কেবলমাত্র আনুমানিক সর্বোচ্চ কোয়েরি ব্যবহার করে একটি আনুমানিক আরগম্যাক্স সন্ধান করুন

নিম্নলিখিত সমস্যা বিবেচনা করুন।

আছে অজানা মান । কাজটি হ'ল নিম্নলিখিত ফর্মের কেবলমাত্র প্রশ্নগুলি ব্যবহার করে বৃহত্তম একের সূচকটি সন্ধান করা। একটি প্রশ্নের সাথে একটি সেট নির্ধারণ করা হয় এবং সংশ্লিষ্ট জবাব । লক্ষ্যটি হ'ল যতটা সম্ভব ক্যোয়ারী ব্যবহার করা। $n$ $v_1, \cdots, v_n \in \mathbb{R}$ $S \subseteq \{1,\cdots,n\}$ $\max_{i \in S} v_i$

এই সমস্যাটি সহজ: আমরা $O(\log n)$ প্রশ্নের সাথে আরগম্যাক্স খুঁজতে বাইনারি অনুসন্ধান ব্যবহার করতে পারি । অর্থাত সঙ্গে একটি সম্পূর্ণ বাইনারি ট্রি নির্মাণ $n$ পাতার সূচকের সংশ্লিষ্ট। মূল থেকে শুরু করুন এবং নীচে একটি পাতায় হাঁটুন। প্রতিটি নোডে ডান এবং বাম সাবট্রিজের সর্বাধিক মানটি জিজ্ঞাসা করুন এবং তারপরে বড় উত্তর দিয়ে পাশের সন্তানের দিকে যান। একটি পাতায় পৌঁছে, তার সূচক আউটপুট।

এই সমস্যাটির নীচের গোলমাল সংস্করণটি আমার গবেষণায় উঠে এসেছে।

আছে $n$ অজানা মান $v_1, \cdots, v_n$ । এগুলি প্রশ্নের সাথে অ্যাক্সেস করা যেতে পারে যেখানে একটি সেট $S \subseteq \{1, \cdots, n\}$ specified নির্দিষ্ট করা হয়েছে এবং একটি নমুনা $\mathcal{N}(\max_{i \in S} v_i,1)$ ফিরে এসেছে। লক্ষ্যটি হ'ল কে $i_* \in \{1, \cdots, n\}$ যেমন $\mathbb{E}[v_{i_*}] \geq \max_i v_i - 1$ যতটা সম্ভব প্রশ্নগুলি ব্যবহার করে চিহ্নিত করা। (প্রত্যাশাটি এর পছন্দ সম্পর্কে শেষ $i_*$ , যা অ্যালগরিদমের মুদ্রা এবং শোরগোলের প্রশ্নের উত্তর উভয়ের উপর নির্ভর করে))

ধরা যাক আমরা আগের মতো একই বাইনারি অনুসন্ধান কৌশলটি ব্যবহার করে সমাধান করার চেষ্টা করেছি (তবে গোলমাল উত্তরের সাথে)। এটি এবং এটি সবচেয়ে নিকৃষ্টতম এটি প্রদর্শন করা যুক্তিসঙ্গতভাবে সহজ । আমরা প্রতিটি ক্যোয়ারী বার বার এবং গড় (যা বৈকল্পিকতা চালিত করে ব্যবহার করে কাঙ্ক্ষিত এ ত্রুটিটি হ্রাস করতে পারি । এটি কোয়েরিগুলি ব্যবহার করে একটি অ্যালগরিদম দেয় । $\mathbb{E}[v_{i_*}] \geq \max_i v_i - O(\log n)$ $1$ $O(\log^2 n)$ $O(\log^3 n)$

আরও ভাল অ্যালগরিদম আছে? আমি অনুমান করি যে অনুসন্ধানগুলি যথেষ্ট। এবং আমি বিশ্বাস করি যে আমি একটি নিম্ন প্রমাণ করতে পারি । এছাড়াও, সমস্যাটি সহজ হয়ে যায় - যেমন বাইনারি অনুসন্ধানের মাধ্যমে প্রশ্নগুলি - এই প্রতিশ্রুতি অনুসারে যে বৃহত্তম মান এবং দ্বিতীয় বৃহত্তম মানের মধ্যে একটি ব্যবধান রয়েছে। যদি এটি সহায়তা করে তবে আপনি মানগুলি এবং এর মধ্যে রয়েছে বলে ধরে নিতে পারেন । $O(\log^2 n)$ $\Omega(\log^2 n)$ $\tilde{O}(\log n)$ $\Omega(1)$ $0$ $O(\log n)$

— টমাস
সূত্র

বাইনারি অনুসন্ধান সম্পর্কে কী যা প্রতিটি স্তরে ও (লগ এন) কোয়েরি জোড়া তৈরি করে (বাম হাতের সর্বাধিকের জন্য একটি, ডান হাতের সর্বাধিকের জন্য একটি) এবং কে জিতবে তা রেকর্ড করে। তারপরে, ও (লগ এন) রাউন্ডের পরে অ্যালগরিদমটি সর্বাধিক বার "জিতেছে" যে দিকে পুনরাবৃত্ত হয়। আমার মাথার একটি সংক্ষিপ্ত গণনা থেকে বোঝা যাচ্ছে যে এটি সেটিংয়ে সম্ভাব্য যেখানে একটি ইনপুট এবং অন্য সমস্ত হয় ... আমি যদিও যাই হোক off

1 - 1 / n^{c}

$1-1/n^c$

2

$2$

0

$0$

— ড্যানিয়েলো

@ লাডিয়েলো এটি যখন কাজ করে তখন সবচেয়ে বড় এবং দ্বিতীয় বৃহত্তম মানের মধ্যে ব্যবধান থাকে। সাধারণ কেসটি যদিও আরও কঠিন বলে মনে হচ্ছে।

— থমাস

— স্বরে

নিম্ন বাউন্ডের দিকে কোনও ধারণার বা দু'জনের বাড়ানো মন্তব্য। আসুন , বলুন (যদিও সেরা পছন্দটি আলাদা হতে পারে), এবং । এলোমেলোভাবে অভিন্নভাবে এই মানগুলির ক্রমবিন্যাস বাছাই করে ইনপুট অঙ্কন বিবেচনা করুন। $B = \Theta(\log n)$ $\{v_1,\dots,v_n\} = \{\frac{1}{n}B, \dots, \frac{n-1}{n}B, B\}$

ধারণাটি এমন হওয়া উচিত যে আমরা যদি এবং মান বাদে সমস্ত মানের সূচকগুলি ঠিক করি তবে আমাদের অন্যটির তুলনায় একটি বাছাইয়ের অ্যালগরিদমের সম্ভাবনার পার্থক্যটি দেখাতে সক্ষম হওয়া উচিত খুব ছোট: দুটি উপলভ্য সূচকগুলিতে এই মানগুলির অ্যাসাইনমেন্টের উপর 50-50 বিতরণ এবং প্রশ্নের কোনও ক্রমের ফলাফলের ভিত্তিতে অ্যালগোরিদমের প্রশ্নের ফলাফলগুলির মধ্যে পরিবর্তনের দূরত্ব খুব কম। $B$ $\frac{n-1}{n}B$

এই যুক্তিটি সংলগ্ন মানগুলির প্রতিটি জুটির জন্য ধারণ করে, তাই আমরা আলগোরিদমটি সর্বোচ্চ, দ্বিতীয়-সর্বোচ্চ, ... মানগুলি সম্ভাব্যতার উপর চাপের এক শৃঙ্খলা পাই। এটি অ্যালগরিদমের প্রত্যাশিত মানকে উপরের সীমাবদ্ধ করে দেয়, সুতরাং আমরা সেই উপরের সীমাটি তে সেট করে দিয়েছি এবং দেখুন প্রশ্নের সংখ্যাটি কী হতে হবে। $B-1$

আমি উপরের পদ্ধতির সাথে এখনও উন্নত করতে পারিনি , তবে আমি মনে করি আপনি যদি প্রশ্নগুলি একবারে একাধিক পদক্ষেপে সহায়তা করতে না পারেন তবে এই বিষয়টি উপস্থাপন করতে পারলে আপনি get get পারেন। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা সর্বাধিক মানটিকে অন্য সূচকে স্থানান্তরিত করি তখন কোনও কোয়েরি পরিবর্তিত হয়, তখন আমরা যখন অন্য কোনও মানকে অন্য সূচকে স্থানান্তরিত করি তখন এটির কোনও পরিবর্তন হয় না। $\log n$ $(\log n)^2$

ডিফারেনশিয়াল গোপনীয়তা এই পদক্ষেপগুলির মধ্যে একটির জন্য সহায়ক হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ যদি আমরা কেবলমাত্র সেই ক্ষেত্রেটি সম্পর্কে চিন্তা করি যেখানে আমরা দুটি সর্বোচ্চ মানের অবস্থানটি স্ব্যাপ করে থাকি তবে এই প্রশ্নের "সংবেদনশীলতা" কেবলমাত্র এবং তারপরে উন্নত রচনা সহায়ক হতে পারে। $\frac{B}{n}$

দুঃখিত এটি অর্ধ-বেকড, তবে আশা করি এটি কার্যকর হতে পারে!

— উসূল
সূত্র

আমি নীচের সীমানা সম্পর্কে খুব বেশি চিন্তা করি না, যেহেতু আমি উপরের সীমানার জন্য আশা করি। :) শব্দহীন ক্ষেত্রে এমনকি ধারণ করে। আমি মনে করি আমাদের একটি নিম্ন সীমা প্রমাণ করতে সক্ষম হওয়া উচিত ।

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$

Ω (\log^{2} n)

$\Omega(\log^2 n)$

— থমাস

ঠিক আছে. আমার কাছে একটি স্কেচ রয়েছে নিম্ন আবদ্ধ, তবে এটি কিছুটা জটিল।

Ω (\log^{2} n)

$\Omega(\log^2 n)$

— থমাস