AC0 ফাংশনের জন্য সূত্রের আকার নিম্ন সীমা

Question

প্রশ্ন:

এসি ^{0 তে} একটি সুস্পষ্ট ফাংশনটির জন্য নিম্নতম সুনির্দিষ্ট সূত্রের আকারটি কম কী ? একটি $\Omega(n^2)$ নিম্ন সীমা সহ একটি সুস্পষ্ট ফাংশন আছে ?

পটভূমি:

বেশিরভাগ নিম্ন সীমাগুলির মতো, সূত্রের আকারের নিম্ন সীমাগুলি এড়ানো শক্ত। আমি আদর্শ ইউনিভার্সাল গেট সেট {এবং, বা না, over এর চেয়ে সূত্রের আকারের নিম্ন সীমানায় আগ্রহী}

এই গেট সেটটিতে একটি সুস্পষ্ট ফাংশনটির জন্য সর্বাধিক পরিচিত সূত্রের আকার নিম্ন সীমাটি ree ( এন 3 - ও ( 1 ) ) অন্দ্রিভ দ্বারা সংজ্ঞায়িত কোনও ফাংশনের জন্য। ( N 3 - o ( 1 ) ) । আবদ্ধ এই Håstad দ্বারা দেখানো হয়েছে Andreev এর নিম্ন বাউন্ড উন্নতি Ω ( ঢ 2.5 - ণ ( 1 ) ) । আরেকটি সুস্পষ্ট নিম্ন সীমানা হ'ল সমতা ফাংশনের জন্য খ্রাপচেনকো Ω ( n 2 ) নিম্ন সীমাবদ্ধ।$\Omega(n^{3-o(1)})$$\Omega(n^{2.5-o(1)})$$\Omega(n^2)$

তবে এই দুটি ফাংশন এসি ^{0 তে নেই} । আমি ভাবছি যে আমরা এসি ^{0 তে} একটি চতুষ্কোণ (বা আরও ভাল) নিম্ন সীমা সহ একটি সুস্পষ্ট ফাংশন জানি কিনা । আমি সবচেয়ে ভাল বাউন্ড সম্পর্কে অবহিত হলাম Dist ( n 2 / লগ এন ) এলিমেন্ট ডিসস্টিন্টনেস ফাংশনের জন্য নিম্ন আবদ্ধতা, যা নেচিপুরুক দেখিয়েছে। লক্ষ্য করুন উপাদান বৈশিষ্ট্য ফাংশন এসি হয় ⁰ , তাই আমি একটি জন্য একটি সুনির্দিষ্ট এসি আবদ্ধ নিম্ন দেখছি ⁰ ফাংশন যা বেশী ভালো Ω ( ঢ 2 / লগ ইন করুন এন ) , বিশেষ করে Ω ( ঢ 2 ) ।$\Omega(n^2/\log n)$$\Omega(n^2/\log n)$$\Omega(n^2)$

আরও পড়া:

বিষয়টির একটি দুর্দান্ত উত্স হ'ল স্ট্যাসিস জুকনার "বুলিয়ান ফাংশন জটিলতা: অ্যাডভান্সস এবং ফ্রন্টিয়ার্স"। বইয়ের একটি খসড়া বিনামূল্যে তার ওয়েবসাইটে পাওয়া যায়।

Comments

জন্য superlinear lowerbounds অভাব এর কারণ পারি একজন সি 0 কাজকর্মের জন্য স্ব-reducibility কিছু বাছাই হতে একজন সি 0 ফাংশন? অর্থাত আমরা আছে যদি এন 1 + + ε lowerbound (যেখানে ε তারপর আমরা superpoly lowerbound পেতে গভীরতার উপর নির্ভরশীল নয়)। $AC^0$$AC^0$$n^{1+\epsilon}$$\epsilon$

— কাভেঃ

@ কাভেঃ আমি নিশ্চিত যে আমি বুঝতে পেরেছি না। আমাদের কাছে ইতিমধ্যে A C 0 (উপাদান স্বতন্ত্রতা) এর কোনও ফাংশনের জন্য একটি Ω ( n 2 / লগ এন ) কম আবদ্ধ আছে । $\Omega(n^2/\log n)$$AC^0$

— রবিন কোঠারি

দুঃখিত, সুপার-চতুর্ভুজ দিয়ে সুপারলাইনার প্রতিস্থাপন করুন। আমি টি সি 0 এর জন্য অ্যালেন্ডার-কউকি ফলাফলের অনুরূপ কিছু বোঝাতে চাই । A C 0 এর জন্য প্রকাশক বড় হতে পারে। যেমন একটি ফলাফলের ব্যাখ্যা হতে পারে কেন এটা খুঁজে পাওয়া কঠিন হয় একটি সি 0 জন্য lowerbounds একজন সি 0 ফাংশন। $TC^0$$AC^0$$AC^0$$AC^0$

— কাভেঃ

দেখে মনে হচ্ছে যে ট্যুরিং এন সি 0 হ্রাসের আওতায় এ সি 0 এর জন্য সম্পূর্ণ যে কোনও সমস্যা দৃ strongly়ভাবে স্ব-হ্রাসযোগ্য, তবে এটি আত্ম-হ্রাসের আকার বহুলাংশে বড় হতে পারে বলে আমি প্রত্যাশা করছিলাম বলে মনে হয় না। $AC^0$$NC^0$

— কাভেঃ

Answer 1

একটি দুর্দান্ত প্রশ্ন! খ্রাপচেনকো অবশ্যই এ সি 0 ফাংশনের জন্য চতুর্ভুজ নিম্ন সীমা দিতে পারে না । তার নিম্ন সীমাবদ্ধতা আসলে গড় সংবেদনশীলতার কমপক্ষে বর্গক্ষেত্র। এবং এ সি 0 এর সমস্ত ফাংশনে পলি-লোগারিদমিক গড় সংবেদনশীলতা থাকে। সুবোটভস্কায়া-আন্ড্রিভ দৃশ্যত এ জাতীয় কোনও ফাংশন দিতে পারেন না কারণ তারা যে যুক্তিটি ব্যবহার করেন (এলোমেলোভাবে সীমাবদ্ধতার ফলে অনেক ছোট সূত্রে ফলাফল হয়) ঠিক এ কারণেই বড় এ সি 0 সার্কিট আকার জোর করে ; হস্তাদের স্যুইচিং লেমা (পুরোপুরি নিশ্চিত নয়, কেবল একটি অন্তর্দৃষ্টি)। একমাত্র আশা নেচিপুরুক। তবে তার যুক্তি n 2 / log n এর বেশি দিতে পারে না$AC^0$$AC^0$$AC^0$$n^2/\log n$, তথ্য তাত্ত্বিক কারণে। সুতরাং, এটি কি এমন হতে পারে যে এ সি 0 এর প্রতিটি কিছুর আকারের সূত্রগুলি (বা আরও ছোট) হতে পারে? আমি এতে বিশ্বাস করি না, তবে খুব শীঘ্রই একটি পাল্টা নমুনা খুঁজে পাইনি। $AC^0$

আসলে, অ্যালেন্ডার-কউকি ঘটনাটি অন্যান্য প্রসঙ্গেও দেখা দেয় - গ্রাফের জটিলতায়। বলে যে একটি বর্তনী 2 এন ভেরিয়েবল প্রতিনিধিত্ব করে একটি দ্বিপাক্ষিক এন × এন গ্রাফ জি ছেদচিহ্ন উপর ভী = { 1 , ... , 2 এন } যে ইনপুট ভেক্টর যদি একটি যথার্থভাবে দুটি 1s সাথে আছেন, বলো, অবস্থানের আমি এবং ঞ ( আমি ≤ এন , j > n ) সার্কিটটি একটি iff প্রান্তকে i এবং j টি গ্রহণ করে$2n$$n\times n$$G$$V=\{1,\ldots,2n\}$$a$$i$$j$$i\leq n$$j>n$$a$$i$$j$জি সংলগ্ন হয় । সমস্যা: প্রদর্শন একটি সুনির্দিষ্ট গ্রাফ জি অন্তত প্রয়োজন এন ε গেটস একটি দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা একঘেয়েমি Σ 3 -circuit। একজন নিরীহ প্রশ্ন মত মনে হয় (যেহেতু সবচেয়ে গ্রাফ সম্পর্কে প্রয়োজন এন 1 / 2 দরজা। কিন্তু এমন কোন গ্রাফ আমাদের একটি বুলিয়ান ফাংশন দিতে হবে 2 মিটার = 2 লগ এন প্রয়োজন ভেরিয়েবল অ একঘেয়েমি superlinear আকারের লগ-গভীরতা সার্কিট (ফলাফল দ্বারা সাহসী)। সুতরাং, গভীরতা -3 সার্কিটের জন্য n ϵ নিম্ন সীমা প্রমাণ করাও একটি চ্যালেঞ্জ হতে পারে। $G$$G$$n^{\epsilon}$ $\Sigma_3$$n^{1/2}$$2m=2\log n$$n^{\epsilon}$

Comments

চেষ্টারিতে স্বাগতম। :) (বিটিডব্লিউ, আপনার নতুন বইটি বেশ আকর্ষণীয় দেখাচ্ছে, দুর্ভাগ্যবশত আমি স্থানীয় নেটিভ স্পিকার না তাই প্রুফ

— রিডিংয়ে

প্রকৃতপক্ষে, বিষয়বস্তু / রেফারেন্সগুলিতে কোনও মন্তব্য / সমালোচক এই মুহুর্তে খুব গুরুত্বপূর্ণ। বর্তমান সংস্করণটি এখানে । ব্যবহারকারী: বন্ধু পাসওয়ার্ড: catchthecat

— Stasys

আপনাকে ধন্যবাদ :) আমি প্রস্তাবিত প্রমাণ জটিলতা সম্পর্কে চূড়ান্ত অধ্যায়গুলি পড়তে যাচ্ছি।

— কাভেহ

ধন্যবাদ উত্তরের জন্য অনেক! আপনি যদি A C 0 তে এমন কোনও ফাংশন ভাবেন যা আপনি অনুমান করেছেন যে কোনও Ω ( n 2 ) আকারের সূত্রের প্রয়োজন হয়, আমি তা জানতে আগ্রহী। $AC^0$$\Omega(n^2)$

— রবিন কোঠারি

Answer 2

ধন্যবাদ, কাভেহ, প্রুফ জটিলতার অধ্যায়গুলি দেখার ইচ্ছা করার জন্য!

Concerning Robin's question, first that note $AC^0$ contains functions requiring formulas (and even circuits) of size $n^k$ for any constant $k$. This follows, say, from a simple fact that $AC^0$ contains all DNFs with constantly long monomials. Thus, $AC^0$ contains at least $\exp(n^k)$ distinct functions, for any $k$. On the other hand, we have at most about $\exp(t\log n)$ functions computable by formulas of size $t$.

I shortly discussed the issue of getting explicit lower bounds of $n^2$ or larger with Igor Sergeev (from Moscow university). One possibility could be to use Andreev's method, but applied to some another, easier computable function instead of Parity. That is, consider a function of $n$ variables of the form $F(X)=f(g(X_1),\ldots,g(X_b))$ where $b=\log n$ and $g$ is a function in $AC^0$ of $n/b$ variables; $f$ is some most complex function of $b$ variables (mere existence of $f$ is enough). We only need that the function $g$ cannot be "killed" in the following sense: if we fix all but $k$ variables in $X$, then it must be possible to fix all but one of the remaining variables of $g$ so that the obtained subfunction of $g$ is a single variable. Then applying Andreev's argument and using Hastad's result that the shrinking constant is at least $2$ (not just $3/2$ as earlier shown by Sybbotovskaya), the resulting lower bound for $F(X)$ will be about $n^3/k^2$. Of course, we know that every function in $AC^0$ can be killed by fixing all but $n^{1/d}$ variables, for some constant $d\geq 2$. But to get a $n^2$ lower bound it would be enough to find an explicit function in $AC^0$ which cannot be killed by fixing all but, say, $n^{1/2}$ variables. One should search for such a function in depth larger than two.

Actually, for the function $F(X)$ as above, one can obtain lower bounds about $n^2/\log n$ via simple greedy argument, no Nechiporuk, no Subbotovskaya and no random restrictions! For this, it is merely enough that the "inner function" g(Y) is non-trivial (depends on all its $n/b$ variables). Moreover, the bound holds for any basis of constant fanin-gates, not just for De Morgan formulas.

Proof: Given a formula for $F(X)$ with $s$ leaves, select in each block $X_i$ a variable which appears the smallest number of times as a leaf. Then set all remaining variables to the corresponding constants so that each $g(X_i)$ turns to a variable or its negation. The obtained formula will then be at least $n/b$ times smaller than the original formula. Thus, $s$ is at least $n/b=n/\log n$ times the formula size $2^b/\log b=n/\log\log n$ of $f$, that is, $s\geq n^{2-o(1)}$. Q.E.D.

To get $n^2$ or more, one has to incorporate Subbotovskaya-Hastad shrinking effect under random restrictions. A possible candidate could be some version of Sipser's function used by Hastad to show that depth-$(d+1)$ circuits are more powerful than those of depth $d$.