টাইপ থিওরি / প্রোগ্রামিং ভাষা তত্ত্বে বীজগণিত জ্যামিতির প্রয়োগ

Question

ইদানীং, আমি বীজগণিত জ্যামিতিতে আগ্রহী হয়েছি এবং এর উপর পড়া শুরু করেছি। আমি এখনও এই ক্ষেত্রটি সম্পর্কে খুব কম জানি, তবে আমার প্রধান ক্ষেত্র, টাইপ তত্ত্ব এবং প্রোগ্রামিং ভাষার সাথে এর কোনও সংযোগ আছে কিনা তা জানতে চাই।

আমি জানি যে বীজগণিত টপোলজির টাইপ থিওরিতে প্রচুর অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে (হোমোটোপি টাইপ থিওরি, এবং আরও অনেক), তবে বীজগণিত জ্যামিতির কী হবে, এ ছাড়া টাইপ থিওরি / পিএল থিওরি এবং এজি উভয়ই বিভাগের তত্ত্বের ভাল প্রেরণাদায়ক?

Comments

এটি আপনার প্রশ্নের উত্তর নয়, তবে বীজগণিত টপোলজিও সম্মতিযুক্ত তত্ত্বে প্রয়োগ করা হয়েছে। দিকনির্দেশিত মোটোটোপিটি দেখুন এবং সেই সম্পর্কে ফস্যাকস 2019 এ একটি কাগজ রয়েছে।

— হেনিং বাসল্ড

আমিও কম্পিউটার প্রোগ্রামিং এবং গণিত গবেষণা শিক্ষার্থীর প্রতি আগ্রহী। আমার সুপারভাইজার টপোলজিস্ট। তবে আমি লিনিয়ার বীজগণিতের মতো কম্পিউটার বিজ্ঞানের সাথে সম্পর্কিত গণিতে গবেষণা করতে চাই। আমার থিসিসের বিষয় অনুসন্ধান করার জন্য আমার সাহায্যের প্রয়োজন যাতে আমি তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানে গবেষণা করতে পারি তবে আমার কোথা থেকে শুরু হওয়া উচিত তা আমি জানি না। আমার থিসিস বিষয়টির জন্য সহায়তা প্রয়োজন যাতে আমি আমার আগ্রহী ক্ষেত্রটি নিয়ে গবেষণা করতে পারি।

— সৈয়দ মুহাম্মদ আসাদ

@ সাইয়েদমহম্মদআসাদ আমিও একজন শিক্ষার্থী তাই আমি জিজ্ঞাসা করা ব্যক্তি নই। আপনার এই ক্ষেত্রে কিছু বিশেষজ্ঞের পরামর্শ নেওয়া উচিত। টপোলজির (বিশেষত বীজগণিতের) টাইপ তত্ত্বের সাথে গভীর সংযোগ রয়েছে যাতে আপনি সেখানে শুরু করতে পারেন।

— xrq

Answer 1

আমার জ্ঞানের (যা স্পষ্টতই অসম্পূর্ণ), এটি নিয়ে তুলনামূলকভাবে খুব কম কাজ হয়েছে, সম্ভবত এটি জ্ঞানের দুটি তুলনামূলকভাবে জটিল জড়িত শরীরের সংশ্লেষ প্রয়োজন। তবে সামান্য অর্থ অস্তিত্বহীন নয় not থিয়েরি কোকোয়ান্ড এবং তার সহযোগীরা কম্যেটেটিভ বীজগণিত এবং গঠনমূলক যুক্তির মধ্যে সংযোগ সম্পর্কে বেশ কয়েকটি কাগজ লিখেছিলেন।

• থিয়েরি কোকোয়ান্ড, হেনরি লোম্বার্ডি। বিমূর্ত বীজগণিতের জন্য একটি যৌক্তিক পন্থা ।

  এই কাগজটি গ্রেডের শিক্ষার্থী হিসাবে আমার উপর প্রচুর ছাপ ফেলেছিল - আত্মবিশ্বাসী ও মুক্ত উপায় যেটি প্রুফ থিওরি এবং মডেল তত্ত্বের ধারণাগুলি অনর্থক করার জন্য ব্যবহার করেছে, সঠিক গণিতটি আমি খুব প্রশংসা করেছি এবং যার জন্য আমি এখনও আগ্রহী।

• হেনরি লোম্বার্ডি এবং ক্লড কুইটের একটি (অবাধে উপলভ্য) পাঠ্যপুস্তক, আবর্তনীয় বীজগণিত: গঠনমূলক পদ্ধতি রয়েছে ।

  শিরোনাম অনুসারে, এটি বীজগণিত জ্যামিতির পরিবর্তে পরিবর্তিত বীজগণিত, তবে যেহেতু কম্যেটেটিভ বীজগণিত বীজগণিত জ্যামিতির জন্য অনেক অবকাঠামো সরবরাহ করে তা এখনও আগ্রহী হবে।

এলাকায় বেশ কয়েকটি আকর্ষণীয় পিএইচডি থিসিসও রয়েছে:

• টাইপ থিওরিতে আন্দ্রে মার্টবার্গের পিএইচডি থিসিস ফর্মালাইজিং রিফাইনমেন্টস এবং কনস্ট্রাকটিভ বীজগণিত

  একবার আপনার কাছে গঠনমূলক প্রমাণ হয়ে গেলে আপনি একটি অ্যালগোরিদম পেয়ে গেছেন। এই থিসিস সেই অ্যালগোরিদমগুলিকে দক্ষ করে তোলার দিকে তাকিয়ে আছে।

• বাসেল মান্নার পিএইচডি থিসিস, কনফেক্টিভ বীজগণিত ও টাইপ থিওরিতে শেফ সিমানটিকস

  এই থিসিসে তিনি নিউটন-পুইসাক্স উপপাদ্যকে গঠনমূলকভাবে প্রমাণ করেছিলেন, পাশাপাশি মার্কভের নীতিটির স্বাধীনতাও করেছিলেন। এটি শেফ-সিনমেটিক পদ্ধতিগুলির জ্যামিতি এবং যুক্তি উভয় ক্ষেত্রে কীভাবে অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে তার একটি দুর্দান্ত উদাহরণ উপস্থাপন করে।

• বীজগণিত জ্যামিতিতে শীর্ষস্থানীয়দের অভ্যন্তরীণ ভাষা ব্যবহার করে , ইনগো ব্লেচমিড্টের পিএইচডি থিসিস ,

  এই থিসিসটি একটি প্রকল্পের সাথে যুক্ত ছোট জারিস্কি টোপোসের অভ্যন্তরীণ ভাষায় বীজগণিত জ্যামিতির স্বাভাবিক প্রমাণগুলির অনেকগুলি পুনর্নির্মাণের দিকে তাকিয়ে এক ধরণের "সিনথেটিক বীজগণিত জ্যামিতি" প্রদান করে। (তিনি বড় জারস্কি টোপো ব্যবহার করে "সিনথেটিক স্কিম তত্ত্ব "ও করেন)। যেমনটি আপনি প্রত্যাশা করবেন, যেহেতু টপোই সাধারণত বুলিয়ান নয়, প্রমাণগুলি একটি স্বজ্ঞাত স্টাইলে করা উচিত।

নিম্নলিখিত রেফারেন্সটি উল্লেখ করাও মূল্যবান:

• স্যান্ডার্স ম্যাক লেন, আইকে মোয়ারডিজক। জ্যামিতিতে শেভস এবং জ্যামিতিতে লজিক শেভস এবং লজিক: টপোস তত্ত্বের প্রথম পরিচয় ।

  টপোস তত্ত্ব, যুক্তি এবং জ্যামিতির মধ্যে সংযোগের মাধ্যমে এই কাজে ব্যবহৃত অনেকগুলি প্রযুক্তি আসে। এটি স্ট্যান্ডার্ড রেফারেন্স, যদিও আমি প্রায়শই স্টিভ ভিকার্সের কাগজগুলির মাধ্যমে এটি শিখেছি।

Answer 2

এটি আপনি যা খুঁজছেন ঠিক তেমনটি নাও হতে পারে তবে প্রোগ্রামিং ভাষায় বীজগণিত জ্যামিতির একটি প্রয়োগ হ'ল লিনিয়ার লুপগুলির বিশ্লেষণ:

লিনিয়ার লুপটি ফর্মের একটি খুব সাধারণ প্রোগ্রাম:

$x=s$

যদিও$x\notin F$

$x\leftarrow Ax$

যেখানে এবং a একটি ম্যাট্রিক্স। সেট একটি সমাপ্ত শর্ত, যা কিছু সহজভাবে বর্ণিত সেট হতে পারে (যেমন, একটি পলিটোপ, বা অর্ধবৃত্তীয় সেট)।$s,x\in \mathbb Q^d$$A\in \mathbb Q^{d\times d}$$F$

এই লুপ বিশ্লেষণ প্রায়ই বিশ্লেষণ পরিমাণ কক্ষপথ ম্যাট্রিক্স , যথা । এই, ঘুরে, এর eigenvalues শক্তি বিশ্লেষণের জড়িত , যার আচরণ বীজগাণিতিক জ্যামিতি ধারণা পাসে সংযোগ (যেমন Masser এর ভিত্তিতে উপপাদ্য) আছে।$A$$\{A^ns: n\in \mathbb N\}$$A$

আপনি একটি সূচনা পয়েন্ট হিসাবে অরবিট সমস্যার জটিলতার উপর কাগজটি একবার দেখতে পারেন ।