একই সাথে n এবং ইনপুট বিটের গণনা করতে বাইনারি গেটের সংখ্যা

এবং এক সাথে ইনপুট বিটের গণনা করতে বাইনারি গেটের ন্যূনতম সংখ্যার কী ? তুচ্ছ সর্বোচ্চ সীমা । আমি বিশ্বাস করি যে এটি সর্বোত্তম, তবে এটি কীভাবে প্রমাণ করবেন? স্ট্যান্ডার্ড গেট নির্মূলের কৌশলটি এখানে কোনও কাজ করে না কারণ কোনও ইনপুট ভেরিয়েবলকে ধ্রুবক নির্ধারণ করে যে কোনও একটি আউটপুটকে তুচ্ছ করে। $n$ $2n-2$

সমস্যাটি কিছুটা আলাদা আকারে ইনগো ওয়েজনার র "বুলিয়ান ফাংশনগুলির জটিল" বইতে একটি অনুশীলন হিসাবেও দেওয়া হয়েছে: "যাক । দ্বারা বর্জন পদ্ধতি শুধু একটি নিম্ন আকারের আবদ্ধ প্রমাণ করতে পারেন । বৃহত্তর নিম্ন সীমা প্রমাণ করার চেষ্টা করুন। " $f_n(x) = x_1\dots x_n \lor \bar{x}_1 \dots \bar{x}_n$ $n+\Omega(1)$

cc.complexity-theory lower-bounds circuit-complexity

— আলেকজান্ডার এস কুলিকভ
সূত্র

@Ryan: প্রশ্ন ও সম্পর্কে না এর বা কিন্তু সম্পর্কে এবং এবং বা। যদিও আমি সাশার প্রশ্নের উত্তর জানি না।

— Tsuyoshi Ito

@ স্যুওশিআইটি ধন্যবাদ, কোনওভাবে আমি এটি ভুলভাবে পার্স করতে পেরেছি। এটি অবশ্যই একটি অনানুষ্ঠানিক সমস্যা - এটি

চেয়ে বেশি সুবিধা পেতে অন্য ধরণের গেট ব্যবহার করার কথা কল্পনা করতে পারে ।

2 n - 2

$2n-2$

— রায়ান উইলিয়ামস

@ সাশা, আপনি কি আগের কিছু কাগজপত্রের মতো ছোট্ট উদাহরণগুলিতে (যেমন

) স্যাট সলভার প্রয়োগ করার চেষ্টা করেছেন?

n = 4

$n=4$

— রায়ান উইলিয়ামস

@ রায়ান হ্যাঁ, অবশ্যই আমরা যা জানি তা হ'ল

। এই বই থেকে ফাংশন জন্য আছে (এটা

সব iff

ইনপুট বিট সমান)। এটি

মতো বৃদ্ধি পায় । আর আকার একটি বর্তনী

কনস্ট্রাক্ট করা সহজ: প্রথম কম্পিউট

সকলের জন্য

C_{3} = 3

$C_3=3$

C_{4} = 5

$C_4=5$

C_{5} \leq 7

$C_5 \le 7$

1

$1$

n

$n$

2 n - 3

$2n-3$

2 n - 3

$2n-3$

x_{i} \equiv x_{i + 1}

$x_i \equiv x_{i+1}$

(

গেটস) এবং তারপরে (

গেটস) এরসংমিশ্রণটি গণনা করুন।

i = 1, \dots, n - 1

$i=1,\dots,n-1$

(n - 1)

$(n-1)$

(n - 2)

$(n-2)$

— আলেকজান্ডার এস কুলিকভ

@ শুয়োশি: আমি মনে করি যে সাশার

গেট ফাংশনটি প্রশ্নের দ্বিতীয় ফাংশন (

) যা

দিয়ে তৈরি করা যেতে পারে

XNOR গেটস (প্রয়োগ

এবং)

ও দরজা XNORs প্রয়োগ করা হয়েছিল।

2 n - 3

$2n-3$

f_{n} (x) = x_{1} \dots x_{n} \lor {\bar{x}}_{1} \dots {\bar{x}}_{n}

$f_n(x) = x_1\dots x_n \lor \bar{x}_1 \dots \bar{x}_n$

n - 1

$n-1$

x_{i}, x_{i + 1}

$x_i,x_{i+1}$

n - 2

$n-2$

— মারজিও ডি বায়াসি

উত্তর:

ব্লুম অ্যান্ড সেয়েসনের এই কাগজটি কার্যকর হতে পারে:

এন.ব্লুম, এম সেসেন। AND এবং NOR এর একসাথে গণনার জন্য সমস্ত অনুকূল নেটওয়ার্কগুলির বৈশিষ্ট্য । অ্যাক্টা ইনফ। 21: 171-181 (1984)

আমি ভেবেছিলাম যে জন্য আবদ্ধ Blum & Seysen এর পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যাবে কমে, কিন্তু মনে হচ্ছে এই ঘটনা না। $x_1\dots x_n\vee \bar{x}_1\dots\bar{x}_n$ $2n-c$

— ভ্লাদিমির লাইসিকভ
সূত্র

ব্লাম এবং সেয়েসন কাগজের কোনও পাবলিক পিডিএফ সংস্করণ পাওয়া যায় কি?

— মারজিও ডি বায়াসি

@ ভ্লাদিমির, রেফারেন্সের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ! নিবন্ধটি খুঁজে বের করার সময় তাদের পদ্ধতিগুলি এই ক্ষেত্রে প্রযোজ্য কিনা তা আমি খতিয়ে দেখার চেষ্টা করব।

— আলেকজান্ডার এস কুলিকভ

@Vladimir, thans again! Actually, this paper contains exactly the answer to my question anv even more: it says that to compute AND and OR simultaneously one needs

2 n - 2

$2n-2$ and any circuit of this size computes AND and OR independently (this is interesting!). It is also not difficult to show that

C (f_{n}) \geq C (A N D, O R) - c \geq 2 n - c^{'}

$C(f_n) \ge C(AND,OR)-c \ge 2n-c'$ .

— Alexander S. Kulikov

@Sasha, yes, I missed this simple construction. To clarify things, in the paper AND and NOR functions are considered, so for AND and OR we get

2 n - 2

$2n-2$ lower bound by altering one gate and for

x_{1} \dots x_{n} \lor {\bar{x}}_{1} \dots {\bar{x}}_{n}

$x_1\dots x_n\vee \bar{x}_1\dots \bar{x}_n$ ---

2 n - 5

$2n-5$

— Vladimir Lysikov

Just a reminder @SashaK. if you like the answer, please "accept" it by clicking on the tick mark below the vote count.

— Suresh Venkat

Your question is related to the well-known question about computing the minimum and maximum of a list simultaneously using the minimum number of comparisons. In that case the answer is $3\lfloor n/2 \rfloor$ .

The clever algorithm proving the upper bound translates to an AND/OR circuit with same bound you get, since one of the comparisons computes both a minimum and a maximum.

However, the lower bound (given by an adversary argument) does seem to translate, at least in the case of monotone circuits (since an AND/OR circuit translates to a max/min algorithm). This would imply a lower bound of $3\lfloor n/2 \rfloor$ . Perhaps a tight lower bound can be obtained by analyzing the adversary argument.

The upper bound appears in "Introduction to Algorithms", where you can also find the easy argument showing that max/min comparator circuits are valid iff they work for boolean inputs (use an appropriate threshold). The lower bound can be found e.g. here.

— Yuval Filmus
সূত্র

Note in Sasha's question, all 2-bit Boolean functions can be used to construct the circuit.

— Ryan Williams

হ্যাঁ, এটি পরিষ্কার নয় যে কীভাবে নিম্ন বন্ডটি সমস্ত বাইনারি ফাংশনের ক্ষেত্রে অনুবাদ করা যায়।

— আলেকজান্ডার এস কুলিকভ