কেউ কি পি = পিপি এর বাইরে পি = এনপি প্রশস্ত করতে পারেন?

ইন বর্ণনামূলক জটিলতা , Immerman হয়েছে

প্রতীক 7.23। নিম্নলিখিত শর্তগুলি সমতুল্য:
1. পি = এনপি।
2. সসীম, আদেশ কাঠামো ধরে, এফ ও (LFP) = তাই।

এটিকে বৃহত্তর জটিলতা ক্লাসের উপর সমমানের স্টেটমেন্টের (সমমানের) বিপরীতে "প্রশস্তকরণ" পি = এনপি হিসাবে ভাবা যেতে পারে। নোট করুন যে এসও বহু-সময়ের-স্তরক্রমের পিএইচটি ক্যাপচার করে এবং এফও (এলএফপি) পি-কে ক্যাপচার করে, সুতরাং এটি পি = এনপি ইফফ পি = পিএইচ হিসাবে বিবেচনা করা যায়।

(এর মজার অংশটি এই বিবৃতিটি যে পি = এনপি দ্বারা পি = পিএইচকে বোঝায়; এটি তুচ্ছ বিষয় যে পি = সিসি যে কোনও শ্রেণির সিসিতে এনপি রয়েছে তার জন্য পি = এনপি বোঝায়। , সম্ভবত কারণ পি = এনপি পিএইচ এর ওরাকল সংজ্ঞা সহ ব্যবহার করতে পারে প্রারম্ভিকভাবে দেখায় যে পুরো শ্রেণিবিন্যাস ভেঙে পড়েছে।)

আমার প্রশ্নটি হ'ল:

এভাবে আরও কতটা পি = এনপি প্রশস্ত করা যায়?

বিশেষত, সর্বাধিক পরিচিত শ্রেণীর সিসি 'যেমন পি = এনপি সূচিত করে পি = সিসি', এবং সবচেয়ে ছোট শ্রেণির সিসি যেমন পি = এনপি সিসি = এনপি বোঝায়? এটি পি = এনপি সমতুল্য প্রশ্ন সিসি = সিসি 'দ্বারা প্রতিস্থাপিত করার অনুমতি দেবে। পি একটি বরং শক্তিশালী শ্রেণীরূপে উপস্থিত বলে মনে হচ্ছে যা এনপি থেকে পৃথক করার চেষ্টা করার পক্ষে যুক্তিগুলির জন্য "উইগল রুম" খুব কম সরবরাহ করবে বলে মনে হচ্ছে: উইগল রুমটি কতদূর প্রশস্ত করা যায়?

আমি অবশ্যই একটি যুক্তিতে আগ্রহী যেটি দেখায় যে পি = পিএইচ এই পদ্ধতির সীমাবদ্ধ।

সম্পাদনা করুন: নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত প্রশ্নটি নোট করুন কেন পি = এনপি পি = এপি বোঝায় না (অর্থাত্ পি = পিএসপিএসি)? যা অন্য দিককে কেন্দ্র করে, কেন আমাদের কাছে পি = পিএসপিএসি প্রমাণ নেই। কাভে এবং পিটার শোরের উত্তরগুলি এখানে যুক্তিযুক্ত যে বিকল্পগুলি স্থির করা হচ্ছে কী। আরেকটি সম্পর্কিত প্রশ্ন হ'ল একটি সিদ্ধান্ত সমস্যা যা পিএইচ তে থাকে না তবে পি = এনপি যা প্রার্থীর সমস্যা জিজ্ঞাসা করে তা পিতে থাকবে; উত্তরগুলিও এই প্রশ্নের উত্তর তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, যদিও এই শ্রেণিগুলি কিছুটা কৃত্রিম (এটি নির্দেশ করার জন্য স্যুওশি ইতোকে ধন্যবাদ)। আরও সাধারণ সেটিংসে, এক্সটাইম এবং অল্টারনেশন বাউন্ডেড টুরিং মেশিনটি ভেঙে ফেলা হচ্ছে বহুবর্ষীয় স্তরক্রমের মতোই বিকল্প ব্যবস্থার কোনও স্তরে স্থানীয় পতন একটি wardর্ধ্বমুখী পতনকে প্ররোচিত করে কিনা তা জিজ্ঞাসা করে।

— আন্দ্রেস সালামন
সূত্র

সম্পর্কিত (নির্লজ্জ স্ব-পদোন্নতি): একটি সিদ্ধান্ত সমস্যা যা পিএইচ তে জানা যায় না তবে পি = এনপি হলে পি তে থাকবে ।

— Tsuyoshi Ito

পি-তে কী কী ভাষা রয়েছে তা আনুষ্ঠানিক করার একটি উপায় হিসাবে পি = এনপি, রেগান জটিল শ্রেণি এইচটির পরিচয় করিয়ে দিয়েছিল। একটি ভাষা এইচ এর মধ্যে থাকে এবং কেবলমাত্র এল এর প্রতিটি ওরাকল এর তুলনায় পি যাতে পি = এনপি । । সুতরাং, H- এ রয়েছে যদি বিবৃতিতে P = NP P কে P এর সাথে সংযুক্ত করে। পিএইচ এইচ অল্টারনেশনস-সময় । তোদা এর উপপাদ্য, এবং তোদা এর উপপাদ্য মধ্যে lemmas কয়েকটি থেকে, এটি সত্যি যে এইচ পি যে জন্য । (মূলত, কোনও ওরাকল সন্তুষ্ট পি

L

$L$

^{O}

$^O$

O

$O$

^{O}

$^O$

^{O}

$^O$

L

$L$

⟹ L \in

$\implies L \in$

\subseteq

$\subseteq$

\subseteq

$\subseteq$

(O (\log \log n), p o l y)

$(O(\log \log n), \rm{poly})$

\subseteq

$\subseteq$

^{{m o d}_{q} P}

$^{\rm{mod}_q \rm{P}}$

q

$q$

^{O}

$^O$ = NP এইচ-তে একটি নতুন উপরের আবদ্ধ দেয় এটি এইচ = পিএইচ কিনা তা খোলা রয়েছে))

^{O}

$^O$

— রাসেল ইম্পাগলিয়াজো

@ রাসেল: ধন্যবাদ! এই মন্তব্য একটি উত্তর মত শোনাচ্ছে।

— অ্যান্ড্রেস সালামন

অবশেষে কেন Regan এর বর্গ একটি রেফারেন্স পাওয়া এ "ইনডেক্স সেট ও জটিলতা ক্লাস এর উপস্থাপনা" এর সংজ্ঞা 6.3 দেখতে পাওয়া: citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.32.8927 । অফিসিয়াল সংস্করণ এ: dx.doi.org/10.1016/0304-3975(95)00146-8

H

$H$

— জোশুয়া গ্রাচো

যাক চ (এন) যেকোন আনবাউন্ডেড ফাংশন হোক। এইচ অন্তর্ভুক্ত করা হয় না alternations-টাইম (চ (ঢ), পলি) এবং যদি আপনি পি প্রমাণ করতে পারে = দ্বারা NP বোঝা পি = alternations-টাইম (চ (ঢ), পলি) তাহলে দ্বারা NP এল থেকে ভিন্ন

— ল্যান্স Fortnow

উত্তর:

রাসেল ইম্পাগলিয়াজোর মন্তব্য থেকে :

সেই মহাসংকটের কি ভাষায় হয় একটি উপায় হিসেবে যদি , Regan জটিলতা বর্গ চালু । একটি ল্যাঙ্গুয়েজ রয়েছে যদি এবং কেবল যদি রয়েছে প্রত্যেক ওরাকল আপেক্ষিক যাতে । সুতরাং, রয়েছে যদি বিবৃতি relativizes। $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{H}$ $L$ $\mathsf{H}$ $L$ $\mathsf{P}^O$ $O$ $\mathsf{P}^O=\mathsf{NP}^O$ $L$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP} \implies L\in\mathsf{P}$ $\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{H} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\lg\lg n),\mathsf{poly})$ । তোদা এর উপপাদ্য, এবং তোদা এর উপপাদ্য মধ্যে lemmas কয়েকটি থেকে, এটি সত্যি যে যে জন্য । মূলত, কোন ওরাকল পরিতৃপ্ত -এ একটি নতুন ঊর্ধ্ব আবদ্ধ দেয় । এটা খোলা কিনা । $\mathsf{H} \subseteq \mathsf{P}^{\mathsf{mod}_q \mathsf{P}}$ $q$ $\mathsf{P}^O=\mathsf{NP}^O$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{H}=\mathsf{PH}$

এবং ল্যান্স ফোর্টনের মন্তব্য থেকে :

যাক যেকোন আনবাউন্ডেড ফাংশন হোক। অন্তর্ভুক্ত করা হয় না এবং যদি আপনি প্রমাণ করতে পারে বোঝা তারপর থেকে ভিন্ন । $f(n)$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{AltTime}(f(n),\mathsf{poly})$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{AltTime}(f(n),\mathsf{poly})$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{L}$

of সংজ্ঞা জন্য 6 সংজ্ঞা দেখুন $\mathsf{H}$

কেনেথ ডব্লিউ। রেগান, " জটিলতার শ্রেণীর সূচী সেট এবং উপস্থাপনা ", 1999

— কাভেহ
সূত্র

@ জোশ, ল্যান্সের মন্তব্যের বিষয়ে, আমি অনুভব করছি যেহেতু আমি আনবাউন্ডেড এবং আল্টটাইম (চ, পলি) এ রাসেলের মন্তব্য অনুসারে এইচ রয়েছে তাই আমি কিছু অনুভব করছি ।

f (n) = \lg \lg n

$f(n) = \lg \lg n$

— কাভেঃ

আমি কিছু সম্পর্কে বিভ্রান্ত। কেন এই বিষয়টির পূর্ববর্তী প্রশ্নের জোশ গ্রাচোর উত্তর ( cstheory.stackexchange.com/a/2039/1575 ) মূলত রেগানের প্রশ্নের উত্তর দেয় না? অর্থাত্, কেন এটি একটি ভাষার L এর উদাহরণ দেয় না যা P এর তুলনায় যদি পি = এনপি আপেক্ষিক যুক্তি দ্বারা, তবে এটি পি! পি যদি হয় না! = এনপি? এবং সুতরাং এটি কেন দেখায় না যে যদি পি! = এনপি হয়, তবে এইচ পিএইচ এর চেয়ে কঠোরতর?

— স্কট অ্যারনসন

আসলে, একটি সম্ভাব্য উত্তর আমার কাছে আসে। সমস্যাটি কি, গ্রোচোর নির্মাণে, এল ভাষার খুব সংজ্ঞাটি কি ওরাকল ও এর উপর নির্ভর করবে?

— স্কট অ্যারনসন

@ স্কট: প্রকৃতপক্ষে, আপনার সম্ভাব্য উত্তরটি সঠিক, কারণ ত্রিভুজায়নের জন্য কোন স্ট্রিংগুলি ব্যবহার করা হয়েছে (এবং প্রকৃতপক্ষে, এলটি ভিতরে রাখা হয়েছে বা না) এটি ওরাকলের উপর নির্ভর করবে। আরও বিশদে, যদি তবে ভাষা সীমাবদ্ধ, সুতরাং বিভিন্ন এর জন্য আলাদা আলাদা আলাদা কেবল চূড়ান্তভাবে আলাদা। কিন্তু যদি আমরা সবাই বিবেচনা যেমন যে , তারপর এই বিভিন্ন জন্য এমনকি P-সমতুল্য হবে না যেহেতু ওরাকেল এই সেট একটি ঘন উপসেট ।

P^{O} = N P^{O}

$P^O = NP^O$

L

$L$

L

$L$

O

$O$

O

$O$

P^{O} \neq N P^{O}

$P^O \neq NP^O$

L

$L$

O

$O$

2^{Σ^{*}}

$2^{\Sigma^*}$

— জোশুয়া গ্রাচো

আমি যেমন অন্য প্রশ্নের জবাবে লিখেছি, আসুন সমাধান করে এমন একটি অ্যালগরিদম দিয়ে আর্গুমেন্টটিকে সংখ্যার ভিত্তিতে গঠনমূলক এবং অভিন্ন করে যে ধরে যে আমাদের কাছে স্যাট-এর জন্য বহু-কালীন অ্যালগরিদম রয়েছে এবং দেখুন আমরা কী পাব ধ্রুবক নয়। $\Sigma^P_k$ $k$

ডিটিএম হতে দিন দুটি এবং ইনপুট সহ । এটিকে কোনও সমস্যার জন্য যাচাইকারী হিসাবে । $M$ $x$ $y$ $\mathsf{NP}$

যাক একটি আলগোরিদিম যে একটি টি এম পরিবর্তিত হতে আকারের একটি সার্কিট থেকে যা নির্ণয় আকারের ইনপুট উপর জন্য ধাপ। $Cook(M, \vec{n}, t)$ $M$ $s(\vec{n},t) \in \mathsf{poly}$ $M$ $\vec{n}$ $t$

অনুমান এবং একটি নির্ণায়ক অ্যালগরিদম আছে যে সময় সার্কিট-স্যাট শংসাপত্র এক্সটেনশন সমস্যা solves । $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $A$ $p\in\mathsf{poly}$

এই উপাদানগুলির সাহায্যে আমরা টিকিউবিএফ-এর জন্য একটি অ্যালগরিদম সংজ্ঞায়িত করি যা একটি পরিমাণযুক্ত বুলিয়ান সূত্র দেয়, পুনরাবৃত্তভাবে অভ্যন্তরীণ-সর্বাধিক পরিমাণকে সরিয়ে দেয় এবং এটিকে একটি কোয়ান্টিফায়ার ফ্রি দিয়ে প্রতিস্থাপন করে। যাক এ সূত্র আকার হওয়া তম ধাপ, তাহলে আমরা আছে । সূত্রে যদি কোয়ানটিফায়ার থাকে তবে আমরা যেখানে ইনপুট হিসাবে দেওয়া টিকিউবিএফ সূত্রের আকার। $s_i$ $i$ $s_{i+1} = s\circ p(s_i)$ $k$ $q(n) = (s \circ p)^k(n)$ $n$

তাহলে ধ্রুবক তাহলে । যেহেতু সার্কিট-মান রয়েছে আমাদের একটি বহু-কালীন অ্যালগরিদম রয়েছে। $k$ $q(n) \in \mathsf{poly}$ $\mathsf{P}$

তাহলে তারপর বহুপদী সময় আর হয় না, আমরা একটি অ্যালগরিদম যা পেতে। উদাহরণস্বরূপ যদি এলজি এলজি আমরা একটি কোয়াশিপলিনোমিয়াল-টাইম অ্যালগরিদম পাই। জন্য আমরা কিছু nontrivial না। $k \in \omega(1)$ $q(n)$ $n^{2^{O(k)}}$ $k = \lg \lg n$ $k = \lg n$

আমি মনে করি আমরা সত্যই যা আগ্রহী তা হ'ল বৃহত্তম শ্রেণি যেমন যেখানে আমাদের সমস্ত বর্তমানকে আনুষ্ঠানিক করার জন্য যথেষ্ট শক্তিশালী তত্ত্ব ফলাফল (উদাঃ যদি আপনি এটি করা লাগতে পারে ) কারণ এই ফলাফল মূল বিন্দু সহজে প্রমাণ করতে করা হয় । $C$

T ⊢ P = N P \to P = C

$T \vdash \mathsf{P} = \mathsf{NP} \to \mathsf{P}=C$

T

$T$

Z F C

$\mathsf{ZFC}$

P \neq N P

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

আমরা যদি দুর্বল তত্ত্বগুলি গ্রহণ করি তবে ফলাফলটি এখনও আকর্ষণীয় হতে পারে তবে এটি বৃহত্তম মানের উপরের আবদ্ধ নয় । রেগান যখন সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করে তখন তিনি মূলত যা সম্পর্কিত হয় তাদের পক্ষে যুক্তি সীমাবদ্ধ করে দেন। আমরা এর ফলে যা relativize নেই আমরা আর একটি বড় বর্গ পেতে পারে ব্যবহার করেন তাহলে যে সমান হবে যদি । $C$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

আরও দার্শনিক নোট হিসাবে, আমি ব্যক্তিগতভাবে বিকল্প বাস্তবতা বা বিশ্বের হিসাবে আপেক্ষিকতা সম্পর্কে চিন্তাভাবনা অপছন্দ করি। নিজের দ্বারা "আপেক্ষিক বিশ্বগুলিতে" বিবৃতি আমাদের আপত্তিহীন সেটিংয়ে বিবৃতি সম্পর্কে কোনও তথ্য দেয় না। এর উদাহরণ হিসাবে নিন যা আমাদের বেশিরভাগই সত্য বলে বিশ্বাস করে না তবে আপেক্ষিক সংস্করণটি সত্যিকারের সম্ভাব্যতার সাথে একটি এলোমেলো ওরাকল 1। অন্য উদাহরণ হিসাবে গ্রহণ করুন যা সত্য তবে মিথ্যা হয়ে যায় সম্ভাব্যতা 1 এর সাথে একটি এলোমেলো ওরাকল। $\mathsf{BPP} = \mathsf{PP}$ $\mathsf{IP} = \mathsf{PSpace}$

আমি এই ধারণাটিও পেয়েছি যে জটিলতা শ্রেণিকে সমস্যাযুক্ত করার সাথে সম্পর্কিত করার একমাত্র সঠিক উপায় যা প্রচুর ভুল ধারণা সৃষ্টি করে (যেমন তাদের এক্সটেনশনাল অর্থে জটিলতা ক্লাসের ক্রিয়ামূলক ক্রিয়াকলাপ হিসাবে আপেক্ষিকতা চিন্তাভাবনা, আপেক্ষিকতা একটি গণনা মডেলের একটি পরিবর্তন) , ফাংশন বা ভাষার শ্রেণি নয়)। আমি মনে করি পরিবর্তিত (ইন্টারেক্টিভ) কম্পিউটিং ফ্রেমওয়ার্ক হিসাবে আপেক্ষিকতাগুলি দেখা আরও দরকারী। এইভাবে জটিলতার ক্লাসগুলি পুনরায় সংযুক্ত করার অনেকগুলি কার্যকর উপায় রয়েছে (এর উদ্দেশ্যমূলক অর্থে)। আপেক্ষিক কাঠামো থেকে সম্পর্কহীন সেটিং সম্পর্কে কোনও তথ্য পেতে আমাদের মানক-বিশ্লেষণে স্থানান্তর নীতির অনুরূপ কিছু ধরণের স্থানান্তর নীতি প্রয়োজন principle । নোট করুন যে ক্লাসগুলির মধ্যে পরিচিত সম্পর্কগুলি সংরক্ষণ করে এমন ক্লাসগুলির জন্য আপেক্ষিকরণের কিছু বিশেষ পদ্ধতি বাছাই আমাদের কোনও স্থানান্তর নীতি দেয় না (এটি একটি শ্রেণীর সঠিক আপেক্ষিকরণ কী "তা ঠিক করার জন্য সাহিত্যে সাধারণত ব্যবহৃত প্রধান মানদণ্ড)।

— Kaveh
সূত্র

আমি "ইন্টারেক্টিভ কম্পিউটেশন ফ্রেমওয়ার্ক হিসাবে আপেক্ষিকতাগুলি দেখতে আমার মতে আরও কার্যকর" এর সাথে একমত হয়ে সম্মত agree যাহা প্রথমে মেশিন (গুলি) (ইন্টারেক্টিভ ওরাকল অ্যাক্সেস সহ) প্রথমে দেওয়া হয় সেই পরিস্থিতিটি দিয়ে শুরু করে আপেক্ষিককরণের উপস্থাপনাটিকে আরও স্বজ্ঞাত করে তোলা যেতে পারে এবং কোনও প্রতিপক্ষকে ওরাকলটির জন্য কোনও ভাষা নির্বাচন করার অনুমতি দেওয়া হয়। তারপরে একটি পরিস্থিতি পরিবর্তন করে যেখানে প্রথমে একটি (জটিল) ওরাকল ভাষা দেওয়া হয়, এবং মেশিনগুলি এখন নির্দিষ্ট ওরাকল দ্বারা প্রদত্ত বিশ্বে অভিযোজিত হতে পারে।

— টমাস ক্লিম্পেল