ডেব্রেউর একটি উপপাদ্যের অ্যাপ্লিকেশন / সাধারণীকরণ

Question

আমি জানতে চাই যে ডেব্রু-র পেপারের শেষ উপপাদ্যটি কীভাবে "নিকটবর্তী অর্থনৈতিক এজেন্টস" (লা ডিসিশন 171 (1969): 85-90; জি। ডেব্রেউতে পুনরায় মুদ্রিত, গাণিতিক অর্থনীতি: জেরার্ড ডেব্রেইউয়ের বিশটি পত্রিকা (1986), পৃষ্ঠা 173 -178) ব্যবহৃত হয়েছে:

উপপাদ্য। টপোলজিকাল স্পেসের জন্য$M$ এবং একটি মেট্রিক স্পেস $H$, দিন $\varphi$ থেকে একটি সেট মূল্যবান ম্যাপিং হতে $M$ প্রতি $H$ এটি কমপ্যাক্ট-মূল্যবান (যেমন $\varphi(e)$ প্রত্যেকের জন্য কমপ্যাক্ট $e \in M$) এবং অবিচ্ছিন্ন । আরও, প্রতিটি জন্য$e \in M$ দিন $\lesssim_e$মোট যেমন সেট এ বন্ধ রয়েছে। তারপর সেট মূল্যবান ম্যাপিং থেকে থেকে যেখানে$\varphi(e)$$\{(e, x, y) \in M \times H \times H : x \lesssim_e y\}$$\varphi^0$$M$$H$

$\varphi^0(e) = \{z \in \varphi(e) : x \lesssim_e z \ \ \mbox{for all} \ x \in \varphi(e)\}, \quad e \in M,$

কমপ্যাক্ট-মূল্যবান এবং উচ্চতর হেমি-অবিচ্ছিন্ন ।

নোট করুন যে উপপাদ্যটি সুপরিচিত বার্জ সর্বাধিক উপপাদ্যের সাথে অনুরূপ looks তাত্ত্বিকতার বক্তব্যের আগে, দেব্রেবু লিখেছেন যে এর বিশেষ বিষয়গুলি "অর্থনৈতিক ভারসাম্য তত্ত্ব এবং গেম তত্ত্বে বারবার ব্যবহৃত হয়েছে", তবে কোনও রেফারেন্স দেয় না; কাগজে নিজেই, এটি কোনও বিনিময় অর্থনীতিতে কোনও এজেন্টের জন্য চাহিদা চিঠিপত্রের উচ্চতর হেমি-ধারাবাহিকতা প্রমাণ করতে ব্যবহৃত হয়।

আমি এই উপপাদকের সাম্প্রতিক কোনও ব্যবহার বা জেনারালাইজেশন হয়েছে কিনা তা সম্পর্কে আমি বিশেষত আগ্রহী, যেমন ম্যাপিংগুলি যা কমপ্যাক্ট-মূল্যবান নয়।

প্রশ্নগুলি: উপরোক্ত উপপাদ্যের প্রয়োগগুলির জন্য কয়েকটি ভাল উদাহরণ এবং / অথবা উল্লেখগুলি কী কী? এটি কি ম্যাপিংগুলিতে সাধারণীকরণ হয়েছে যা কমপ্যাক্ট-মূল্যবান নয়?

Answer 1

এই ফলাফলটি বার্জের সর্বোচ্চ উপপাদ্যের একটি সংস্করণ। যদি একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন থাকে যেমন যদি হয় এবং কেবলমাত্র যদি তবে যে কেউ সরাসরি ফলাফল আনতে পারে বার্গের সর্বোচ্চ উপপাদ্য থেকে। যদি স্থানীয়ভাবে কমপ্যাক্ট হয় তবে যেমন তবে এই জাতীয় ফাংশন সর্বদা পাওয়া যায়, এটি মাস-কোলেলে প্রিওরগুলির ধারাবাহিক প্রতিনিধিত্বের থিয়েরেম 1 থেকে অনুসরণ করে (কমপক্ষে যদি মাননীয়, আমি সে বিষয়ে নিশ্চিত নই)। এই জাতীয় "যৌথভাবে ধারাবাহিক ইউটিলিটি ফাংশন" এর উপর অগ্রাধিকার ক্রমগুলির উপস্থাপনের 8 অধ্যায়ে পাওয়া যাবে$u:M\times H\to\mathbb{R}$$x\preceq_e z$$u(e,x)\leq u(e,z)$$H$$H=\mathbb{R}^n$$M$, 1995, ব্রিজ এবং মেহতা দ্বারা।

এখন দেব্রুয়ের তেমন কোনও ফল পাওয়া যায় নি, তাই তিনি অগ্রাধিকারের সম্পর্কের সাথে কাজ করেছিলেন এবং বার্গের সর্বোচ্চ উপপাদ্যকে (জেনারালাইজেশনটি ম্যাথমেটিক সোজা) সাধারণভাবে পুনঃপ্রবিষ্ট করেছিলেন। কেন সে এমন করল? এটি বোঝার জন্য, আমাদের ডেব্রুয়ের কাগজের মূল বিষয়টি বুঝতে হবে, যা প্রাকৃতিক বৈশিষ্ট্যযুক্ত এবং অর্থনৈতিক আচরণকে অবিচ্ছিন্ন করে তোলে এমন পছন্দের সম্পর্কের বিষয়ে একটি টপোলজি সন্ধান করছে। এজেন্টগুলির ধারাবাহিকতা সহ অর্থনীতিতে সাহিত্যের থেকে এ জাতীয় ফলাফলের প্রয়োজন আসে।

এর অর্থ কী যে এজেন্টদের অর্থনীতির ধারাবাহিকতা সীমাবদ্ধ eonomies এর ক্রম সীমাবদ্ধ? একটি উত্তর হ'ল এজেন্টদের বৈশিষ্ট্যের উপর বন্টন ধারাবাহিক অর্থনীতিতে বৈশিষ্ট্যগুলির বন্টনে রূপান্তরিত হয়, সুতরাং অভিব্যক্তির ধারণাটি বিতরণে রূপান্তর হয়। এই ধারণাটি কার্যকর করতে, এজেন্টগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি টপোলজাইজ করা প্রয়োজন। এখন একজন এজেন্ট তার এন্ডোয়মেন্ট এবং তার পছন্দগুলি (এবং আরও সাধারণ মডেলগুলিতে তার ব্যবহারের সেট দ্বারা) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এন্ডোমেন্টস, ইউক্লিডিয়ান টপোলজি সম্পর্কিত একটি প্রাকৃতিক টপোলজি রয়েছে তবে অগ্রাধিকারগুলি টপোলজাইজ করার পক্ষে সহজ সরল নয় এবং দেবারু তাঁর কাগজে এটি করেছিলেন। এই বিতরণীয় পদ্ধতির একটি প্রদর্শন একটি বড় অর্থনীতির হিলডেনব্র্যান্ড 1974, কোর এবং ভারসাম্যহীনতায় পাওয়া যাবে ।

এখন, এমন কেস রয়েছে যেখানে পছন্দগুলির অ-কমপ্যাক্ট সেটগুলির জন্য কেউ বার্গের উপপাদ্য প্রয়োগ করতে চান। অসীম মাত্রিক পণ্য স্পেস সহ অর্থনীতিগুলি অধ্যয়ন করার সময় এটি গুরুত্বপূর্ণ হতে পারে, যেখানে বন্ধ এবং আবদ্ধ থাকা সংক্ষিপ্ততা বোঝায় না। এই সমস্যার সাথে মোকাবিলা করার একটি উপায় হ'ল একটি কমপ্যাক্ট সেট সন্ধান করা যাতে এই সেটে সীমাবদ্ধ থাকাকালীন চিঠিপত্রটি কমপ্যাক্ট-মূল্যবান এবং অমানবিক-মূল্যবান হয়। "জেনারালাইজড গেমস" বা "অ্যাবস্ট্রাক্ট ইকোনমিগুলি" (মূলত নরমালফর্ম গেমস যেখানে কৌশলগুলির স্থান অন্যের ক্রিয়াগুলির উপর নির্ভর করে) এর উপর একটি বৃহত, খুব প্রযুক্তিগত, সাহিত্য রয়েছে, এবং এগুলিতে প্রায়শই বার্গের উপপাদ্যটির অ-সংক্ষিপ্ত সাধারণকরণ থাকে। আপনি যদি বইটিতে হাত পেতে পারেন তবে জিয়ান-জি ইউয়ান 1999 এর 4 য় অধ্যায়, কেকেএম থিওরি এবং ননলাইনার বিশ্লেষণে অ্যাপ্লিকেশনগুলি দেখুন। তবে আমার ধারণাটি হ'ল এই ফলাফলগুলি অর্থনৈতিক প্রয়োগগুলিতে তেমন কার্যকর ছিল না। অসীম মাত্রিক পণ্য স্পেস সহ মডেলগুলিতে ওয়ালরাসিয়ান ভারসাম্যের অস্তিত্ব প্রমাণ করতে, একজন সাধারণত বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করেন।