সার্কিট আকারের হায়ারার্কি উপপাদ্য

Question

আমি মনে করি যে সার্কিট জটিলতার জন্য একটি আকারের হায়ারার্কি উপপাদ্যটি অঞ্চলে একটি বড় অগ্রগতি হতে পারে।

এটি কি শ্রেণি বিচ্ছেদের একটি আকর্ষণীয় পদ্ধতির?

প্রশ্নের অনুপ্রেরণাটি আমাদের বলতে হবে

কিছু ফাংশন রয়েছে যা আকার সার্কিটের সাথে গণনা করা যায় না এবং একটি আকার দ্বারা গণনা করা যায়$f(n)$$g(n)$ সার্কিট দিয়ে যেখানে $f(n)<o(g(n))$ । (এবং সম্ভবত গভীরতা সম্পর্কিত কিছু)

সুতরাং, যদি , সম্পত্তিটি অপ্রাকৃত বলে মনে হয় (এটি বৃহত্তর শর্তটিকে লঙ্ঘন করে)। স্পষ্টতই আমরা তির্যক ব্যবহার করতে পারি না, কারণ আমরা অভিন্ন বিন্যাসে নেই।$f(m)g(n) \leq n^{O(1)}$

এই দিক থেকে কোন ফলাফল আছে?

Answer 1

আসলে এটা যে দেখানোর জন্য, যে জন্য সম্ভব পর্যাপ্ত ছোট (কম 2 এন / এন ), সেখানে ফাংশন আকারের সার্কিট দ্বারা গণনীয় হয় চ ( এন ) কিন্তু আকারের সার্কিট দ্বারা নয় চ ( এন ) - হে ( 1 ) , বা এমনকি চ ( এন ) - 1 , আপনি যে গেটগুলি মঞ্জুর করেন তার উপর নির্ভর করে।$f$$2^n/n$$f(n)$$f(n)-O(1)$$f(n)-1$

এখানে একটি সহজ যুক্তি যা দেখায় যে আকারে আকারে গণ্যযোগ্য ফাংশন রয়েছে তবে আকার চ ( এন ) নয় - ও ( এন ) ।$f(n)$$f(n)-O(n)$

আমরা জানি যে:

1. একটি ফাংশন যার জন্য কমপক্ষে 2 এন / ও ( এন ) সার্কিট জটিলতার প্রয়োজন হয় এবং বিশেষত, সার্কিট জটিলতা এফ ( এন ) এর চেয়ে বেশি ।$g$$2^n/O(n)$$f(n)$
2. ফাংশন যেমন যে z- র ( এক্স ) = 0 প্রত্যেক ইনপুট জন্য এক্স একটি ধ্রুবক আকার বর্তনী দ্বারা গণনীয় হয়।$z$$z(x)=0$$x$
3. যদি দুটি ফাংশন এবং জি 2 কেবল একটি ইনপুটটিতে পৃথক হয়, তবে তাদের সার্কিট জটিলতা সর্বাধিক ও ( এন ) দ্বারা পৃথক হয়$g_1$$g_2$$O(n)$

মনে করুন যে এন ইনপুটগুলিতে ননজারো । এই জাতীয় ইনপুটগুলিকে এক্স 1 , … , এক্স এন কল করুন । আমরা একে জন্য, বিবেচনা করতে পারেন আমি , ফাংশন ছ আমি ( এক্স ) সেট সূচক ফাংশন যা { এক্স 1 , ... , x এর আমি } ; এইভাবে জি 0 = 0 এবং জি এন = জি ।$g$$N$$x_1,\ldots,x_N$$i$$g_i(x)$$\{ x_1,\ldots,x_i \}$$g_0=0$$g_N=g$

স্পষ্টতই এরকম কিছু আছে যে g i + 1 এর সার্কিট জটিলতা f ( n ) এর চেয়ে বেশি এবং g আমার সার্কিট জটিলতা f ( n ) এর চেয়ে কম থাকে । তবে তারপরে g i এর সার্কিট জটিলতা f ( n ) এর চেয়ে কম তবে f ( n ) - O ( n ) এর চেয়ে বেশি ।$i$$g_{i+1}$$f(n)$$g_i$$f(n)$$g_{i}$$f(n)$$f(n) - O(n)$

Comments

কেমন করে প্রমাণ যান সেখানে ফাংশন আকারের সার্কিট দ্বারা গণনীয় আছে কিন্তু আকারের সার্কিট দ্বারা নয় চ ( এন ) - হে ( 1 ) ? $f(n)$$f(n) - O(1)$

— উইলিয়াম হোজা

Answer 2

একটি সাধারণ গণনা যুক্তি ব্যবহার করে এই ফলাফলটি প্রমাণিত হতে পারে। ইনপুটটির প্রথম বিটগুলিতে প্রয়োগ করা একটি এলোমেলো ফাংশন বিবেচনা করুন। এই ফাংশনটির প্রায় অবশ্যই রিওর্ডান এবং শ্যাননের গণনা যুক্তির দ্বারা সার্কিট জটিলতা ( 1 + o ( 1 ) ) ( 2 কে / কে ) রয়েছে এবং উপরের সীমানাগুলির সাথে মিল রয়েছে। সুতরাং, কে বাছাই করা যাতে 2 গ্রাম ( এন ) < 2 কে / কে < ফ ( এন ) / 2 আমরা আকার জি আলাদা করতে পারি$k$$(1+o(1))(2^k/k)$$k$$2g(n) < 2^k/k < f(n)/2$ আকার থেকে চ ( এন ) । নোট যে প্রশ্নে ফাংশন অগত্যা এমনকি গণনীয় হবে, কিন্তু আমরা তাদের মান কৌশল দ্বারা সূচকীয় সময় শ্রেণীবিন্যাসে লাগাতে পারেন (যতদিন আমরা ডান মান গনা করতে ট )। আমরা অবশ্যই 2 এন / এন এর চেয়ে বেশি কোনও আবদ্ধ প্রমাণ করতে পারি না, কারণ এটি কোনও ফাংশনের সবচেয়ে খারাপ-সার্কিট জটিলতা। $g(n)$$f(n)$$k$$2^n/n$

Natural proofs do not apply for this type of argument, because the property in question is ``not having a small circuit'', which is not easily computable from the truth table of the function (presumably). It is not clear how low in complexity classes this type of counting can go. Is there any reason why we can't use a counting argument to prove lower bounds for $NE$? Not that I know of.

Comments

$NE$$NP/poly$$P/poly$