বহু ভেরিয়েবলের মধ্যে সংখ্যাসূচক সংহতকরণ

এবং Let যাক Let এই ভেরিয়েবলগুলিতে একটি ফাংশন হতে হবে। $\vec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in [0,1]^n$ $f(\vec{x}): [0,1]^n \to \mathbb{C}$

এই পুনরাবৃত্ত ইন্টিগ্রালের জন্য কি কোনও পুনরাবৃত্তি পরিকল্পনা আছে?

\int_{[0, 1]^{n}} \prod d x_{i} f (\vec{x})

$\int_{[0,1]^n} \prod dx_i \;f(\vec{x})$

যদি এবং আমি কে 100 টি ভাগে বিভক্ত করে, আমাদের যোগ করার জন্য পয়েন্ট রয়েছে। একটি স্মার্ট উপায় থাকতে হবে। $n = 10$ $[0,1]$ $10^{20}$

আসলে, আমি যে ফাংশনটি সংহত করতে চাই তা হ'ল ইউনিটরি গ্রুপের হার পরিমাপ ।

\int_{U (n)} f (A) d A = \frac{1}{n!} \int_{[0, 2 π]^{n}} \prod_{j < k} | e^{i θ_{j}} - e^{i θ_{k}} |^{2} \cdot f (θ_{1}, \dots, θ_{n}) \frac{d θ_{1}}{2 π} \dots \frac{d θ_{n}}{2 π}

$\int_{U(n)} f(A) \ dA = \frac{1}{n!} \int_{[0,2\pi]^n} \prod_{j<k} \big|e^{i \theta_j} - e^{i \theta_k}\big|^2 \cdot f(\theta_1, \ldots, \theta_n) \ \frac{d \theta_1}{2\pi} \ \cdots \ \frac{d \theta_n}{2\pi}$

numerical-analysis fourier-analysis

— জন ম্যাঙ্গুয়াল
সূত্র

যদি আপনার মাত্রাটি খুব বড় না হয় তবে আপনি নিজের অবিচ্ছেদের জন্য বিচ্ছিন্ন চতুর্ভুজ পদ্ধতি বিবেচনা করতে পারেন।

— পল

@ পল আপনি একটি উত্তরে এই বিষয়টি আরও ব্যাখ্যা করতে পারেন? আমি সম্ভবত ভোট

— দেব

উত্তর:

অনেকগুলি ভেরিয়েবলের সাথে সংহত করার জন্য, মন্টি কার্লো পদ্ধতিটি সাধারণত একটি শালীন ফিট। এর ত্রুটি হ'ল হিসাবে হ্রাস পায় যেখানে N নির্বাচিত সমীকরণ পয়েন্টের সংখ্যা। অবশ্যই এটি নিম্ন মাত্রার (1 ডি এবং 2 ডি) জায়গাগুলির জন্য ভাল নয় যেখানে হাই অর্ডার পদ্ধতি রয়েছে। এর মধ্যে বেশিরভাগ নির্বিচারক পদ্ধতি উচ্চতর মাত্রায় একটি বৃহত সংখ্যক পয়েন্ট গ্রহণ করে। উদাহরণস্বরূপ, 1 ম অর্ডার 1 ডি স্কিমটি 2 ডি তে এবং 3 ডি তে ও । মন্টি কার্লো পদ্ধতির শক্তিটি হ'ল ত্রুটি রূপান্তরটি স্থানের মাত্রা থেকে পৃথক। আপনার স্থান 1D বা 100D হোক না কেন, এটি । $O (\sqrt{N})$ $O(\sqrt{N})$ $O(N^{\frac{1}{4}})$ $O (\sqrt{N})$

যেহেতু এটি সম্ভাবনাময়, তবে আপনাকে একটি মানক বিচ্যুতি এবং আপনার ত্রুটির একটি প্রাক্কলন সনাক্ত করতে আপনাকে একাধিক বার পয়েন্টের সংহত করতে হবে it

— গড্রিক সের
সূত্র

সংহতকরণের জন্য, কোবেস-মন্টে-কার্লো ব্যবহার, উদাহরণস্বরূপ সোবেল সিকোয়েন্সগুলি ব্যবহার করা কিছুটা ভাল।

— লুৎজ লেহমান

আহা, হ্যাঁ, আমি ইক্যুই-ডিস্ট্রিবিউট পয়েন্টগুলি (সিউডো-এলোমেলো ওভার) বলেছি তবে স্পষ্টভাবে উভয়ের মধ্যে পার্থক্য নেই।

— গর্ড্রিক সের

@ গড্রিকসির দেখে মনে হচ্ছে সোবোল সিকোয়েন্সগুলি একটি উচ্চতর মাত্রায় এমনকি একটি সমানভাবে ব্যবধানযুক্ত জাল তৈরি করবে। দেখে মনে হচ্ছে তিনি একই প্রশ্নের সমাধান করছেন: খুব দ্রুত খুব দ্রুত। ধূসর কোড এবং তাত্পর্য সমস্যা বলে মনে হচ্ছে।

\frac{1}{n} \sum f (x_{i}) \approx \int_{[0, 1]^{n}} f d x

$\frac{1}{n} \sum f(x_i) \approx \int_{[0,1]^n} f \ dx$

— জন ম্যাঙ্গুয়াল

হ্যাঁ, সোবোল পর্যায় পয়েন্টগুলির একটি ভাল বিতরণ তৈরি করবে। আপনার সমস্যাটির জন্য কোসিটি-মন্টে-কার্লো সম্ভবত একটি সর্বোত্তম পদ্ধতি।

— গড্রিক সের

স্পার্স গ্রিড চতুর্ভুজ উচ্চতর মাত্রায় একীভূত করার একটি বিকল্প পদ্ধতি approach

চতুর্ভুজ নির্দিষ্ট "অনুকূল" পয়েন্টগুলিতে ফাংশন মানগুলির একটি ভারিত সমষ্টি মূল্যায়নের উপর নির্ভর করে। Ditionতিহ্যবাহী চতুর্ভুজ উচ্চ মাত্রায় টেনসর পণ্য গ্রিড নির্মাণ ব্যবহার করে, যার অর্থ হল মাত্রা বৃদ্ধি পাওয়ার সাথে সাথে আপনাকে ক্রমবর্ধমান পয়েন্টগুলির ক্রিয়াকলাপটি মূল্যায়ন করতে হবে।

গ্রিড চতুর্ভুজ ছড়িয়ে দেওয়ার কৌশলটি হ'ল আপনি টেনসর পণ্য গ্রিডের একটি ছোট উপসেট ব্যবহার করে একই ক্রমের যথার্থতা (অ্যাসিপটোটিক অর্থে) পেতে পারেন। আপনি যে বিরল পয়েন্টগুলি বেছে নিয়েছেন সেগুলি শেষ পর্যন্ত সেইগুলি যা সঠিকভাবে একটি কাঙ্ক্ষিত মোট ডিগ্রি পর্যন্ত মনোমালিকে সংহত করে । মাত্রা বৃদ্ধি পাওয়ার সাথে সাথে গণনাগত সঞ্চয় (টেনসর পণ্য গ্রিডের তুলনায়) উল্লেখযোগ্য পরিমাণে বৃদ্ধি পায়।

তবে এই পদ্ধতির অপূর্ণতা রয়েছে যা আপনার সচেতন হওয়া উচিত।

আপনার ফাংশনটি মসৃণ না হলে (বা অন্যথায় বহুপদী ফাংশনগুলির দ্বারা ভালভাবে অনুমানযোগ্য নয়) এই পদ্ধতিটি ভালভাবে কাজ করে না।
স্পার্স গ্রিড চতুর্ভুজগুলির নির্ভুলতার ক্রমটি একটি সেন্সর পণ্য গ্রিডের সমতুল্য হলেও আপেক্ষিক যথার্থতা আরও খারাপ হতে পারে। এটি কারণ স্পারস গ্রিডের যথাযথতার ক্রমের সামনে ধ্রুবকটি খুব বড় হতে পারে।
তুলনামূলকভাবে ছোট মাত্রার জন্য বিচ্ছিন্ন গ্রিডগুলি ভালভাবে কাজ করে। তবে একটি মাত্রা আসে যার পরে আপনি সম্ভবত অন্য কোনও পদ্ধতি (মন্টি কার্লো বা এর রূপগুলির মতো) ব্যবহার করে আরও ভাল হয়ে উঠতে পারেন।

বিরল গ্রিড সম্পর্কিত আরও তথ্যের জন্য, আমি উচ্চ মাত্রায় বুর্কার্ডের স্পার্স গ্রিডগুলির প্রস্তাব দিই । আপনি যদি স্পার্স গ্রিড উত্পন্ন করার কোডটিতে আগ্রহী হন তবে আপনি এই ম্যাটলব ফাইলগুলি বিবেচনা করতে পারেন ।

— পল
সূত্র