হে (এন লগ এন) সময়গুলিতে স্কয়ার বিচ্ছিন্ন বহুবচনগুলির পরিসংখ্যান?

ধরা যাক, আমাদের কাছে বহুবর্ষীয় ডিগ্রি সর্বাধিক , , যেমন ননজারো সহগের মোট সংখ্যা (যেমন, বহুভুজগুলি বিচ্ছিন্ন)। বহুবর্ষটি গণনার জন্য আমি একটি দক্ষ অ্যালগরিদমে আগ্রহী: $p_1,...,p_m$ $n$ $n>m$ $n$

\sum_{i} p_{i} (x)^{2}

$\sum_i p_i(x)^2$

যেহেতু এই বহুবর্ষের সর্বাধিক ডিগ্রি রয়েছে , তাই ইনপুট এবং আউটপুট উভয়ই ও । ক্ষেত্রে ক্ষেত্রে আমরা এফএফটি সময় ব্যবহার করে ফলাফলটি গণনা করতে পারি । এটি কি কোনও জন্য করা যেতে পারে ? যদি এটির কোনও তফাত হয় তবে আমি বিশেষ ক্ষেত্রে আগ্রহী যেখানে সহগুণ 0 এবং 1 হয় এবং গণনাটি পূর্ণসংখ্যার উপর দিয়ে করা উচিত। $2n$ $O(n)$ $m=1$ $O(n \log n)$ $m<n$

হালনাগাদ. আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে উপরেরগুলির জন্য একটি দ্রুত সমাধান দ্রুত ম্যাট্রিক্সের গুণায় অগ্রগতি বোঝায়। বিশেষত, যদি তবে আমরা পড়তে পারি সহগ যেমন মধ্যে । সুতরাং, গণনা দুটি ভেক্টরের একটি বহিরাগত পণ্য গণনা করার সাথে মিলে যায়, এবং যোগফলকে গণনা একটি ম্যাট্রিক্স পণ্য গণনা করার সাথে মিলে যায়। যদি একটি সলিউশন ব্যবহার সময় কম্পিউটিং করার তারপর আমরা করতে পারেন সংখ্যাবৃদ্ধি দুই বাই সময় ম্যাট্রিক্স $p_k(x)=\sum_{i=1}^n a_{ik} x^i + \sum_{j=1}^n b_{kj} x^{nj}$ $a_{ik} b_{kj}$ $x^{i+nj}$ $p_k(x)^2$ $p_k(x)^2$ $\sum_k p_k(x)^2$ $f(n,m)$ $\sum_k p_k(x)^2$ $n$ $n$ $f(n^2,n)$ , যার মানে জন্য একটি প্রধান ব্রেকথ্রু প্রয়োজন। তবে , যেখানে ম্যাট্রিক্স গুণনের বর্তমান ব্যয়কারী, সম্ভবত এটি সম্ভব। ধারণা, কেউ? $f(n,m)=O(n\log n)$ $m\leq n$ $f(n,m)=n^{\omega/2}$ $\omega$

ds.algorithms algebra polynomials

— রাসমুস পগ
সূত্র

হাই রসমাস আমি মনে করি আপনি মূল সাইটটিতে যাওয়ার জন্য এই পরিকল্পনাটি করেছিলেন। সাইটটি সম্পর্কে প্রশ্নের জন্য এটি মেটা সাইট।

— সুরেশ ভেঙ্কট

উত্তর:

সঙ্গে একটি বহুপদী বর্গ অশূন্য কোফিসিয়েন্টস সময় লাগে সাধারণ মেয়াদ-বাই-শব্দটি গুণ ব্যবহার করে, এই সেই polynomials যেখানে জন্য FFT পছন্দ হবে যাতে । যদি , তবে সহ চেয়ে বহুবচন সংখ্যা হ'ল , এবং এগুলিতে সময় লাগবে থেকে স্কোয়ার এবং একত্রিত করুন (যেমনটি হবে বহু বহিরাগতের মতো)। এটি যখন হবে তখন সুস্পষ্ট উপর উন্নতি $x_i$ $O(x_i^2)$ $x_i < \sqrt{n \log n}$ $\sum_i x_i = n$ $x_i$ $\sqrt{n \log n}$ $O(\sqrt{n / \log n})$ $O(n^{3/2}({\log n})^{1/2})$ $O(m n \log n)$ $m$ । $\Theta(\sqrt{n / \log n})$

— mjqxxxx
সূত্র

আমি যে বিষয়ে আগ্রহী তা হ'ল একটি পদ্ধতি যা প্রতিটি শর্তের গণনা ছাড়াই যোগফলকে গণনা করে। আমার মনে থাকা অ্যাপ্লিকেশনটির জন্য প্রতিটি পণ্যের জন্য এফএফটি বা টার্ম-টু-টু গুণগুলি করা খুব ধীর হবে।

— রাসমুস পগ

পুরো উত্তর না হলেও সহায়ক হতে পারে।

কেভেট: এটি কেবলমাত্র ভাল কাজ করবে যদি ছোট হয়। $p_i^2$

একটি বহুপদী জন্য যাক তার সমর্থন এবং হতে সমর্থন আকার হতে। বেশিরভাগ অংশেই বিচ্ছিন্ন, অর্থাত্ একটি ছোট সমর্থন পাবো। $q = a_0 + a_1x + \dots +a_nx^n$ $S_q = \{i \mid a_i \not= 0\}$ $s_q = |S_q|$ $p_i$

থেকে সংখ্যাবৃদ্ধি বিক্ষিপ্ত polynomials আলগোরিদিম আছে এবং পণ্যের সমর্থন আকার আপাতদৃষ্টিতে-রৈখিক সময় দেখুন উদাঃ http://arxiv.org/abs/0901.4323 $a$ $b$ $a b$

সমর্থনে (অন্তর্ভুক্ত) করা হয় , যেখানে দুটি সেট এর সমষ্টি এবং হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় । যদি সমস্ত পণ্যের সমর্থন ছোট হয়, বলুন, মোট তে লিনিয়ার , তবে কেউ কেবল পণ্যগুলি গণনা করতে পারেন এবং সমস্ত মনোমালিক্য যোগ করতে পারেন। $ab$ $S_a + S_b$ $S$ $T$ $S + T := \{s + t \mid s \in S, t \in T\}$ $n$

তবে polynomials এটি করা খুব সহজ এবং যেমন যে সমর্থনে আকার সমর্থন মাপ দ্বিঘাত হয় এবং । এই নির্দিষ্ট অ্যাপ্লিকেশনটিতে, আমরা বহুভুজকে স্কোয়ার করছি। সুতরাং প্রশ্নটি তুলনায় কত বড় । এর জন্য সাধারণ পরিমাপ হ'ল দ্বিগুণ সংখ্যা । আনবাউন্ডেড দ্বিগুণ নম্বর সহ সেট রয়েছে। তবে আপনি যদি সমর্থন হিসাবে বড় দ্বিগুণ সংখ্যার সাথে সেটগুলি বাদ দিতে পারেন $a$ $b$ $ab$ $a$ $b$ $S + S$ $S$ $|S + S|/|S|$ $p_i$ , তাহলে আপনি আপনার সমস্যার জন্য একটি দ্রুত অ্যালগরিদম পেতে পারেন।

— 5501
সূত্র

যদিও আমি অ্যাডেটিভ কম্বিনেটেরিক্সের সাথে পরিচিত নই, আমি মনে করি যে সাধারণিত পাটিগণিত অগ্রগতি এবং ফ্রেইম্যান-রুজ্জার উপপাদ্যটি ছোট দ্বিগুণ হওয়ার প্রায় সেট ।

— সোসোশি ইতো

@ শুয়োশি: আপনি ঠিক বলেছেন, আমি আমার উত্তরটি সম্পাদনা করব। তবুও, বৃহত দ্বিগুণ ধ্রুবক সহ জিএপি রয়েছে।

— 5501

ব্যক্তিগতভাবে আমি মনে করি না যে এই পদ্ধতির প্রতিশ্রুতি রয়েছে। ফ্রেইম্যান-রুজ়া উপপাদ্যের একটি (বেশ অসম্পূর্ণ) জড়িত বিষয়টি হ'ল | এস + এস | / | এস | শুধুমাত্র বিশেষ ক্ষেত্রে ছোট, এবং তাই "পি_আই এর সমর্থন হিসাবে আপনি যদি বড় দ্বিগুণ সংখ্যার সাথে সেটগুলি বাদ দিতে পারেন" অংশটি খুব বড় যদি হয় । তবে, যেমনটি আমি বলেছি, আমি সংযোজনকারী সংমিশ্রনের সাথে পরিচিত নই এবং আপনার উচিত আমার কথা লবণের দানা দিয়ে with

— সোসোশি ইতো

অবশ্যই এটি কেবল তখনই কাজ করে যদি মনের অ্যাপ্লিকেশনটি (যা আমি জানি না) দুর্দান্ত সমর্থন দেয়।

— 5501

তারপরে যদি আপনি সেই উত্তরটি আপনার উত্তরটিতে আরও স্পষ্ট করে থাকেন তবে এটি বোঝা সহজ হবে। উত্তরে অনুমান লেখার বর্তমান পদ্ধতিটি আপনাকে বোঝায় যে ছোট দ্বিগুণ সংখ্যার অনুমানটি কোনও বড় বিষয় নয়।

— সোসোশি ইটো

কেবল প্রাকৃতিক আনুমানিক অ্যালগরিদম নোট করতে চেয়েছিলেন। যদিও এটি স্পারসিটির সুবিধা গ্রহণ করে না।

আপনি একটি র্যান্ডম ক্রম ব্যবহার করতে পারে $(\sigma_i)_{i\in[n]}$ গ্রহণ $X=\sum_i \sigma_i p_i(x)$ আমরা গনা করতে $X^2$ মধ্যে $n\log n$ সময় FFT ব্যবহার করে। তারপরে $EX^2 = \sum_i p_i(x)^2 = S$ এবং $\sqrt{VX^2} = O(S)$ . So you can get a $1+\varepsilon$ approximation in time $O(\varepsilon^{-2} n \log n )$ .

— Thomas Ahle
সূত্র

Nice approach! But don't you need more repetitions to get all coefficients right with high probability?

— Rasmus Pagh

@RasmusPagh Right, you'll probably get a

\log (n / δ)

$\log(n/\delta)$ term if you want all coefficients to be preserved with probability

1 - δ

$1-\delta$ .

— Thomas Ahle