উত্তল বহুভুজগুলিতে আয়তক্ষেত্রগুলি প্যাকিং তবে আবর্তন ছাড়াই

Question

আমি ওভারল্যাপ ছাড়াই একটি উত্তল (2 মাত্রিক) বহুভুজের (2 মাত্রিক) আয়তক্ষেত্রগুলির অভিন্ন অনুলিপি প্যাকিংয়ের সমস্যায় আগ্রহী। আমার সমস্যায় আপনাকে আয়তক্ষেত্রগুলি ঘোরানোর অনুমতি নেই এবং ধরে নিতে পারেন যে তারা অক্ষগুলির সাথে সমান্তরাল হয়। আপনাকে কেবল একটি আয়তক্ষেত্রের মাত্রাগুলি এবং বহুভুজের শীর্ষাংশ প্রদান করা হয়েছে এবং জিজ্ঞাসা করা হয়েছে যে আয়তক্ষেত্রের কতগুলি অভিন্ন কপি বহুভুজের মধ্যে প্যাক করা যায়। আপনার যদি আয়তক্ষেত্রগুলি ঘোরানোর অনুমতি দেওয়া হয় তবে এই সমস্যাটি এনপি-হার্ড হিসাবে আমি বিশ্বাস করি। তবে না পারলে কী জানা যায়? উত্তল বহুভুজটি কেবল একটি ত্রিভুজ হলে কীভাবে? সমস্যাটি যদি সত্যিই এনপি-হার্ড হয় তবে সেখানে কি অনুমানের অ্যালগরিদমগুলি জানা আছে?

এখনও অবধি সংক্ষিপ্তসার (21 মার্চ '11)। পিটার শোর লক্ষ করেছেন যে আমরা এই সমস্যাটিকে উত্তল বহুভুতে প্যাকিং ইউনিট স্কোয়ারগুলির মধ্যে একটি হিসাবে বিবেচনা করতে পারি এবং যদি আপনি বর্গক্ষেত্র / আয়তক্ষেত্রের সংখ্যার উপর প্যাক করার জন্য একটি বহুভুজের উপর আবদ্ধ করে থাকেন তবে সেই সমস্যাটি এনপিতে রয়েছে। স্যারিল হার-প্লেড উল্লেখ করেছেন যে একই বহুভিত্তিকভাবে আবদ্ধ মামলার জন্য একটি পিটিএএস আছে। তবে সাধারণভাবে প্যাক করা স্কোয়ারের সংখ্যাটি ইনপুট আকারে সূচকীয় হতে পারে যা কেবল সংখ্যার সংখ্যার সংক্ষিপ্ত তালিকা যুক্ত করে of নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলি উন্মুক্ত বলে মনে হচ্ছে।

এনপিতে কি সম্পূর্ণ আনবাউন্ডেড সংস্করণ? আনবাউন্ডেড সংস্করণটির জন্য কি কোনও পিটিএএস আছে? বহিরাগতভাবে আবদ্ধ মামলাটি কি পি বা এনপিসিতে থাকে? এবং আমার ব্যক্তিগত প্রিয়, সমস্যাটি কি আরও সহজ যদি আপনি কেবল নিজের ইউনিট স্কোয়ারগুলি একটি ত্রিভুজ হিসাবে প্যাকিংয়ের মধ্যে সীমাবদ্ধ করেন?

Comments

1x3 আয়তক্ষেত্র দিয়ে প্যাকিং এনপি-সম্পূর্ণ (ঘূর্ণন সহ) এবং আমি অনুমান করি যে আমরা ঘূর্ণনগুলি বারণ করি তবে এটি সহজ হয়ে যায়। আপনি প্রতিটি সারি (বা কলাম) এর সর্বাধিক সংখ্যক আয়তক্ষেত্র সন্ধান করুন এবং প্যাকড আয়তক্ষেত্রের সামগ্রিক সর্বোচ্চ সংখ্যার জন্য এগুলি যুক্ত করুন।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

আমি নিশ্চিত না যে মাত্রা 1x3 (বা অন্য কিছু) ঠিক করা আমার সমস্যাটির জন্য খুব বেশি সহায়তা করে? উত্তল বহুভুজের অক্ষাংশের সমান্তরালভাবে কোনও দিক থাকতে হবে না এবং আপনাকে এখনও আয়তক্ষেত্র স্থাপন করার সিদ্ধান্ত নিতে হবে to আপনি এগুলিকে প্রথমে y- অক্ষের মধ্যে সর্বনিম্ন স্থাপন করতে পারেন তারপরে বাম দিকে যুক্তিসঙ্গত urশ্বর্যবাদী হিসাবে ন্যায়সঙ্গত হন তবে আপনি মোটামুটি সহজেই উদাহরণগুলি তৈরি করতে পারেন যেখানে এটি অনুকূল নয়।

— রাফেল

সমস্ত আয়তক্ষেত্র করতে আপনি একটি অ্যাফাইন ট্রান্সফরমেশন প্রয়োগ করতে পারেন । সুতরাং সমস্যাটি প্যাকিং স্কোয়ারের সমতুল্য। $1 \times 1$

— পিটার শোর

@ তুরস্কিস্তানি: আপনি কি আমাকে একটি রেফারেন্স দিতে পারবেন যা 1x3 আয়তক্ষেত্রের জন্য এনপি-সম্পূর্ণতা দেখায়? বা, এটি পর্যবেক্ষণ করা সহজ?

— Yoshio Okamoto

পিটার শর এর পর্যবেক্ষণ maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P56.html এর উপর ভিত্তি করে অনুসন্ধান করে উঠে আসে যা আকর্ষণীয়। তবে এটি সাধারণ সাধারণ বহুভুজের (যেমন তারা অবতল হতে পারে) উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করা বলে মনে হয়।

— রাফেল

Answer 1

সমস্যাটি উত্তল বহুভুজের ভিতরে সর্বাধিক সংখ্যক পয়েন্ট বাছাই হিসাবে সংশোধন করা যেতে পারে, যেমন তাদের প্রতিটি জোড় একে অপরের থেকে কমপক্ষে 1 টি দূরত্বে থাকে ( মেট্রিকের নিচে) (কেবলমাত্র স্কোয়ারগুলির কেন্দ্রগুলি সম্পর্কে চিন্তা করুন) । পরিবর্তে এটি একই সমস্যার সাথে সম্পর্কিত যেখানে কেউ নিয়মিত ইউক্লিডিয়ান দূরত্ব ব্যবহার করেন। এটি পালটে জাল সম্পর্কিত, যেখানে কেউ একটি বহুভুজকে সুন্দর আচরণযুক্ত অঞ্চলে ভাঙতে আগ্রহী (যেমন, আপনি কেন্দ্রগুলির ভোরোনাই চিত্রটি গ্রহণ করেন [সেন্ট্রোডিয়াল ভোরোনাই টেসেলিকেশন দেখুন])।$L_\infty$$1$

যাইহোক, একটি -প্রক্রোমেশানেশন বেশ সহজ। আপনি এলোমেলোভাবে পাশের দৈর্ঘ্যের হে ( 1 / ϵ ) এর একটি গ্রিড স্লাইড করুন । বহুভুজকে গ্রিডে ক্লিপ করুন, এবং ব্রুটে ফোর্স ব্যবহার করে বহুভুজটির প্রতিটি ছেদের ছেদটির ভিতরে সমস্যাটি সমাধান করুন। চলমান সময় হে ( এম ∗ n o i s ই ( ϵ ) ) সহ একটি অ্যালগরিদম সহজেই অনুসরণ করা উচিত, যেখানে এম পয়েন্টগুলির সংখ্যা (যেমন, আয়তক্ষেত্র), এবং n ও i এস ই ( ϵ $(1-\epsilon)$$O(1/\epsilon)$$O(M*noise(\epsilon))$$M$$noise(\epsilon)$কিছু ভয়ঙ্কর ফাংশন যা শুধুমাত্র নির্ভর করে ।$\epsilon$

Comments

ধন্যবাদ। আমি কি এই ভেবে সত্যই বলেছি যে আমাদের আয়তক্ষেত্র / স্কোয়ারের সংখ্যার উপর বহুপদী আবদ্ধ আছে সে ক্ষেত্রেও সমস্যাটি পি তে থাকলে তা এখনও পরিষ্কার নয়?

— রাফেল

এখানে অনুমান / অনুমানের আমার 2 সেন্ট রয়েছে ... এটি পিতে থাকলে আশ্চর্য হবে - আপনার সর্বোত্তম সমাধানটির কিছু অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য দেখাতে হবে। যাইহোক, আমার অনুমান হবে যে এনপি-কঠোরতার একটি আনুষ্ঠানিক প্রমাণ নাগালের বাইরে - সমস্যাটির খুব কাঠামো রয়েছে। ফেডার এবং গ্রিন দেখিয়েছিলেন যে কে-সেন্টার ক্লাস্টারিং একটি নির্দিষ্ট ফ্যাক্টরের মধ্যে আনুমানিকভাবে অনুমিত হওয়া শক্তিশালী P আমি মনে করি / অনুমান করি যে তাদের প্রমাণটি প্রমাণ করার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে যে বহুভুজটির গর্ত থাকলে উপরের সমস্যাটি এনপি-হার্ড হয় ...

— সারিল হার-প্লেড

Answer 2

এই দুটি কাগজপত্র আপনার সমস্যার সমাধান করে:

ইজি বার্জিন এবং আরডি লোবাটো, " আইসোট্রপিক উত্তল অঞ্চলগুলির মধ্যে অভিন্ন আয়তক্ষেত্রগুলির অর্থগোনাল প্যাকিং ", কম্পিউটার এবং শিল্প প্রকৌশল 59, পৃষ্ঠা 595-602, 2010। 

ইজি বার্জিন, জেএম মার্টিনিজ, এফএইচ নিশিহারা এবং ডিপি রনকোনি, "ননলাইনার অপ্টিমাইজেশনের মাধ্যমে স্বেচ্ছাসেবীর জাল অঞ্চলগুলির মধ্যে আয়তক্ষেত্রাকার প্যাকিং ", কম্পিউটার এবং অপারেশনস রিসার্চ 33, পিপি 3535-3548, 2006।

 

Comments

এই কাগজগুলি বাস্তবে সমস্যা সমাধানের দিকে নজর দেয়। আমি যতদূর বলতে পারি, প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করছে যে সমস্যাটি এনপি-হার্ড হিসাবে পরিচিত।

— আন্দ্রেস সালামন

এটি এনপিতে দেখানো মোটামুটি সহজ। ধরুন আমি আপনাকে অনুকূল প্যাকিংয়ের একটি চিত্র দিয়েছি যা আপনাকে বলছে যে বহুভুজের কোন দিকটি কোন স্কোয়ারগুলি স্পর্শ করছে এবং কোন স্কোয়ারগুলি অন্যান্য বর্গের উপরে / নীচে / বাম / ডানদিকে রয়েছে। আপনি ঠিক এমনভাবে প্যাক করে এমন স্কোয়ারগুলির একটি সেট জন্য স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করতে পারেন কিনা এই প্রশ্নটি এবং তাই আপনি যাচাই করতে পারবেন যে এটি একটি সম্ভাব্য প্যাকিংয়ের জন্য একটি চিত্র।

— পিটার শোর

যদি আপনার বহুভুজের সমস্ত শিখরগুলি পূর্ণসংখ্যার (বা যুক্তিযুক্ত) হয় তবে রৈখিক প্রোগ্রামগুলির একটি মানক ফলাফল বলে যে আপনার বহুগুণ পরিমাণের অতিরিক্ত নির্ভুলতার চেয়ে বেশি প্রয়োজন নেই এবং লিনিয়ার প্রোগ্রামটি হ'ল বহুবর্ষীয় সময়ে ঠিক সমাধান করা যায়। আপনি যদি ইতিমধ্যে এটি জানতেন তবে দুঃখিত, তবে আমি আপনার মন্তব্যটি থেকে উপরে বলতে পারব না - এবং আপনি তা করলেও কিছু লোক তা করবে না।

— পিটার শোর

ধন্যবাদ। আমি একবার জানতাম তবে এটি মনে করিয়ে দেওয়া ভাল। এটিও মনে হয় যে বহুভুজতে আপনাকে স্কোয়ারের ক্ষতিকারক সংখ্যক সংখ্যা থাকতে পারে তাই আমি নিশ্চিত নই যে আপনি প্রকৃতপক্ষে সেগুলি তালিকাভূক্ত করতে পারবেন। এই গোলটি পেতে আপনি করতে পারেন এমন কিছু স্কেলিং রয়েছে?

— রাফেল

@ রাফায়েল: আমি ধরে নিচ্ছি (ন্যায়বিচার ছাড়াই) আপনার স্কোয়ারের সংখ্যার উপর বহুবর্ষের আবদ্ধ আছে। যদি আপনি ক্ষতিকারক আকারের বহুভুজকে অনুমতি দেন তবে জিনিসগুলি আরও জটিল হয়ে উঠবে।

— পিটার শোর

Answer 3

পিটার শোর পর্যবেক্ষণ করেছেন যে উদ্ধার করে এই সমস্যাটি ইউনিট স্কোয়ারগুলি উত্তল বহুভুজের মধ্যে প্যাকিংয়ের বিষয়ে পরিণত হয়।

সম্পাদনা করুন: এই উত্তরের বাকী প্রয়োগ হয় না, কারণ এটি স্পষ্টভাবে বর্ণিত প্রয়োজনীয়তা ড্রপ করে যে আকারগুলি প্যাক করতে হবে সমস্ত একই আকারের।

---

অর্থোগোনাল প্যাকিং সমস্যার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে সম্পর্কিত প্রশ্ন এনপি-কঠোরতা প্রথম প্রশ্নের জন্য প্রয়োজনীয় ফলাফল সহ একটি কাগজ উল্লেখ করেছে:

• স্কোয়ারে স্কোয়ার প্যাকিং করছে, জোসেফ ওয়াইটি। লেইউং, টমি ডাব্লু ট্যাম, সিএস ওয়াং, গিলবার্ট এইচ ইয়ং, এবং ফ্রান্সিস ওয়াইএল চিন, সমান্তরাল ও বিতরণকারী কম্পিউটিং 10 271-2275 জার্নাল । ( লিঙ্ক )

কাগজ থেকে:

আমরা দেখাই যে স্কয়ার প্যাকিংয়ের সমস্যাটি 3 পার্টিশনের সমস্যা হ্রাস করে দৃ strongly়ভাবে এনপি-সম্পূর্ণ।

সুতরাং সমস্যাটি এনপি-হার্ড এমনকি সেই বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে আয়তক্ষেত্রগুলি প্যাক করতে হবে তা ধারকটির মতো । (এই কাগজের লেখকের বিপরীতে, আমি সম্পূর্ণরূপে নিশ্চিত নই যে সমস্যাটি এনপিতে রয়েছে, যেহেতু পজিশনগুলিকে বৃহত পরিমাণে নির্ভুলতার জন্য নির্দিষ্ট করতে হতে পারে, যা যাচাইকরণটিকে ইনপুট আকারে আর বহিরাগত হতে পারে না। )

Comments

কাগজটি দেখে ডায়াগ্রাম থেকে দেখা যাচ্ছে যে স্কোয়ারগুলি প্যাক করতে হবে তা সমস্ত সমান আকারের নয়।

— পিটার শোর

@ পিটার: আপনি ঠিক বলেছেন, এই কাগজটি রাফালের সমস্যা সম্পর্কে কিছু বোঝায় না।

— অ্যান্ড্রেস সালামন

Answer 4

এই কাগজটি আপনার পক্ষে আগ্রহী হতে পারে:

কেনসিয়াল এবং কেনিয়োন এফওসিএস 92-তে আয়তক্ষেত্রগুলি দিয়ে বহুভুজকে টাইলিং করছে ।

Comments

ধন্যবাদ। তবে আমি যদি সঠিকভাবে বুঝতে পারি তবে একটি টাইলিং বহুভুজকে ঠিক coversেকে দেয়। এটি আমার ক্ষেত্রে প্রায়শই সম্ভব হবে না (কিছু স্বেচ্ছাসেবীর দিকে একটি স্বেচ্ছাসেবী ত্রিভুজ বিবেচনা করুন) যা আমার অপ্টিমাইজেশনের সমস্যাটি মৌলিকভাবে পৃথক করে বলে মনে হয়।

— রাফেল

আসলে, এটি আমার সমস্যা নয় same

— সিলভাইন পিয়েরনেট

Answer 5

আপনি যে বহুভুজটিতে প্যাক করতে চান তা যদি অগত্যা উত্তল না হয় তবে আমি মনে করি সমস্যাটি এনপি-হার্ড হয়ে যায়। এখানে একটি খুব স্কেচী প্রমাণ। হ্রাসটি কিছু প্ল্যানার -3-স্যাট ধরণের সমস্যা থেকে এসেছে। প্রতিটি ভেরিয়েবলের কাছে আপনার একটি 1.1 x 1 স্থান থাকতে পারে, যেখানে এই অঞ্চলে আপনি একটি বর্গ স্থাপন করেন তা নির্ভর করে আপনার ভেরিয়েবলটি মিথ্যা কিনা সত্য of এছাড়াও, যদি আপনি .1 অঞ্চলটি বাম / ডান ছেড়ে যান তবে আপনি আরও দুটি আরও স্কোয়ারটি আরও কিছুটা ভিতরে সরিয়ে নিতে পারেন এবং এর পেছনের অংশগুলিও অবশেষে অন্য কোথাও অন্য কোথাও 1। বিনামূল্যে স্থান প্রদান করতে পারেন যা এখন এক সাথে চারটি স্কোয়ারকে প্রভাবিত করে। আপনার কাছে যথাযথ আক্ষরিক সংখ্যার কপি থাকার পরে আপনি এই টিউবগুলিকে সংশ্লিষ্ট ক্লজ উপাদানটির সাথে সংযুক্ত করেন এবং আবার তিনটি আগত টিউব থেকে কমপক্ষে একটির কাছে একটি .1 অতিরিক্ত স্থান থাকতে হবে তা নিশ্চিত করতে কিছু অনুরূপ গ্যাজেট ব্যবহার করেন।

Comments

এটি প্রশংসনীয় শোনাচ্ছে। দ্রষ্টব্য যে রাফাল একটি মন্তব্য maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P56.html একটি লিঙ্কের সাথে একটি কাগজের পয়েন্টার সহ প্রকৃত হ্রাস সহ একটি লিঙ্ক সরবরাহ করেছিল।

— অ্যান্ড্রেস সালামন

ওহ, আমি লক্ষ্য করেছি না

— ডোমোটরপ