছে যা আপনি প্রমাণ করার চেষ্টা করতে পারেন। (২) যদি আপনার অ্যালগরিদম ইন্টিগ্রালটির ফাঁকটি ভেঙে দেয়, তবে এটি একটি চিহ্ন হতে পারে যে আপনার অ্যালগরিদম আকর্ষণীয় কিছু করছে (যেমন নির্দিষ্ট সমস্যার দুর্দান্ত সংমিশ্রিত বৈশিষ্ট্যগুলি শোষণ করে)।

— Jukka Suomela

চার্লস, একীকরণের ব্যবধানগুলি আজকাল জটিলতার তত্ত্বের মধ্যে একটি সক্রিয় ক্ষেত্র। প্রায়শই লোকেরা বৃহত্তর পরিবারগুলিতে শিথিলতার (একক শিথিলের চেয়ে) শূন্যস্থান প্রমাণ করে। এই ক্ষেত্রে আপনি যেমন একটি আকর্ষণীয় গণনা মডেল বিরুদ্ধে নিম্ন সীমা প্রমাণ হিসাবে যেমন ফলাফল সম্পর্কে চিন্তা করতে পারেন। প্রমাণ জটিলতার সাথে গভীর সংযোগ রয়েছে।

— মরিটজ

Answer 1

সংহততা ফাঁকগুলি পূর্ণসংখ্যার প্রোগ্রামের আনুমানিক ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট রৈখিক বা উত্তল শিথিলকরণের অন্তর্নিহিত সীমাটি উপস্থাপন করে। সাধারণত, যদি কোনও নির্দিষ্ট শিথিলতার ইন্টিগ্রালিটির ফাঁক , তবে সেই শিথিলতার উপর ভিত্তি করে যে কোনও আনুমানিক অ্যালগরিদম কোনও অ্যাপপ্রক্সিমেশন চেয়ে ভাল করার আশা করতে পারে না । সুতরাং খুব কমপক্ষে, সংহতকরণের ব্যবধানগুলি অ্যালগরিদম ডিজাইনারদের পক্ষে আগ্রহী যেহেতু তারা নির্দিষ্ট কৌশলগুলিতে সীমাবদ্ধতার পরামর্শ দেয়। $x$$x$

তাহলে কেন কেবল অন্য এলপি শিথিলতা নিয়ে আসবেন না বা অন্য কৌশলগুলিতে স্যুইচ করুন এবং এগিয়ে যান? লিনিয়ার এবং উত্তল প্রোগ্রামিং প্রায় অ্যালগরিদমের কেন্দ্রিয় হিসাবে প্রমাণিত হয়েছে; অনেক সমস্যার জন্য একটি প্রাকৃতিক এলপি বা এসডিপি গঠনের একীকরণের ব্যবধান সেরা অ্যালগরিদমের আনুমানিক অনুপাতের পাশাপাশি আনুষঙ্গিক অনুপাতের কঠোরতার সমান। এটি কেবল একটি অনুশীলনমূলক পর্যবেক্ষণ, তবে এর অর্থ এই যে অখণ্ডতার ফাঁক প্রমাণ করা কোনও উন্নত অ্যালগরিদম বা নিম্ন সীমাটির আরও শক্তিশালী পরিণতি প্রস্তাব করতে পারে।

এই ঘটনার আরও গভীর এবং আরও কঠোর কারণ থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, অনন্য গেমস অনুমানকে ধরে নিলে, এটি জানা যায় যে সীমাবদ্ধতা সন্তুষ্টির সমস্যাগুলির জন্য আনুমানিক অনুপাত এবং অযোগ্যতা অনুপাত একটি সাধারণ এসডিপি শিথিলকরণের একীকরণের ব্যবধানের সমান (দেখুন প্রতিটি সিএসপির জন্য অনুকূল অ্যালগরিদম এবং অণুপ্রবণতা ফলাফল দেখুন? প্রসাদ রাঘভেন্দ্র দ্বারা)

অবশেষে, অখণ্ডতা শূন্যস্থানগুলি নিঃশর্ত নিম্নতর সীমানাকে উপস্থাপন করে। সাধারণত, আমরা নিম্ন সীমানায় কোনও অগ্রগতি করতে চাইলে আমাদের অপ্রমাণিত অনুমানের উপর নির্ভর করতে হবে (যেমন ), তবে গণনার সীমাবদ্ধ মডেলগুলির জন্য আমরা মাঝে মাঝে তা ছাড়াই যেতে পারি ( লুকা ট্রেভিসানের বক্তৃতা নোটগুলি দেখুন )। একীকরণের ব্যবধানগুলি, গণনার চেয়ে খাঁটি জ্যামিতিক হওয়ায় অতিরিক্ত অনুমানের জিনিসপত্র ছাড়াই মোটামুটি শক্তিশালী নিম্ন সীমানা পাওয়ার এক উপায়।$P \neq NP$

Answer 2

মনে করুন যে আপনার আগ্রহের সমস্যাটি একটি নূন্যতম সমস্যা এবং আপনি অনুকূলিত অ্যালগরিদম বিকাশ করেছেন । যদি কোনও প্রদত্ত ইনপুটটিতে, আপনার অ্যালগরিদম ব্যয় সমাধান আউটপুট দেয় , তবে অ্যালগরিদম এবং তার বিশ্লেষণের গণনা একটি শংসাপত্র দেয় যে, এই ইনপুটটিতে, সর্বোত্তম কমপক্ষে । স্পষ্টতই, কমপক্ষে সর্বোত্তম, সুতরাং প্রতিটি ইনপুটটির জন্য আমরা সর্বোত্তমটির কাছে একটি নিচু আবদ্ধকে প্রমাণ করতে সক্ষম যা কমপক্ষে নিজেই সর্বোচ্চ ভগ্নাংশ।$a$$c$$a/c$$a$$1/c$

আমি সচেতন যে উত্তল (এলপি এবং এসডিপি) শিথিলতার উপর ভিত্তি করে সমস্ত অ্যালগরিদমগুলিতে, সর্বোত্তমটির সাথে শংসিত নিম্নতর আবদ্ধতা শিথিলকরণের সর্বোত্তম দ্বারা দেওয়া হয়। শিথিলকরণের সাথে যদি একীকরণের ব্যবধান তবে চেয়ে আরও বেশি অনুমানের অনুপাত অর্জন করা সম্ভব হবে না , যদি না বিশ্লেষণে শিথিলকরণের দ্বারা প্রদত্ত নিম্নতর গণ্ডির চেয়ে শক্তিশালী সর্বোত্তমের জন্য একটি নিম্ন সীমাবদ্ধ কৌশল প্রবর্তন করা হয়।$I$$I$

Answer 3

সংহতকরণ ব্যবধানটি একটি আইপি কতটা ভালভাবে অনুমান করা যায় তার একটি কার্যকর সূচক। এটি অনানুষ্ঠানিক, স্বজ্ঞাত উপায়ে চিন্তা করা আরও ভাল। একটি উচ্চ অখণ্ডতার ব্যবধান বোঝায় যে নির্দিষ্ট পদ্ধতিগুলি কাজ করবে না। কয়েকটি প্রাথমিক / দ্বৈত পদ্ধতি, উদাহরণস্বরূপ, একটি সামান্য সামঞ্জস্য ব্যবধানের উপর নির্ভর করে। প্রমিত প্রাথমিক ভার্টেক্স কভার এলপির জন্য, দ্বৈত এলপি সর্বাধিক মিলের জন্য জিজ্ঞাসা করে। এই ক্ষেত্রে, আমরা নিম্নলিখিতগুলি করতে পারি:

• একটি অনুকূল ভগ্ন সমাধান খুঁজে দ্বৈত এলপি (ক সর্বাধিক ভগ্ন ম্যাচিং)$\boldsymbol{y}$
• সংখ্যাবৃদ্ধি সমাধান 2 একটি গুণক দ্বারা (সমস্ত প্রান্ত ওজন দ্বিগুণ)$\boldsymbol{y}$
• এটিকে প্রাথমিক জন্য একটি সম্ভাব্য অবিচ্ছেদ্য to এ রূপান্তর করুন (প্রতিটি প্রান্ত তার ভারের অর্ধেক ভেক্টর থেকে তার প্রতিটি প্রান্তকে ভেক্টর থেকে দেয়, তারপরে প্রতিটি হয় দিয়ে প্রতিস্থাপন করা হয়েছে ।$\boldsymbol{x}$$2\boldsymbol{y}$$\boldsymbol{x}$$x_i$$\min(\lfloor x_i\rfloor, 1)$

এক্ষেত্রে এই সহজ কৌশলটি কার্যকর হয় এবং আমরা প্রাথমিক এলপির একটি সম্ভাব্য অবিচ্ছেদ্য সমাধানটি শেষ করি যার ওজন দ্বৈত এলপির জন্য সম্ভাব্য সমাধানের ওজনের দ্বিগুণ নয়। যেহেতু দ্বৈত এলপির জন্য সম্ভাব্য সমাধানের ওজন ওপটি-র জন্য নিম্ন সীমাবদ্ধ, এটি একটি 2-আনুমানিক অ্যালগরিদম।

এখন, কোথায় একীকরণের ব্যবধান আসে? আইজি এই ক্ষেত্রে 2, কিন্তু একা এটি ইঙ্গিত দেয় না যে অ্যালগরিদম কাজ করবে। বরং এটি পরামর্শ দেয় যে এটি কার্যকর হতে পারে। এবং আইজি যদি 2 এর বেশি হয় তবে এটি গ্যারান্টি দেয় যে সহজ কৌশলটি সর্বদা কার্যকর হয় না । খুব কমপক্ষে আমাদেরকে দ্বৈত সমাধানটি আইজি দ্বারা গুণ করতে হবে। সুতরাং অখণ্ডতার ফাঁক মাঝে মাঝে আমাদের বলে দেয় কী কাজ করবে না । একীকরণের ব্যবধানটিও বোঝাতে পারে যে আমরা কী ধরনের অনুমানের ফ্যাক্টরের আশা করতে পারি। একটি সামান্য সামঞ্জস্য ব্যবধান পরামর্শ দেয় যে রাউন্ডিং কৌশলগুলি তদন্ত ইত্যাদিসহ তদন্ত করা একটি উপযুক্ত উপায় হতে পারে।

একটি বেশি আকর্ষণীয় উদাহরণস্বরূপ, আঘাত সেট সমস্যা ও ব্যবহার সমস্যা approximating শক্তিশালী কৌশল বিবেচনা -nets (Brönnimann & Goodrich, 1995) । অনেক সমস্যা আঘাত সেট দৃষ্টান্ত হিসাবে প্রণয়ন করা যেতে পারে, এবং একটি কৌশল যার দ্বারা অনেক সমস্যার জন্য সফল হয়েছে এই কাজ করতে হয়, তাহলে শুধু একটি ভালো নেট আবিষ্কর্তা, অর্থাত্, ছোট গঠন করা একটি আলগোরিদিম খুঁজে -nets এবং ঢিলা সবকিছু মাধ্যমে বি অ্যান্ডজি মেটা-অ্যালগরিদম। তাই মানুষ (নিজেকে অন্তর্ভুক্ত) সেট আঘাত, অন্য যে কোন জন্য সীমাবদ্ধ দৃষ্টান্ত জন্য নেট ফাইন্ডার খুঁজতে চেষ্টা , নির্মাণ করতে পারেন একটি আকারের -net , যেখানে ফাংশন$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$f(1/\varepsilon)$$f$যতটা সম্ভব ছোট হওয়া উচিত রয়ে একটি টিপিক্যাল সবকিছুর সমাপ্তি, এটি একটি -প্রশিক্ষা দেয়।$f(1/\varepsilon) = \mathcal{O}(1/\varepsilon)$$\mathcal{O}(1)$

এটি সক্রিয় আউট হিসাবে, সম্ভাব্য সর্বোত্তম ফাংশন আঘাত সেট এর জন্য নির্দিষ্ট এলপি এর কার্ত্স্ন্য ফাঁক দ্বারা বেষ্টিত (এমনকি, Rawitz, শাহার, 2005) । বিশেষত, সর্বোত্তম ইন্টিগ্রাল এবং ভগ্নাংশ সমাধান । হিট সেট সেট-এর নিয়ন্ত্রিত দৃষ্টান্তের জন্য ইন্টিগ্রালটির ফাঁক হ'ল , তবে হিটিং সেট হিসাবে অন্য কোনও সমস্যা তৈরি করার সময়, আইজি কম হতে পারে। ইন এই উদাহরণে লেখক এটি কিভাবে প্রদর্শন করা আকারের -nets$f$$\mathrm{OPT}_I \leq f(\mathrm{OPT}_f)$$\Theta(\log(m))$$\varepsilon$$\mathcal{O}((1/\varepsilon) \log \log (1/\varepsilon))$হিটিং সেট এর সীমাবদ্ধ উদাহরণগুলির জন্য যা অক্ষ-সমান্তরাল বাক্সগুলিতে আঘাতের সমস্যার সাথে সম্পর্কিত। এইভাবে তারা সমস্যার জন্য সর্বাধিক পরিচিত আনুমানিক ফ্যাক্টরটির উপর উন্নতি করে। এটি উন্নত করা যায় কি না এটি একটি উন্মুক্ত সমস্যা। যদি এই সীমাবদ্ধ হিটিং সেট উদাহরণগুলির জন্য, হিটিং সেট এলপির আইজি তবে নেট ফাইন্ডারের গ্যারান্টি দিয়ে ওয়ার্পসিলন-আকার ওপরেসিলন ডিজাইন করা অসম্ভব! , যেহেতু এটি করা এমন একটি অ্যালগরিদমের অস্তিত্বকে বোঝায় যে আকারের অবিচ্ছেদ্য আঘাতের সেটগুলির গ্যারান্টি দেয় but যেহেতু$\Theta(\log \log m)$$\varepsilon$$o((1/\varepsilon) \log \log (1/\varepsilon))$$o(\mathrm{OPT}_f \log\log \mathrm{OPT}_f)$$\mathrm{OPT}_f\leq m$এটি একটি ছোট একীকরণের ব্যবধান বোঝায়। সুতরাং যদি সংহতকরণের ব্যবধানটি বৃহত্তর হয় তবে প্রমাণ করে এটি ভাল নেট সন্ধানকারীদের সন্ধানে লোকদের তাদের সময় নষ্ট করা থেকে বিরত করতে পারে।

Answer 4

আপনি যখন কিছু এনপি-হার্ড ম্যাক্সিমাইজেশন সমস্যার জন্য একটি আনুমানিক অ্যালগরিদম নিয়ে আসছেন তখন বিভিন্ন মান রয়েছে যা আপনার যত্ন নিতে পারে: ওপিটি রয়েছে, আপনার সমস্যার অনুকূল মান, যা ওপিটি (আইপি) এর সমান, সর্বোত্তম আপনার সমস্যার সঠিক আইপি গঠনের মান। এছাড়াও আপনার আইপি লিনিয়ার শিথিলকরণের অনুকূল মান ওপিটি (এলপি) রয়েছে।

$OPT(LP) \geq OPT(IP)$

অবশেষে, ভি আছে, এলপি সমাধানটি গোল করে আপনি যে সমাধানটি শেষ করবেন তার মান। আপনার অ্যালগোরিদম একটি অনুমান হিসাবে দেখানোর জন্য আপনি prove প্রমাণ করতে সক্ষম হতে চাই তবে প্রায়শই সরাসরি এটি করা সম্ভব হয় না, কারণ আপনার কাছে এটি নেই সমাধান স্থান রাখা। পরিবর্তে, কি প্রায় সবসময় প্রমাণিত হয় যে । এটি অবশ্যই বোঝায় তবে এটি আরও শক্তিশালী। বিশেষত, যদি আপনার আইপি গঠনের একীকরণের ব্যবধানটি চেয়ে বড় হয় , তবে উপরের বিবৃতিটি সাধারণভাবে মিথ্যা হবে, যেহেতু আপনার বৃত্তাকারী পদ্ধতিটি অবিচ্ছেদ্য সমাধানের সাথে শেষ হয়।$V > \frac{OPT(IP)}{c}$$c$$V \geq \frac{OPT(LP)}{c}$$V > \frac{OPT(IP)}{c}$$c$

সুতরাং কর্সটি হ'ল: এলপি আপনাকে এমন একটি সমাধান দেয় যা আপনি জানেন "ভাল", এবং আপনি এটি "প্রায় ভাল" হিসাবে এমন কিছুতে গোল করতে চান। যদি অখণ্ডতা ব্যবধানটি বৃহত্তর হয় তবে এটি সাধারণভাবে অসম্ভব, যেহেতু এমন কোনও প্রক্রিয়া কখনই আসবে না যা এলপি সমাধান হিসাবে "অ্যামস্ট হিসাবে ভাল" একটি অবিচ্ছেদ্য সমাধান পাওয়ার গ্যারান্টিযুক্ত - কারণ কখনও কখনও, এগুলির অস্তিত্ব থাকে না!

Answer 5

আপনি ঠিক বলেছেন যে একটি শিথিলতার অখণ্ডতার গ্যাপের কোনও বৃত্তাকার অ্যালগরিদমের সাথে তেমন কোনও সম্পর্ক নেই। এগুলি দুটি ভিন্ন ধারণা। একীকরণের ব্যবধানটি একটি বিশেষ শিথিলতার সম্পত্তি। এটি হল, অনুকূল অবিচ্ছেদ্য মানের তুলনায় সেই শিথিলকরণের মান কত বড়?

কেন আমরা লিনিয়ার / উত্তল শিথিলতা সম্পর্কে যত্নশীল? কার্যকরভাবে একটি অবিচ্ছেদ্য মান আনুমানিক। অতএব, আমরা সাধারণত ক্ষেত্রে কেবল শিথিলকরণ সম্পর্কে কথা বলি যেখানে অনুকূল মান গণনা করা শক্ত এবং আমরা দক্ষ আনুমানিককরণে আগ্রহী। সংহতকরণের ব্যবধানগুলি এ জাতীয় কৌশলগুলি দ্বারা কী অর্জন করা যায় তার অন্তর্নিহিত সীমাবদ্ধতাগুলি আমাদের দেখায়।

সুতরাং, কেন আমরা শিথিলতার শীর্ষে গোলাকার অ্যালগরিদম সম্পর্কে যত্নশীল না? আমরা কেবলমাত্র সর্বোত্তম সমাধানের মানটির কাছাকাছি বিপরীত হিসাবে নিকটতম অনুকূল সমাধান সন্ধানের অ্যালগরিদমিক সমস্যা সমাধানের জন্য গোলাকার অ্যালগরিদম ব্যবহার করি । তদুপরি, প্রায়শই বৃত্তাকার অ্যালগরিদমগুলি প্রথম স্থানে শিথিলকরণের অবিচ্ছেদ্যতার গ্যাপকে আবদ্ধ করতে ব্যবহৃত হয়।

Comments

হুবহু, মনে হচ্ছে আসল সমস্যার জন্য আনুমানিক অ্যালগরিদমের কারণে লোকেরা আইপি ফর্মুলেশন এবং তাদের শিথিলতায় আগ্রহী, তবে আমি আইজির উপর আবদ্ধ প্রমাণ করে ফলস্বরূপ আনুমানিক অ্যালগরিদম (গুলি) সম্পর্কে আমরা কী শিখি তা বুঝতে পারি না।

— কাভেহ

Answer 6

প্রযুক্তিগতভাবে, একীকরণের ব্যবধানটি একটি নির্দিষ্ট আইপি গঠনের জন্য, (যেমন আপনি এটি তৈরি করেছিলেন) সেরা রৈখিক শিথিলকরণ এবং সর্বোত্তম সমাধানের (যা সমস্ত আইপি সূত্রের পরিমাণ প্রমাণিত হয়) মধ্যে রেশন নয়।

একটি অখণ্ডতার গ্যাপটি গুরুত্বপূর্ণ কারণ এটি নির্দিষ্ট এলপি তৈরির সীমাবদ্ধতা দেখায়। যদি আমি জানি যে একটি নির্দিষ্ট শিথিলার একীকরণের ফাঁক রয়েছে , তবে আমি আরও জানি যে যদি আমি কখনই চেয়ে আরও ভাল একটি সীমা প্রমাণ করার প্রত্যাশা করি তবে আমার একটি আলাদা সূত্র ব্যবহার করা দরকার।$c$$c$

Comments

হাই সুরেশ। আপনাকে ধন্যবাদ, আমি জানতাম যে আইজি একটি নির্দিষ্ট আইপি গঠনের জন্য, দুঃখিত যদি আমি এটি সঠিকভাবে না জানাই। আমি যা বুঝতে পারি না তা হ'ল আনুমানিক আলগোরিদিমগুলির সাথে আইজির সম্পর্ক এবং রাউন্ডিং প্রক্রিয়া শেষে আমরা চূড়ান্ত উত্তর পাই। আমার কাছে মনে হয় যে আইজি হ'ল মূল সমস্যাটির জন্য নির্দিষ্ট আসল শিথিলতার জ্যামিতিক সম্পত্তি এবং এটির আনুমানিক অ্যালগরিদমের সাথে সম্পর্ক আমার পক্ষে পরিষ্কার নয়। বিশেষত আনুমানিক অ্যালগরিদম সম্পর্কিত আইজির সীমানা আকর্ষণীয় করার কারণগুলি সম্পর্কে আমি আরও জানতে চাই।

— কাভেহ

হাই কাভেহ, আমি আমার জবাবগুলিতে সেই পয়েন্টগুলিকে স্পষ্ট করে বলার চেষ্টা করেছি। হতে পারে এটি সাহায্য করে।

— মরিটজ

আপনার প্রশ্নের একটি বিশেষ আকর্ষণীয় উত্তর হ'ল টিএসপি-র জন্য লিনিয়ার প্রোগ্রাম তৈরির চেষ্টা করে পি ভার্সেস এনপি-তে স্বর্ট আক্রমণ যার পূর্ণসংখ্যার সমাধান ছিল। মিহালিস ইন্নাকাকিস এই সুন্দর কাগজটি লিখেছিলেন যে তারপরে দেখানো হয়েছিল যে টিএসপি'র কোনও প্রতিসাম্যিক শিথিলকরণ পূর্ণসংখ্যার সমাধান ( dx.doi.org/10.1016/0022-0000(91)90024-Y ) এর সাথে একটি বহু আকারের গঠনের স্বীকৃতি দিয়েছে ।

— সুরেশ ভেঙ্কট

Answer 7

"নেটওয়ার্ক থ্রুপুট উন্নয়নের জন্য নেটওয়ার্ক কোডিংয়ের সুবিধার্থে" একটি খুব আকর্ষণীয় কাগজ ছিল যা দেখিয়েছিল যে স্টেইনার ট্রি সমস্যার জন্য "বিডাইরেক্টেড কাট রিলাক্সেস" এর একীকরণের ব্যবধানটি নেটওয়ার্ক যোগাযোগের ক্ষেত্রে একধরণের "কোডিং সুবিধা" এর সমান। আমি অন্যান্য অনেক অনুরূপ কাগজপত্র জানি না। তবে, এটিকে আরও লক্ষ করা উচিত যে স্টেইনার ট্রি সমস্যার জন্য আপাতদৃষ্টিতে আরও ভাল এলপি শিথিলকরণগুলি জানা যায় (যেমন স্টোক ২০১০-তে বাইরকা এট আল-এর নতুন হাইপারগ্রাফিক এলপি-ভিত্তিক আনুমানিক অ্যালগরিদম দেখুন, আমি নির্লজ্জভাবে স্বেচ্ছাসেবকও যে হাইপারগ্রাফিক অধ্যয়নরত কিছু সাম্প্রতিক কাগজপত্র সহগামী করেছি) এলপি)।

Answer 8

বেশিরভাগ উত্তর ইতিমধ্যে ইন্টিগ্রালটির গ্যাপ সম্পর্কে যত্ন নেওয়ার মূল কারণটি সম্বোধন করেছে, যথা, শিথিলকরণের দ্বারা প্রদত্ত সীমাটি ব্যবহারের উপর ভিত্তি করে একটি আনুমানিক অ্যালগরিদম সংহত ব্যবস্থার চেয়ে কোনও অনুপাত প্রমাণ করার আশা করতে পারে না। আমাকে আরও দুটি মেটা কারণ দেই যে কেন একীকরণের ব্যবধানটি কার্যকর গাইড। সংযোজক অপ্টিমাইজেশান সমস্যার একটি বৃহত শ্রেণীর জন্য বিচ্ছেদ এবং অপ্টিমাইজেশনের সমতুল্যতা দেখায় যে সঠিক অ্যালগরিদমগুলি সমস্যার সম্ভাব্য সমাধানগুলির উত্তল হলের সাথে নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত। এইভাবে জ্যামিতিক এবং অ্যালগরিদমিক দৃষ্টিভঙ্গি খুব ঘনিষ্ঠভাবে একত্রে আবদ্ধ হয়। অনুরূপ আনুষ্ঠানিক সমতুল্যতা আনুমানিক অ্যালগরিদমের জন্য পরিচিত না তবে এটি একটি দরকারী গাইড - অ্যালগোরিদম জ্যামিতিক শিথিলতার সাথে এক সাথে চলে। অ্যালগরিদমিক উদ্ভাবন তখন ঘটে যখন লোকেরা উন্নতির জন্য একটি দৃ concrete় লক্ষ্য রাখে।