কিউবিক ইজেনভ্যালু সমস্যার জন্য জ্যাকোবি-ডেভিডসন পদ্ধতি বাস্তবায়ন

Question

আমার একটি বড় কিউবিক ইগুভ্যালু সমস্যা রয়েছে:

$$\left(\mathbf{A}_0 + \lambda\mathbf{A}_1 + \lambda^2\mathbf{A}_2 + \lambda^3\mathbf{A}_3\right)\mathbf{x} = 0.$$

আমি লিনিয়ার ইগেনুয়ালু সমস্যায় রূপান্তর করে এটিকে সমাধান করতে পারতাম তবে এটির ফলে কোনও সিস্টেম তৈরি হবে $3^2$ বৃহত্তর:

$$\begin{bmatrix} -\mathbf{A}_0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} \mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_2 & \mathbf{A}_3 \\ \mathbf{I} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix},$$

কোথায় $\mathbf{y} = \lambda\mathbf{x}$ এবং $\mathbf{z} = \lambda\mathbf{y}$। কিউবিক ইগেনভ্যালু সমস্যা সমাধানের জন্য আর কোন কৌশল উপলব্ধ? আমি শুনেছি জ্যাকোবি-ডেভিডসনের একটি সংস্করণ রয়েছে যা এটি সমাধান করবে তবে বাস্তবায়ন পাই নি।

এছাড়াও, আমার কাছে এআরপ্যাকের শিফট-ইনভার্ট পদ্ধতির অনুরূপ নির্দিষ্ট ইগন্যালুয়েসগুলি লক্ষ্য করতে এবং সম্পর্কিত আইজেনভেেক্টরগুলি সন্ধান করা দরকার।

Comments

জড়িত ম্যাট্রিকগুলির মাত্রা কী কী?

— বিল বার্থ

$\mathbf{A}_i$ অর্ডার হয় $10000\times 10000$। আমার এই সমস্যার দুটি আলাদা ফর্মুলেশন রয়েছে, যার মধ্যে একটি$\mathbf{A}_i$ঘন এবং অন্যটিতে এটি বিরল।

— ওএসই

এসএলইপিসিতে চতুষ্কোচিত ইগোভ্যালু সমস্যা এবং ননলাইনার ইগেনুয়ালু সমস্যাগুলির জন্য রুটিন রয়েছে, সুতরাং সেখানে আপনার যা প্রয়োজন তা আপনি খুঁজে পেতে সক্ষম হতে পারেন। এতে শিফট-ইনভার্ট সুবিধা রয়েছে এবং এটি এআরপ্যাকের একটি ইন্টারফেসও রয়েছে।

— জেফ অক্সবেরি

Answer 1

এআরপ্যাকের বিপরীত যোগাযোগ প্রোটোকল সহ, আপনার এটি সঞ্চয় করার দরকার নেই $3n \times 3n$ ম্যাট্রিক্স স্পষ্টত: আপনাকে কেবল দুটি ফাংশন সরবরাহ করতে হবে যা গণনা করতে হবে:

$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} -A_0 x \\ y \\ z \end{array}\right]$ এবং $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} A_1 x + A_2 y + A_3 z \\ y \\ z \end{array}\right]$

(আপনি এখনও স্টোরের মূল্য প্রদান করেন $3\times n$-মাত্রিক ভেক্টর কিন্তু আপনি ম্যাট্রিকগুলির জন্য কোনও অর্থ প্রদান করেন না)।

ইনভার্ট ট্রান্সফর্ম সম্পর্কে, আপনি একই কাজ করতে পারেন, অর্থাৎ এটি কল করে এমন কলব্যাক ব্যবহার করে নিজেকে প্রয়োগ করুন $x \mapsto M^{-1} x$ পরিবর্তে $x \mapsto M x$ এবং গণিত প্রতিস্থাপন $\lambda's$ সঙ্গে $\lambda^{-1}$। গনা$M^{-1}x$, আপনি আপনার ম্যাট্রিক্স প্রাক-ফ্যাক্টর করতে পারেন $M$যার অর্থ কেবল প্রাক-ফ্যাক্টরিং $A_0$(ম্যাট্রিক্সের কাঠামোর উপর নির্ভর করে LU, Cholesky বা সেগুলির স্পার সংস্করণ ব্যবহার করে)। সম্পূর্ণ শিফট-ইনভার্ট ট্রান্সফর্মের জন্য, আমি মনে করি যে অনুরূপ কিছু করা যেতে পারে।