বিপিপি বনাম পি কি সত্যিকারের সমস্যাটি জানতে পেরে বিপিপি পি / পলিতে রয়েছে?

আমরা জানি (এখন প্রায় 40 বছর ধরে এডলম্যান, বেনেট এবং ফুলকা ধন্যবাদ) যে অন্তর্ভুক্তি BPP পি / পলি, এবং একটি এমনকি শক্তিশালী BPP / বহু পি / পলি ধরে রাখুন। "/ পলি" মানে হল, আমরা কাজ অ অবিশেষে (প্রতিটি ইনপুট দৈর্ঘ্য জন্য পৃথক বর্তনী ), এবং পি ছাড়াই এই "/ পলি" অর্থ আমরা আছে এক জন্য টুরিং মেশিন সব সম্ভব ইনপুট লেন্থ , এমনকি বেশি, বলো, = পরবর্তী "বিগ ব্যাং" এর সেকেন্ডের সংখ্যা। $\subseteq$ $\subseteq$ $n$ $n$ $n$

প্রশ্ন 1: নতুন প্রমাণ (অথবা অপ্রমাণ) হবে BPP = পি আমাদের জ্ঞান অবদান আমরা জানি পর BPP পি / পলি? $\subseteq$

"নতুন" এর অধীনে আমি বোঝাতে চাইছি যে কোনও সত্যই বিস্ময়কর পরিণতি, যেমন অন্যান্য জটিলতা শ্রেণীর পতন / বিচ্ছিন্নতা। পরিণতি প্রমাণ / এর অপ্রমাণ সঙ্গে এই তুলনা দ্বারা NP পি / বহু উদ্ধার করবে। $\subseteq$

[08.10.2017 ]: বিপিপি পি এর সত্যিই অবাক করা পরিণতিটি , ইম্পাগলিয়াজো এবং উইগডারসন দেখিয়েছেন , ই = টিটিআইএম সমস্ত (!) সমস্যাগুলির আকার সার্কিট হবে । এই ফলাফলটি প্রত্যাহারের জন্য রায়ানকে ধন্যবাদ। $\not\subseteq$ $[2^{O(n)}]$ $2^{o(n)}$

প্রশ্ন ২: বিপিপি / পলি পি / পলির প্রমাণ হিসাবে আমরা কেন অনুরূপ লাইনের সাথে বিপিপি = পি প্রমাণ করতে পারি না ? $\subseteq$

ওয়ান "সুস্পষ্ট" বাধা সসীম বনাম অসীম ডোমেইন ইস্যু: বুলিয়ান সার্কিট কাজের উপর সসীম , ডোমেন টুরিং মেশিন কাজ যেহেতু বেশি সমগ্র সেট এর - যে কোন দৈর্ঘ্যের স্ট্রিং। সুতরাং, সম্ভাব্য বুলিয়ান সার্কিটকে অবতীর্ণ করার জন্য, সম্ভাব্য সংঘাতের সার্কিটের বেশিরভাগ স্বতন্ত্র অনুলিপি গ্রহণ এবং ইউনিয়নের সাথে আবদ্ধ হয়ে চেরনফের বৈষম্য প্রয়োগ করা যথেষ্ট। অবশ্যই, অসীম ডোমেনগুলির উপরে , এই সাধারণ সংখ্যাগরিষ্ঠ নিয়ম কাজ করবে না। $\{0,1\}^*$ $0$ $1$

কিন্তু এটি কি (অনন্ত ডোমেন) বাস্তব "বাধা"? স্ট্যাটিস্টিকাল লার্নিং থিয়োরি (ভিসি ডাইমেনশন) থেকে ফলাফলগুলি ব্যবহার করে আমরা ইতিমধ্যে প্রমাণ করতে পারি যে বিপিপি / পলি পি / পলি পাটিগণিত সার্কিটের (যেমন সমস্ত আসল সংখ্যার উপর কাজ করে) অসীম ডোমেনগুলিতে কাজ করার জন্য রয়েছে ; যেমন কাকারের এই কাগজ আল দেখুন। অনুরূপ পদ্ধতির ব্যবহার করার সময়, আমাদের কেবলমাত্র এটি দেখাতে হবে যে পলি-টাইম ট্যুরিং মেশিনগুলির ভিসি মাত্রা খুব বড় হতে পারে না। এই উত্তরোত্তর পদক্ষেপের জন্য কেউ কি কোনও প্রচেষ্টা দেখেছেন? $\subseteq$

উল্লেখ্য [যোগ 07.10.2017]: derandomization প্রসঙ্গে, একটি বর্গ ভিসি মাত্রা

ফাংশন

সর্বোচ্চ সংখ্যক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

যার জন্য সেখানে ফাংশন হয়

মধ্যে

যেমন যে প্রতি জন্য

একটা বিন্দু

সঙ্গে

F

$F$

f : X \to Y

$f:X\to Y$

v

$v$

f_{1}, \dots, f_{v}

$f_1,\ldots,f_v$

F

$F$

S \subseteq {1, \dots, v}

$S\subseteq\{1,\ldots,v\}$

(x, y) \in X \times Y

$(x,y)\in X\times Y$

iff

। অর্থাৎ আমরা ফাংশনগুলির মাধ্যমে পয়েন্টের সেটগুলিকে ছিন্নবিচ্ছিন্ন না করে পয়েন্টগুলির মাধ্যমে ফাংশনের সেটগুলি বিভক্ত করি। (উপাচার্য মাত্রা দুটি ফলাফল সংযুক্ত, তবে তাত্পর্যপূর্ণ।)

f_{i} (x) = y

$f_i(x)=y$

i \in S

$i\in S$

ফলাফলগুলি ( সম্ভাবনার ক্ষেত্রে অভিন্ন কনভার্জেনশন হিসাবে পরিচিত ) তারপরে নিম্নলিখিতগুলি বোঝায়: প্রতিটি ইনপুট জন্য যদি এলোমেলোভাবে বাছাই করা ফাংশন ( উপর কিছুটা সম্ভাব্যতা বন্টনের অধীনে ) একটি ধ্রুবক জন্য , তারপর উপর নির্ণিত করা যেতে পারে সব $x\in X$ $\mathbf{f}\in F$ $F$ $\mathrm{Prob}\{\mathbf{f}(x)=f(x)\}\geq 1/2+c$ $c>0$ $f(x)$ থেকে কিছু (স্থির) ফাংশনগুলির সর্বাধিক হিসাবে ইনপুট । দেখুন, উদাহরণস্বরূপ হসলারের কাগজে করোলারি 2 । [এটি ধরে রাখার জন্য, তে কিছু হালকা পরিমাপের শর্ত রয়েছে ]] $x\in X$ $m=O(v)$ $F$ $F$

উদাহরণস্বরূপ, যদি সমস্ত পলিনোমিয়ালের সেট হয় আকার গাণিতিক সার্কিটগুলি দ্বারা গণনাযোগ্য , তবে সমস্ত বহুবর্ণের সর্বাধিক ডিগ্রি থাকে । (যেমন দেখুন, polynomials এর শূন্য নিদর্শন সংখ্যার উপর পরিচিত উপরের কোট ব্যবহারের এই কাগজ ), একটি দেখাতে পারি যে, ভিসি মাত্রা হয় । এটি অন্তর্ভুক্তি বিপিপি / বহু বোঝায় $F$ $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ $\leq s$ $F$ $D=2^s$ $F$ $O(n\log D)=O(ns)$ পি/ গাণিতিক সার্কিট জন্য বহু। $\subseteq$

— Stasys
সূত্র

প্রশ্নোত্তর সম্পর্কিত: ইমপাগলিয়াজো-উইগডারসন (যেমন আপনি জানেন?)

— রায়ান উইলিয়ামস

I am confused by Q2. It seems obvious that the VC dimension of a poly-time TM is infinite. I.e. for any finite set

X \subseteq {0, 1}^{*}

$X \subseteq \{0,1\}^*$ and any

S \subseteq X

$S \subseteq X$ there exists a polytime TM that accepts the elements of

S

$S$ and rejects the elements of

X ∖ S

$X \setminus S$ . The key thing is that

X

$X$ is finite, so the polytime restriction is basically irrelevant.

— Sasho Nikolov

পুনরায় কিউ 2, অন্তর্ভুক্তির জটিলতা শ্রেণি এবং গণনার ক্ষমতার সাথে আমার আসলেই তেমন কিছু করার নেই, এটি পরামর্শের পরিমাণের তুলনায় এলোমেলো বিটগুলির পরিমাণ সম্পর্কে, তাই আমার মনে হয় না এটি আমাদের প্রকৃতি সম্পর্কে কোনও তথ্য দেয় দক্ষ গণনা।

— Kaveh

@ কাভাহ: ইঙ্গিতটি "এলোমেলো বিটগুলির পরিমাণ বনাম পরামর্শের পরিমাণ" বিবেচনা করার মতো! তবে আমার (সাধারণ) মনে, এমনকি পি বনাম এনপি-র মতো প্রশ্নগুলিতে আমরা আসলে (ইউনিফর্ম) টিএম তৈরির "স্পষ্ট" নির্মাণের বিষয়ে চিন্তা করি না। এই জাতীয় প্রশ্নগুলি কেবল দক্ষ অ্যালগরিদমের অস্তিত্ব সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করে । অবশ্যই, একটি নির্মাণ অস্তিত্বের "সন্দেহ নেই" প্রমাণ proof তবে কিছু কম প্রত্যক্ষ প্রমাণও থাকতে পারে । সুতরাং, জিনিসগুলি "প্রতিটি

জন্য অস্তিত্ব" সমস্ত

অস্তিত্ব দেখানোর ক্ষেত্রে হ্রাস করে । অর্থাৎ

করার

।

n

$n$

n

$n$

\forall \exists

$\forall\exists$

\exists \forall

$\exists\forall$

— স্ট্যাসাইস

আপনি চলমান সময় ঠিক করে নিলেও, ভিসি-ম্লান অসীম হবে। আপনি যেটা আশা করতে পারেন তা হ'ল ইনপুট সাইজের

চলমান

- বাউন্ডযুক্ত টিএমের ভিসি-ডিমে আবদ্ধ করা । তবে আপনি যদি তর্কটি নিয়ে ভাবেন, আপনাকে প্রতিটি

জন্য সম্ভাব্য বিভিন্ন টিএম-এর সংখ্যাগরিষ্ঠতা নিতে হবে : অদ্বিতীয়তা।

T

$T$

n

$n$

n

$n$

— সাশো নিকোলভ

এটি কতটা উত্তর তা নিশ্চিত নয়, আমি কিছুটা গুঞ্জনে লিপ্ত হচ্ছি।

প্রশ্ন 1 সমানভাবে পি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করা যেতে পারে দ্বারা NP এবং একটি অনুরূপ উত্তর দিয়ে - ফলাফলের প্রমাণ করার জন্য ব্যবহৃত কৌশল / ধারনা বড় ব্রেকথ্রু উপসংহার নিজেই চেয়ে বেশি, তাই হবে। $\neq$

প্রশ্ন 2 এর জন্য আমি কিছু পটভূমি এবং একটি চিন্তা ভাগ করতে চাই। বিপিপি = পি সম্পর্কে আমাদের যতটুকু কৌশল এবং ধারণাগুলি রয়েছে তা হ'ল "ড্যারানডমাইজেশন" এর মাধ্যমে যান: যেকোনও সম্ভাব্য পলিটটাইম টুরিং মেশিন দেওয়া হয়, এলোমেলো পরিবর্তে একটি গুচ্ছ ডিটারনিস্টিকালি বেছে নেওয়া বিট খাওয়ানোর জন্য একটি পিআরজি তৈরি করুন সাধারণত, এর আচরণ সত্যিকারের এলোমেলো বিটগুলির সাথে তার আচরণের সাথে খুব মিল very সুতরাং যথেষ্ট ভাল সিউডোর্যান্ডম জেনারেটর সহ আমরা বিপিপি = পি পাই। (গোল্ডরিচের "বিপিপি = ওয়ার্ল্ডের ওয়ার্ল্ড" প্রমাণ দেয় যে বিপিপি = পি এর যে কোনও প্রমাণ অবশ্যই এটির সাথে সমান হবে))

এটি বিপিপি পি / পলি এর লাইনে বেশ প্রায় , পিআরজি হ'ল পরামর্শের স্ট্রিং যা যাদু দ্বারা উত্পাদিত হয়। আপনার প্রশ্ন 2 এর সর্বোত্তম উত্তরটি হ'ল পি তে আমাদের কোনও যাদু নেই এবং পরামর্শের স্ট্রিংটি নিজেই নিয়ে আসা উচিত। ডেরানডমাইজেশন হ'ল 2004 এর ফলাফল এসএল = এল এর পিছনে থাকা ধারণা, এক্সপেন্ডার গ্রাফের মতো সরঞ্জাম ব্যবহার করে। $\subseteq$

এখন বিবেচনা করুন যে এই জাতীয় প্রমাণটি কেবলমাত্র একটি নির্দিষ্ট অ্যালগরিদম, মিলার-রবিন প্রিমালিটি টেস্টের জন্য কী বোঝায়। এটি এমন কিছু নির্বিচার জেনারেটরের অস্তিত্ব প্রদর্শন করবে যা মিলার-রবিন আদিমতার পরীক্ষায় খাদ্য সরবরাহের জন্য পূর্ণসংখ্যার ক্রম বের করে, যদি এবং কেবলমাত্র সমস্ত সংখ্যার পাস হয় তবে মূল সংখ্যাটি প্রধান ছিল।

যেহেতু আমি এটি বুঝতে পেরেছি (যদিও আমি কোনও বিশেষজ্ঞ নই), এই জাতীয় তালিকা উপস্থিত রয়েছে কিনা এবং এর মধ্যে সংখ্যাগুলি কতটা কম হতে পারে (বিশেষত যদি এটি কিছু সংখ্যার নীচে সমস্ত সংখ্যা চেক করার পক্ষে যথেষ্ট হয়) তবে এটি বেশ গভীর প্রশ্ন বলে মনে হয় সংখ্যা তত্ত্ব এবং জেনারালাইজড রিমন হাইপোথেসিসের প্রমাণিত ফর্মগুলির সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। এই প্রশ্নটি দেখুন । আমি মনে করি না যে এখানে আনুষ্ঠানিকভাবে জড়িত রয়েছে, তবে এটি এমন একটি বলে মনে হচ্ছে না যা আমরা পরের সপ্তাহে আরও অনেক সাধারণ পিআরজি নির্মাণের একটি দুর্ঘটনাযুক্ত ক্ষুদ্রতরঙ্গ হিসাবে পেয়ে যাব বলে আশা করি।

— উসূল
সূত্র

Interesting thoughts! Oded's paper suggests that Q2 indeed reduces to "existence vs. construction" of PRGs. In derandomization via VC dimension, algorithmic aspects are entirely ignored.

— Stasys

Thanks to all (Kaveh, Ricky, Ryan, Sasho and "usul"): I've learned a lot from your comments. "Uniformity" was never an issue in my life, hence the naivity of my questions. I am accepting the answer of "usul". Complemented by very interesting remarks of Kaveh, Ricky, Ryan and Sasho, this answers my both questions.

— Stasys