সর্বাধিক স্বতন্ত্র সেটে প্রতিশ্রুত উপরের বাউন্ডের সাথে আনুমানিক গ্রাফের বর্ণমালা

Question

আমার চাকরিতে নিম্নলিখিত সমস্যা দেখা দেয়:

কোনও অ্যালগরিদম জানা আছে, যা কোনও অর্ডার-এর একটি স্বাধীন সেট 65 ছাড়াই গ্রাফের ক্রোম্যাটিক সংখ্যার সাথে সংলগ্ন হয়? (সুতরাং আলফা (জি) <= 64 পরিচিত এবং | ভি | / 64 একটি তুচ্ছ নিম্ন, | ভি | একটি তুচ্ছ উপরের আবদ্ধ upper তবে এই বিশেষ শর্তে আরও ভাল প্রমাণিত আনুমানিকতা আছে কি?)

আমরা যদি ভগ্নাংশের ক্রোম্যাটিক সংখ্যায় শিথিল হই? এবং গড় ক্ষেত্রে "ভাল" চলমান সময়?

Comments

আমি মনে করি এটি এই সাইটের জন্য একটি দুর্দান্ত প্রশ্ন; আসুন আশা করি কারও ভাল উত্তর আছে।

— জুলকা সুমেলা

@ টাইসন উইলিয়ামস: আমার মনে হয় প্রশ্নটি পুরোপুরি পরিষ্কার। মন্তব্যটি ভুলে যান, পুনরায় প্রশ্নটি পড়ুন। :)

— জুলকা সুমেলা 14

মজার বিষয় হ'ল, এই শর্তগুলি গ্যারান্টি দেয় যে তুচ্ছ অনুমানটি সর্বোত্তমের জন্য একটি 64-অনুমানের। আমি ভাবছি যে কেবলমাত্র একটি স্বল্প স্বাধীনতার সংখ্যার প্রতিশ্রুতি আরও ভাল অ্যালগরিদম দিতে পারে।

— সাশো নিকোলভ

সমস্যা কি ব্যবহারিক প্রয়োগ দ্বারা অনুপ্রাণিত? যদি তা হয় তবে কারওর জন্য আকর্ষণীয় হিউরিস্টিক্সের দিকে মনোনিবেশ করা উচিত - তুচ্ছ 64৪ অনুমানের উন্নতি করা আকর্ষণীয় নয়।

— চন্দ্র চেকুরি

$O(n^{64})$

Answer 1

ইনপুট গ্রাফের পরিপূরকটিতে সর্বাধিক মিলের গণনা করুন। প্রতিটি মিলহীন নোড অবশ্যই যে কোনও বর্ণের ক্ষেত্রে আলাদা রঙের শ্রেণিতে থাকতে হবে। সুতরাং: যদি আপনি কমপক্ষে সিএন মিলিত প্রান্তগুলি পান তবে মিলটি নিজেই আপনাকে একটি (1-সি) এন এর উপরের বাউন্ড এবং 64 (1-সি) এর আনুমানিক অনুপাতের সাথে একটি রঙ দেয়। আপনি যদি কমপক্ষে সিএন প্রান্তগুলি না পান তবে আপনি নীচে (1 - 2c) এন রঙ এবং 1 / (1-2c) এর আনুমানিক অনুপাত পাবেন। সমীকরণ 64৪ (1-সি) = 1 / (1-2c) সমাধান করা 32 এর চেয়ে কিছুটা বড় অনুমানের দিকে নিয়ে যায়; সঠিক মানটির জন্য সাশো নিকোলভের মন্তব্য দেখুন।

Comments

$c = 3/16 (4-\sqrt{2}) \approx 0.5$$\approx 32$$k$$\alpha(G)$$\frac{k}{2}$$k$

Answer 2

$H$$H$ । এটি দক্ষতার সাথে গণনা করা যেতে পারে এবং ক্রোম্যাটিক সংখ্যার জন্য এটি একটি উপরের আবদ্ধ।

http://en.wikipedia.org/wiki/Colouring_number#Algorithms

Comments

গৌণ সংশোধন: এটি সত্য নয় যে রঙিন নম্বরটি একটি লোভী বর্ণের রঙের নূন্যতম সংখ্যার সমান। যদি আপনি একটি অনুকূল রঙে তাদের বর্ণ অনুসারে শীর্ষগুলি অর্ডার করেন (অতিরিক্ত সম্পত্তি সহ যে প্রথম রঙের শ্রেণিটি সর্বাধিক, এবং দ্বিতীয়টি অন্যান্য গ্রাফ ইত্যাদিতে সর্বাধিক হয়) তবে লোভী অ্যালগরিদম একই অনুকূল রঙের সন্ধান করবে।

— ডেভিড এপস্টিন