গেট ফ্যানআউট 1 সহ একটি সার্কিটকে (যে কোনও গভীরতার) একটি সার্কিটে রূপান্তর করার সর্বাধিক দক্ষ উপায়

সম্পাদনা (আগস্ট 22, 2011):

আমি প্রশ্নটি আরও সরলীকরণ করছি এবং প্রশ্নের উপর একটি অনুগ্রহ রেখেছি। সম্ভবত এই সহজ প্রশ্নের সহজ উত্তর হবে। আমি মূল প্রশ্নের যে সমস্ত অংশ আর প্রাসঙ্গিক নয় সেগুলি হরতাল করতে চলেছি। (মূল প্রশ্নের আংশিক উত্তর দেওয়ার জন্য স্ট্যাসিস জুকনা এবং রায়ান ও ডনেলকে ধন্যবাদ!)

পটভূমি:

ডিপিসি কে এবং আকার এস এর সাথে একটি এসি ⁰ সার্কিট দেওয়া হয়েছে , সেখানে আরও একটি এসি ⁰ সার্কিট ডিপথ কে এবং আকার সাথে একই ফাংশনটি গণনা করছে যেমন নতুন সার্কিটটিতে সমস্ত গেটের জন্য ফ্যানআউট = 1 রয়েছে। অন্য কথায়, সার্কিটটি গাছের মতো দেখায় (ইনপুটগুলি বাদে, যেহেতু ইনপুটগুলি একাধিক গেটে যেতে পারে)। এটি করার একটি উপায় হ'ল সমস্ত গেটের ফ্যানআউট = 1 না হওয়া পর্যন্ত ফ্যানআউট> 1 থাকা সমস্ত গেটগুলি অনুলিপি করা। $O(S^k)$

তবে ফ্যানআউট 1 সহ এসি ⁰ সার্কিটগুলিকে এসি ⁰ সার্কিটগুলিতে রূপান্তর করার সবচেয়ে কার্যকর উপায় কি? রায়ান ও ডনেলের কোর্স নোটের 14 লেকচারে আমি নিম্নলিখিতটি পড়েছি :

ধরুন সি হ'ল আকারের কোনও গভীরতা-কে সার্কিট যা প্যারিটি গণনা করে। এটি দেখানোর জন্য একটি অনুশীলন যে সি একটি সমতুল্য গভীরতা-কে সার্কিটে রূপান্তরিত হতে পারে, যেখানে স্তরগুলি বিকল্প ও ওআর গেটস হয়, ইনপুট তারগুলি 2n আক্ষরিক হয় এবং প্রতিটি গেটের ফ্যান-আউট 1 থাকে (অর্থাত্ এটি একটি গাছ) ) - এবং আকারটি সর্বাধিক । $(2kS)^2 \leq O(S^4)$

পাদটীকা: আসলে, এটি একটি সামান্য কৌশল অনুশীলন। আপনার যদি কেবলমাত্র আকারের পেতে হয় তবে এটি আরও সহজ, যদি আপনি কেকে "ধ্রুবক" মনে করেন তবে আমাদের উদ্দেশ্যে এটি প্রায় একই the $O(S^k)$

এর অর্থ কি এই যে কোনও গভীরতার কে এসি ⁰ সার্কিট এস এর সার্কিট এবং 1, গভীরতা কে এবং আকার দিয়ে এটি এসি ⁰ সার্কিটে রূপান্তর করার কোনও উপায় আছে ? যদি তা হয় তবে কীভাবে এটি করা হয় এবং এটি কী সেরা-পদ্ধতি? $(2kS)^2$

মূল প্রশ্ন:

ডিপথ কে এবং সাইজ এস সহ একটি এসি ⁰ সার্কিট দেওয়া হয়েছে , এটিকে ডিগ্রি কে এবং গেট ফ্যানআউট 1 এর এসি ⁰ সার্কিটে রূপান্তর করার সর্বাধিক পরিচিত পদ্ধতিটি (ফলস্বরূপ সার্কিটের সার্কিটের আকারকে হ্রাস করার ক্ষেত্রে) কী? এর জন্য কি কোনও নিম্ন সীমানা জানা যায়?

আরও নতুন, সহজ প্রশ্ন:

এই প্রশ্নটি আসলটির মধ্যে একটি শিথিলকরণ যেখানে আমি জোর দিই না যে ফলস্বরূপ সার্কিটটি ধীরে ধীরে গভীরতা বজায় থাকে। উপরে বর্ণিত হিসাবে, একটি এসি ⁰ সার্কিটকে গভীরতার কে, আকার এসকে একটি আকারের সহ একটি সার্কিটে রূপান্তর করার একটি উপায় রয়েছে যেমন নতুন সার্কিটের সমস্ত গেটের জন্য ফ্যানআউট = 1 রয়েছে। এর চেয়ে আরও ভাল নির্মাণ কি আছে? $O(S^k)$

গভীরতা কে এবং আকার এস এর সাথে একটি এসি ⁰ সার্কিট দেওয়া , গেট ফ্যানআউট 1 এর সাথে কোনও গভীরতার সার্কিটে রূপান্তরিত করার সবচেয়ে কার্যকর পদ্ধতিটি (ফলস্বরূপ সার্কিটের সার্কিটের আকারকে হ্রাস করার ক্ষেত্রে) কী?

cc.complexity-theory lower-bounds circuit-complexity

— রবিন কোঠারি
সূত্র

আবদ্ধ ঠিক আছে কিন্তু যদি আবদ্ধ জন্য রাখা হবে অবাধ সার্কিট (না শুধুমাত্র কম্পিউটিং প্যারিটি ফাংশন ঐ), তারপর এক ভান পারে যে আকারের fanin-2 বর্তনী

একটি fanin- দ্বারা আকারের

সূত্র 2

ফ্যানিন -2 গেটগুলি আনবাউন্ডেড ফ্যানিনের একটি গেট অনুকরণের জন্য যথেষ্ট to তারপরে সূত্রটি গভীরতার

এর একটিতে রূপান্তরিত হতে পারে (একটি সুপরিচিত ফলাফল, ভুলভাবে স্পিরার সাথে দায়ী)। সুতরাং, আমরা পেয়ে যাব যে সার্কিট গভীরতা সর্বাধিক

O (S^{k})

$O(S^k)$

(2 k S)^{2}

$(2kS)^2$

S

$S$

O (S^{5})

$O(S^5)$

S

$S$

O (\log S)

$O(\log S)$

। তবে এটি সত্য হতেও খুব সুন্দর: সার্কিট-গভীরতার জন্য সবচেয়ে ভাল ওপেন সীমাটি কেবল

।

O (\log S)

$O(\log S)$

O (S / \log S)

$O(S/\log S)$

— স্ট্যাসিস

বিটিডাব্লু

প্রকৃতপক্ষে স্বেচ্ছাসেবী সার্কিটগুলির জন্যও রয়েছে , তবে কেবলমাত্র যদি আমরা ফ্যানিন -২ এর গেটগুলিকে অনুমতি দিই (দেখুন, উদাহরণস্বরূপ, ওয়েজেনারের বইয়ে থিম। ৪.১); তারপরে সার্কিটগুলি এখনও মধ্যবর্তী ফলাফলগুলি মনে করতে পারে। ফ্যানিন -১ এর পরিস্থিতি খুব আলাদা: এখানে সার্কিটগুলির কোনও স্মৃতি নেই। তবে রবিনের প্রশ্নটি খুব আকর্ষণীয়। এটি আরও আকর্ষণীয় হবে যে আকারের

গভীরতা -3 সার্কিটগুলি

চেয়ে ছোট আকারের গভীরতা -3 সূত্রগুলি দিয়ে সিমুলেট করা যায় ।

O (k S)^{2})

$O(kS)^2)$

S

$S$

S^{2}

$S^2$

— স্ট্যাসিস

স্টাস উপরে যা বলবে আমি তা বিশ্বাস করব; আমি এই নোটগুলিতে খুব যত্নশীল ছিলাম না (দুঃখিত)। অন্যদিকে, আমি মনে করি যখন তাদের লেখার ক্ষেত্রে সত্যটি উত্সাহিত করার বিষয়ে যথেষ্ট হতাশ হয়ে পড়েছিল - অনেকগুলি গবেষণাপত্রে উল্লিখিত হয় তবে প্রায়শই প্রশংসার সাথে হয় না - যে কোনও ব্যক্তি বিন্যাস ছাড়াই নির্বিচারে

সার্কিটকে স্তরযুক্তগুলিতে রূপান্তর করতে পারে much । আমি এই বিষয়ে সর্বাধিক পরিচিত ফলাফলের জন্য একটি পয়েন্টার দেখতে পছন্দ করব।

A C^{0}

$AC^0$

— রায়ান ও'ডনেল

@ রায়ান ও'ডনেল: প্রকৃতপক্ষে, কেউ খুব সহজেই ব্লো-আপ

দিয়ে স্তরযুক্ত একটি সার্কিট তৈরি করতে পারেন । আমরা প্রতিটি ও গেটের ইনপুট হিসাবে কেবল ওআর গেট থাকে তা অর্জন করতে সাহচর্যতা ব্যবহার করি; গভীরতা অপরিবর্তিত রয়েছে। তারপরে তাদের গভীরতা অনুসারে গেটগুলি সাজান এবং একটি স্তরযুক্ত সার্কিট পেতে প্রয়োজনীয় তুচ্ছ ফ্যানিন -1 বা এবং এবং গেটগুলি যুক্ত করুন; গভীরতা একই থাকে এবং আকার কেবলমাত্র কে এর একটি ফ্যাক্টর দ্বারা বৃদ্ধি পায়। তবে আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে রবিন চায় একটি সার্কিটকে একটি সূত্রে রূপান্তরিত করতে হবে (গাছের মতো সার্কিট, ইনপুট আক্ষরিকাগুলির বড় ফ্যানআউট থাকতে পারে)।

O (k S)

$O(kS)$

— স্টেসিস

@ রায়ান ও'ডনেল: প্রতিক্রিয়া জানাতে এবং অনলাইনে আপনার বক্তৃতার নোট দেওয়ার জন্য ধন্যবাদ! বিশেষত, বুলিয়ান ফাংশন বিশ্লেষণে আপনার বক্তৃতা নোটগুলি বেশ সহায়ক হয়েছে।

— রবিন কোঠারি

আমি আমার পূর্ববর্তী মন্তব্যগুলি সংক্ষিপ্ত করার চেষ্টা করব।

আসুন প্রথমে আপনার আসল সার্কিটের (ধ্রুবক) গভীরতা রয়েছে তা এড়িয়ে চলুন ; শুধু ধরুন এটির আকার । যাক হতে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা যেমন যে প্রত্যেক সীমাবদ্ধ fanin বর্তনী আকার একটি সীমাবদ্ধ fanin সূত্র রুপান্তরিত করা যায় আকারের । আমি দাবি করি যে আমরা এখন পর্যন্ত সর্বোত্তম যেটি করতে পারি তা হ'ল । বলুন, এমনকি এটি এখনও জানা যায়নি যে কোনও (ফ্যানিন -২) আকারের সার্কিট কিনা $k$ $S$ $A$ $S$ $F$ $O(S^A)$ $A=O(S/\log^2 S)$ $S=O(n)$ চেয়ে ছোট আকারের সূত্র দ্বারা অনুকরণ করা যায় । $\exp(n/\log n)$

দাবি দেখাতে, আমরা সূত্র রুপান্তর একটি fanin-2 সূত্র মধ্যে আকারের । এটা সর্বজনবিদিত যে গভীরতা প্রত্যেক সূত্রের এর আকার, যে হয় লগারিদমিক তৈরি করা যেতে পারে । [এই প্রথম Khrapchenko 1968 দেখানো হয়েছিল, এবং তারপর বড় হে অধীনে ধ্রুবক বাড়ানো হয় $F$ $F′$ $M=O(S^{2A})$ $D$ $F′$ $D=O(\log M)=O(A\log S)$ $D\leq 1.73\log_2M$ বেশ কয়েকজন লেখকের দ্বারা।] অন্যদিকে, ফ্যানিন -২ সার্কিটের সর্বাধিক পরিচিত ফলাফল [প্যাটারসন এবং ভ্যালেন্ট, টিসিএস 2 (3), 397-400] বলেছেন যে । সুতরাং, সঙ্গে একটি সিমুলেশন থাকার তুলনায় অনেক ছোট সার্কিট জন্য শ্রেষ্ঠ পরিচিত সাইজ-গভীরতা সিমুলেশন উন্নতি হবে। $Depth=O(Size/\log Size)$ $A$ $S/\log^2 S$

এটি, তবে এটি কেবল একটি "সাবধানতার শব্দ" - এটি আপনার প্রশ্নের উত্তর দেয় না কারণ আপনি ধরে নিয়েছেন যে আপনার মূল সার্কিটটির ধ্রুবক গভীরতা , বোঝা যাচ্ছে যে এই ক্ষেত্রে আমরা কেবল (বা যদি আমাদের একক আউটপুট গেট থাকে)। পেটারসন-ভ্যালেন্টিয়াল সিমুলেশনটির শক্তি এটি হ'ল এটি নির্বিচারে এমনকি খুব ভারসাম্যহীন সার্কিটগুলির ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য যার গভীরতা প্রায় পুরো আকারের! কিন্তু আপনার বেষ্টিত গভীর সেটিং, এমনকি যদি স্পষ্ট নয়: আকার প্রতিটি গভীরতা -3 বর্তনী করতে আকারের তুলনায় অনেক ছোট গভীরতায় -3 সূত্র রুপান্তরিত করা $k$ $A=k$ $A=k−1$ $k=3$ $S$ $S^2$ ? আমি অনুমান করি উত্তরটি "না" হওয়া উচিত (শিক্ষার্থীদের জন্য এটি একটি আকর্ষণীয় অনুশীলন হতে পারে)। গভীরতা -৩ সূত্রটি কেবলমাত্র সিএনএফ-এর একটি বড় ওআর। প্রশ্নটি হ'ল সিএনএফগুলির একটি ওআর সন্ধান করুন যা অনেকগুলি ধারা প্রচলিতভাবে ভাগ করে, তবে অন্যথায় বৃহত্তর গভীরতা -3 সূত্রকে বাধ্য করার জন্য "খুব আলাদা"।

সমস্যাটি হ'ল আমরা একটি সূত্র (ফ্যানআউট -১ সার্কিট) পেতে চাই। যেমন উপরে উল্লিখিত ছিল, ফ্যানআউট -২ এর গেটগুলি সিমুলেশনকে সহজ করে তোলে: হুভার, ক্লাও এবং পিপ্পেঞ্জার [জ্যাকএএম 31 (1), 1980] দেখায় যে আকারের এবং গভীরতার এর যে কোনও ফ্যানিন -2 সার্কিটের সমান ফ্যানিন -2 এবং ফ্যানআউট রয়েছে -2 আকারের বর্তনী এবং গভীরতা । সুতরাং, যদি ফ্যানিন সীমাহীন হয়, তবে ফলিত সার্কিটের আকার এবং গভীরতা । $S$ $D$ $3S−2n$ $2D$ $O(S^2)$ $O(D\log S)$

আপনার প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত আরও একটি ফলাফল রয়েছে। Lozhkin (1981) প্রমাণ একটি বুলিয়ান ফাংশন যদি দ্বারা একটি নির্ণিত করা যেতে পারে সূত্র গভীরতা এবং আকার , তারপর গভীরতা fanin-2 সূত্র দ্বারা নির্ণিত করা যেতে পারে (এটি আমার বইয়ের উপপাদ্য 6.2 থেকে অনুসরণ করা হয়েছে)। মনে রাখবেন, যে তুচ্ছ উপরের আবদ্ধ শুধুমাত্র হবে (যদি আমরা গভীরতা একটি গাছ দ্বারা প্রতিটি একক গেট ভান করবে )। $f$ $AC^0$ $k$ $S$ $f$ $D\leq k-1+\lceil\log_2S\rceil$ $D\leq k\log S$ $\log S$

— Stasys
সূত্র