পিএইচ এর জন্য কি টাইম হায়ারার্কি উপপাদ্য রয়েছে?

এটি কি সত্য যে সময়ে (বহুবর্ষীয় স্তরক্রমের কিছু স্তরে একটি বিকল্প ট্যুরিং মেশিন দ্বারা) সমাধানযোগ্য যে বহুত্বীয় শ্রেণিবিন্যাসে সমস্যা আছে যা এর যে কোনও স্তরে দ্রবণযোগ্য নয় বহুবর্ষীয় শ্রেণিবিন্যাস? অন্য কথায় - বহিরাগত শ্রেণিবিন্যাসের জন্য কি পি এবং এনপি-র মতো একটি সময়ক্রমক্রমের উপপাদ্য রয়েছে? যদি সেখানে থাকে - একটি রেফারেন্স দুর্দান্ত হবে। $O(n^k)$ $O(n^{k-1})$

আমি যে সমস্যার মধ্যে পড়েছিলাম তা হ'ল অনুক্রমের সমস্ত স্তর থেকে মেশিনগুলি সিমুলেটিং করার সময় সিমুলেটিং মেশিনটি শ্রেণিবিন্যাসের কোনও স্বতন্ত্র স্তরে নয়। কোনটি সম্পর্কিত প্রশ্নের দিকে পরিচালিত করে - এরকম সিমুলেটিং মেশিনটি ক্ষুদ্রতম শ্রেণীর সাথে সম্পর্কিত কী? $O(n)$ অল্টারনেশন (বা $O(\log n)$ / $O(\log \log n)$ ) দিয়ে কোনও শ্রেণি সংজ্ঞায়িত করার কোনও ধারণা আছে ?

— জোসেফ
সূত্র

রৈখিক সংখ্যার বিকল্প ব্যবহার করা আপনাকে পিএসপিএসিইই দেয়, যেহেতু কোয়ান্টাইডেড বুলিয়ান সূত্রটি পিএসপিএসিই সম্পূর্ণ।

— ডেরিক স্টোলি

উত্তর:

হ্যাঁ. উদাহরণস্বরূপ, সময়ের শ্রেণিবদ্ধের উপপাদ্যের স্বাভাবিক প্রমাণগুলি (সরাসরি স্বেচ্ছাসেবী মেশিনগুলি অনুকরণ করে) ব্যবহার করে দেখা যায় যে প্রতিটি , উপসেট নয় । থেকে স্যুইচ করার কারণ $c \geq 1$ $\Sigma_c TIME[n^k]$ $\Pi_c TIME[n^{k-1}]$ $\Sigma$ $\Pi$ এই যে এই তির্যক যুক্তিতে, আমরা যে মেশিনটি অনুকরণ করছি তার "বিপরীত" করতে হবে, তাই যখন সিমুলেটিং মেশিনটি অস্তিত্বীয় মোডে থাকবে তখন আমাদের সর্বজনীন মোডে চলতে হবে এবং তদ্বিপরীত।

এছাড়াও আপনি থেকে সুইচিং ছাড়া এই মত একটি ফলাফল পেতে পারেন করার : প্রতিবার জন্য , একটি উপসেট নয় । এটি জাকের কারণে সময়ের শ্রেণিবিন্যাসের প্রমাণ ব্যবহার করে করা যেতে পারে (রেফারেন্স: " এ টিউরিং মেশিনের সময়ক্রম"), তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞান 26 (3): 327--333, 1983)। সময়ের শ্রেণিবিন্যাসের উপপাদ্যের এই সংস্করণটির স্পষ্ট উল্লেখের জন্য, দেখুন ডিয়েটার ভ্যান মেলকিবিক be $\Sigma$ $\Pi$ $c \geq 1$ $\Sigma_c TIME[n^k]$ $\Sigma_c TIME[n^{k-1}]$ এর " সন্তুষ্টি ও সম্পর্কিত সমস্যাগুলির জন্য নিম্নতর সীমাগুলির একটি সমীক্ষা " (তার হোম পেজে উপলব্ধ)।

— রায়ান উইলিয়ামস
সূত্র

এই উত্তরটি হায়ারার্কির প্রতিটি স্বতন্ত্র স্তরের জন্য একটি সময়ের স্তরক্রমের উপপাদ্যের অস্তিত্বকে খুব স্পষ্টভাবে প্রমাণ করে। এটি সম্পূর্ণরূপে পিএইচ এর জন্য এই জাতীয় উপপাদ্যের উপস্থিতি নির্দেশ করে না।

— জোসেফ

আপনার শক্তিশালী প্রশ্নটি নিশ্চিতভাবে সমাধান করা শক্ত হবে; এটি

সূচিত করবে । ধরুন আছে একটি

এবং একটি ভাষা

মধ্যে

যে নেই

প্রত্যেক জন্য

। তারপরে

L O G S P A C E \neq N P

$LOGSPACE \neq NP$

c

$c$

L

$L$

Σ_{c} T I M E [n^{k}]

$\Sigma_c TIME[n^k]$

Σ_{d} T I M E [n^{k - 1}]

$\Sigma_d TIME[n^{k-1}]$

d

$d$

। এর কারণ হল যে ভাষা

হয়

কিছু

উপর নির্ভর করে

(ক Savitch-উপপাদ্য-টাইপ যুক্তি দ্বারা)। সুতরাং যদি

তবে প্রকৃতপক্ষে প্রতিটি ভাষা

L O G S P A C E \neq N P

$LOGSPACE \neq NP$

L \in L O G S P A C E

$L \in LOGSPACE$

Σ_{d} T I M E [n^{2}]

$\Sigma_d TIME[n^2]$

d

$d$

L

$L$

L O G S P A C E = N P

$LOGSPACE = NP$

হয়

জন্যকিছু

, আপনি কি দেখাতে চান পরস্পরবিরোধী।

Σ_{c} T I M E [n^{k}]

$\Sigma_c TIME[n^k]$

Σ_{d} T I M E [n^{2}]

$\Sigma_d TIME[n^2]$

d

$d$

— রায়ান উইলিয়ামস

সংশোধিত প্রশ্নের উত্তর (প্রশ্নের 4 টি পুনর্বিবেচনা) নং। যদি কোনও সিদ্ধান্তের সমস্যাটি এল O _i পি মেশিনের মাধ্যমে ও ( এন ^কে ) এর সময়ে সমাধানযোগ্য হয় , তবে এল একটি টিউরিং মেশিন দ্বারা এল এর জন্য ওরাকল দিয়ে লিনিয়ার সময়ে সমাধান করা যায় , এটি একটি ∑ _i_{+ 1} পি মেশিন। সুতরাং, ∑ _i TIME [O ( n ^k )] ⊆ Σ _i₊₁ TIME [O ( n )]।

— সোসোশি ইতো
সূত্র

Σ_{j} T I M E [t (n)]

$\Sigma_j TIME[t(n)]$

Σ_{j} T I M E [O (n^{k})] \subseteq Σ_{j + 1} T I M E [O (n)]

$\Sigma_j TIME[O(n^k)] \subseteq \Sigma_{j+1} TIME[O(n)]$

j, k

$j,k$

N P \neq c o N P

$NP \neq coNP$

N P = c o N P

$NP = coNP$

Σ_{j} T I M E [O (n^{k})] \subseteq Σ_{j + 1} T I M E [O (n)]

$\Sigma_j TIME[O(n^k)] \subseteq \Sigma_{j+1} TIME[O(n)]$ for every

j, k

$j,k$ , let

O (n^{c})

$O(n^c)$ be the running time of some nondeterministic algorithm for Tautology. Then we have

N T I M E [O (n^{c^{2}})] \subseteq Σ_{2} T I M E [O (n)] \subseteq N T I M E [O (n^{c})]

$NTIME[O(n^{c^2})] \subseteq \Sigma_{2} TIME[O(n)] \subseteq NTIME[O(n^{c})]$ , where the first inclusion is by assumption and the second inclusion follows from a standard simulation argument. This is a contradiction.

— Ryan Williams

@Ryan: The definition I used is: L∈ΣiTIME[t(n)] iff there exist a language O∈Σ(i−1)P and a nondeterministic t(n)-time Turing machine with the oracle for O that recognizes L. I thought that this is the standard definition, but I do not have any reference to back up my claim. What is the definition you are using?

— Tsuyoshi Ito

The definition is:

L \in Σ_{i} T I M E [t (n)]

$L \in \Sigma_i TIME[t(n)]$ iff there is a linear time predicate

R (x, y_{1}, \dots, y_{i})

$R(x,y_1,\ldots,y_i)$ such that

x \in L ⟺ (\exists y_{1} : | y_{1} | \leq t (| x |)) \dots (\forall y_{i} : | y_{i} | \leq t (| x |)) R (x, y_{1}, \dots, y_{i})

$x \in L \iff (\exists y_1 : |y_1|\leq t(|x|))\cdots (\forall y_i : |y_i| \leq t(|x|))R(x,y_1,\ldots,y_i)$ is true.

— Ryan Williams

@Ryan: Ok, I did not know that definition. If that is what the asker wanted to ask, my answer does not apply.

— Tsuyoshi Ito