নিষিদ্ধ নাবালিকাদের খুঁজে পাওয়া কোনও অ্যালগরিদম আছে কি?

রবার্টসন-সিমুর উপপাদ্য বলছেন যে কোনো ছোটখাট-বদ্ধ পরিবার $\mathcal G$ গ্রাফের চূড়ান্তভাবে অনেক নিষিদ্ধ নাবালকের দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে।

একটি ইনপুট জন্য একটি অ্যালগরিদম আছে কি? $\mathcal G$ নিষিদ্ধ নাবালিকাকে আউটপুট দেয় বা এটি অনস্বীকার্য?

স্পষ্টতই, উত্তরটি কীভাবে নির্ভর করবে $\mathcal G$ ইনপুট বর্ণিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি $\mathcal G$ একটি দ্বারা দেওয়া হয় $M_\mathcal G$ যা সদস্যপদ স্থির করতে পারে, আমরা এমনকি সিদ্ধান্ত নিতে পারি না $M_\mathcal G$ কখনও কিছু প্রত্যাখ্যান। যদি $\mathcal G$ চূড়ান্তভাবে অনেক নিষিদ্ধ নাবালিকাদের দেওয়া হয় - ভাল, আমরা এটিই সন্ধান করছি। আমি উত্তর জানতে আগ্রহী হবে যদি $M_\mathcal G$ যে কোনও থামার গ্যারান্টিযুক্ত $G$ সময় নির্দিষ্ট পরিমাণে $|G|$ । আমি কোনও সম্পর্কিত ফলাফলের সাথে আগ্রহী, যেখানে $\mathcal G$ অন্য কিছু শংসাপত্রের (যেমন ক্ষেত্রে ক্ষেত্রে) মাইনর-ক্লোজড প্রমাণিত হয় $TFNP$ বা ভুল প্রমাণ )।

আপডেট: আমার প্রশ্নের প্রথম সংস্করণটি মারজিও এবং কিম্পেলের ধারণার উপর ভিত্তি করে বেশিরভাগ সহজ হয়ে গেছে, নিম্নলিখিত নির্মাণটি বিবেচনা করুন। $M_\mathcal G$ একটি গ্রাফ গ্রহণ করে $n$ উল্লম্ব যদি এবং শুধুমাত্র যদি $M$ থামছে না $n$ ধাপ। এটি সামান্য বন্ধ এবং চলমান সময় কেবল তার উপর নির্ভর করে $|G|$ ।

graph-theory decidability graph-minor

— domotorp
সূত্র

যদি

G

$\mathcal G$ সর্বদা থামানো টিএম দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়

M_{G}

$M_\mathcal G$ , আপনি এটিকে থামিয়ে দিতে সমস্যা হ্রাস করতে পারেন: প্রদত্ত

M

$M$ বিল্ড

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$ যে হ্যাঁ আউটপুট যদি এবং শুধুমাত্র যদি

M

$M$ ঠিক ভিতরে l

x

$x$ পদক্ষেপ (

(G_{1}, G_{2}, . . .

$(G_1,G_2,...$ মানক গ্রাফ গণনা)।

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$ সর্বাধিক এক নিষিদ্ধ নাবালককে গ্রহণ করে, তাই

G

$\mathcal G$ একটি অপ্রাপ্তবয়স্ক-বদ্ধ পরিবার; সুতরাং সমস্যা অনস্বীকার্য।

— মারজিও ডি বায়াসি

@ থমাসক্লিম্পেল: ওপস, আমি প্রশ্নটি ভুল বুঝেছি। সম্ভবত একটি সংশোধন হ'ল:

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$ প্রথম অনুসন্ধান করুন

G_{i}, i \leq x

$G_i, i \leq x$ যেমন যে

M

$M$ ঠিক ভিতরে l

i

$i$ পদক্ষেপগুলি তারপর গ্রহণ করুন

G_{i}

$G_i$ নাবালক না

G_{x}

$G_x$ ; অন্যথায় প্রত্যাখ্যান।

— মারজিও ডি বায়াসি

@ মারজিও হ্যাঁ, সরল করতে:

M_{G}

$M_\mathcal G$ একটি গ্রাফ গ্রহণ করে

n

$n$ উল্লম্ব যদি এবং শুধুমাত্র যদি

M

$M$ থামছে না

n

$n$ ধাপ। এটি সামান্য বন্ধ এবং চলমান সময় কেবল তার উপর নির্ভর করে

| G |

$|G|$ ।

— ডোমোটরপ

ঠিক আছে, আমি থামিয়ে ব্যাখ্যা করছি যে যদি

M

$M$ থেমে আছে

2

$2$ পদক্ষেপগুলি, তারপরে আমরা এটিও বলি যে এটি বন্ধ রয়েছে

3

$3$ ধাপ।

— ডোমোটরপ

@ ডমোটরপ যেহেতু আপনার নির্মাণ কাজ করে (যদি আমার ভুল হয় না), এবং আপনার একটি প্রশ্নের উত্তর দেয় (এবং যেহেতু মার্জিও ডি বিয়াসি এবং আমি সাফল্য ছাড়াই এ জাতীয় একটি সহজ নির্মাণের চেষ্টা করার চেষ্টা করেছি), তাই আমি মনে করি আপনার নির্মাণকে একটি রূপান্তরিত করা উচিত সঠিক উত্তর। আপনি যদি নিজের প্রশ্নের উত্তর জানাতে অস্বস্তি বোধ করেন তবে আপনি এটি একটি সম্প্রদায় উইকি তৈরি করতে পারেন। বিকল্পভাবে, আপনি আপনার প্রশ্ন সম্পাদনা করতে পারেন এবং উত্তরটি সেখানে যুক্ত করতে পারেন।

— থমাস ক্লিম্পেল

মামাদউ মৌস্তফা কান্তি ( ব্রুনো কারসেলের তত্ত্বাবধানে পিএইচডি করেছেন ) এর অনুরূপ প্রশ্নের মধ্যে বি কৌসেলেল , আর ডউনি এবং মোনাডিক সেকেন্ড অর্ডার আইডিয়ালস ( ১৯৯ 1997) এর গ্রাফ মাইনর অবস্ট্রাকশন সেটের কমপ্যাটিবিলিটি-এ একটি নোট উল্লেখ করেছেন । এম। একটি অ-কম্পিউট্যবিলিটি ফলাফলের জন্য ফেলো ( এমএসএল-ডেফিনিটেবল গ্রাফ ক্লাসগুলির জন্য, অর্থাত্ একটি মোনাডিক দ্বিতীয় আদেশের সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত ক্লাস) এবং বি দ্বারা প্রসঙ্গ-মুক্ত ব্যাকরণ (1998) দ্বারা সংজ্ঞায়িত গ্রাফের একটি ছোট-বন্ধ সেটগুলির প্রতিবন্ধকতা .কর্পণযোগ্য ফলাফলের জন্য কর্সেল এবং জি। সিনিজারগগুলি ( এইচআর- নির্ধারণযোগ্য গ্রাফ ক্লাসগুলির জন্য, অর্থাত্ হাইপারডজ রিপ্লেসমেন্ট ব্যাকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত ক্লাস)।

গণনাযোগ্য এবং অ-গণনীয় কেসের মধ্যে গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্যটি হ'ল (মাইনর-ক্লোজড) এইচআর-প্রফেসনযোগ্য গ্রাফ ক্লাসগুলিতে বৃক্ষের প্রশস্ততা আবদ্ধ রয়েছে, যখন (মাইনর-ক্লোজড) এমএসএল-স্পেসিফিক গ্রাফ ক্লাসগুলিতে বাউন্ড ট্রিউডথের প্রয়োজন নেই। প্রকৃতপক্ষে, যদি কোনও (মাইনর-ক্লোজড) এমএসএল-ডেফিনেবল গ্রাফ ক্লাসে গাছের চতুর্দিকে আবদ্ধ থাকে, তবে এটিও এইচআর-নির্ধারণযোগ্য।

গাছের প্রস্থটি অ-গুণনীয়যোগ্য ক্ষেত্রেগুলি থেকে কম্পিউটারটিকে পৃথক করার পক্ষে সত্যই গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা বলে মনে হয়। আরেকটি জ্ঞাত ফলাফল (এম ফেলোস এবং মিঃ ল্যাংস্টন দ্বারা) মূলত বলেছে যে বাদ পড়া অপ্রাপ্তবয়স্কদের সীমাবদ্ধ সীমাটির সর্বাধিক বৃক্ষের প্রশস্ততা (বা প্যাথউইথ) এর সীমাটি যদি জানা থাকে, তবে বাদ দেওয়া অপ্রাপ্তবয়স্কদের (সীমাবদ্ধ) ন্যূনতম সেটটি হয়ে যায় গণনীয়।

এমনকি এও জানা যায়নি যে ইউনিয়নটির জন্য (সীমাবদ্ধ) অপ্রাপ্ত বয়স্ক নাবালকের ন্যূনতম সেটটি (যা তুচ্ছভাবে মাইনর-ক্লোজড) অপ্রাপ্ত বয়স্ক নাবালকের নিজ নিজ সুনির্দিষ্ট সেট দ্বারা প্রদত্ত প্রত্যেকটি ন্যূনতম-বদ্ধ গ্রাফ শ্রেণীর গণনা করা যায় কিনা, যদি তথ্য না থাকে ট্রিউইডথ (বা পাথউইথ) সম্পর্কে উপলব্ধ। অথবা সম্ভবত এটি ইতিমধ্যে প্রমাণিত হয়েছে যে এটি সাধারণভাবে অ-গণনাযোগ্য।

— টমাস ক্লিম্পেল
সূত্র

এই শেষ অংশটি বেশ আকর্ষণীয়। যদি ভালভাবে বুঝতে হয় তবে এটি নিম্নলিখিতটি বোঝায়। গ্রাফ পরিবারের জন্য

G

$\mathcal G$ দ্বারা চিহ্নিত করুন

m (G)

$m(\mathcal G)$ বৃহত্তম নিষিদ্ধ সর্বনিম্ন নাবালকের আকার। দিন

f (n) = max {m (G_{1} \cup G_{2}) ∣ m (G_{1}), m (G_{2}) \leq n}

$f(n)=\max \{m(\mathcal G_1 \cup \mathcal G_2)\mid m(\mathcal G_1),m(\mathcal G_2)\le n\}$ । তারপরে জন্য কোনও পরিচিত পুনরাবৃত্ত upperর্ধ্বসীমা নেই । আপনি কি এমন কিছু উদাহরণ জানেন যা খুব দ্রুত বৃদ্ধি পায়?

f (n)

$f(n)$

f (n)

$f(n)$

— ডোমোটরপ

@ ডমোটরপ আমি একমত, ভাল কথা। এই জাতীয় উদাহরণগুলির জন্য আমার কাছে কিছু ধারণা রয়েছে তবে আমার ধারণা আছে যে আমার সমস্ত উদাহরণগুলির বৃদ্ধির হার (যা মূলত "গ্রিড" মাত্রা নিয়ে খেলতে চেষ্টা করে) এলিমেন্টারিতে থাকবে। যাইহোক, আমি বিশ্বাস করি যে যদি আমি এই প্রশ্নগুলিতে সময় ব্যয় করতে চাই, তবে আমার প্রথমে ২০০০-২০১৮ সালে কী ঘটেছিল সে সম্পর্কে সাহিত্য অধ্যয়ন করা উচিত, সম্ভবত আমি যে কাগজগুলি সম্পর্কে জানি সেগুলি উদ্ধৃত করে বা সন্ধানের মাধ্যমে লেখকদের পরবর্তী প্রকাশনা যা এই প্রশ্নগুলিতে কাজ করেছিল।

— থমাস ক্লিম্পেল

আমি দেখছি - ভাল, আমি উত্তরটি জানার জন্য মরিয়া নই, কেবল আমি অবাক হয়ে কৌতূহলী হয়ে উঠলাম ...

— ডমোটরপ

@ ডমোটরপ ইউনিয়নের জন্য বাদ পড়া অপ্রাপ্তবয়স্কদের ন্যূনতম সেটটি ২০০৪ সালে গণনাযোগ্য হিসাবে দেখানো হয়েছে: লজিক.লাস.টি.বার্লিন.ডে

— টমাস ক্লিম্পেল