ক্ষুদ্র নির্ধারক কী ম্যাট্রিক্সের অসুস্থতা বোঝায়?

আমার কাছে যদি স্কোয়ার ইনভারটিয়েবল ম্যাট্রিক্স থাকে এবং আমি এর নির্ধারক গ্রহণ করি এবং আমি দেখতে পাই যে , এটি কি বোঝায় যে ম্যাট্রিক্সটি খারাপভাবে কন্ডিশনড নয়? $\det(A) \approx 0$

কথাটি কি সত্য? কোনও শর্তসাপেক্ষিত ম্যাট্রিক্সের প্রায় শূন্য নির্ধারক থাকে?

অক্টাভেতে আমি যা চেষ্টা করেছি তা এখানে:

a = rand(4,4);
det(a) %0.008
cond(a)%125
a(:,4) = 1*a(:,1) + 2*a(:,2) = 0.000000001*ones(4,1);
det(a)%1.8E-11
cond(a)%3.46E10

linear-algebra condition-number

— আইনগত অনুসন্ধান
সূত্র

নির্ধারকটি দেখায় যে কোনও ম্যাট্রিক্স নিয়মিত বা একক আছে। এটি সুস্থ- বা শর্তযুক্ত কিনা তা দেখায় না।

— অ্যালান পি। ইঞ্জিগ-কারুপ

নির্ধারক মাত্রার প্রতিফলিত নাও করতে পারেন মন্দ কন্ডিশনার:

κ (A) = κ (A^{- 1})

$\kappa(A)=\kappa(A^{-1})$ কিন্তু

det (A^{- 1}) = (det A)^{- 1}

$\det (A^{-1})=(\det A)^{-1}$ ।

— ফালিচিক

সেখানে একটা হওয়া উচিত

\approx

$\approx$ বা

\neq

$\ne$ কোথাও?

— 16:20

: আপনি ফ্লোটিং পয়েন্ট ম্যাট্রিক্স বর্ণালীতে উপর গণিত প্রভাব সম্পর্কে আরো জানতে আগ্রহী থাকেন, তাহলে আপনি নিক Trefethen এর বই পরীক্ষা করা উচিত স্পেক্ট্রা এবং Pseudospectra: Nonnormal ম্যাট্রিক্স এবং অপারেটর আচরণ এবং Pseudospectra গেটওয়ে ।

— অরন আহমদিয়া

উত্তর:

এটি শর্ত সংখ্যার $\kappa(\mathbf A)$ এর বিশালতা যা নির্জনতার নিকটত্বকে পরিমাপ করে, নির্ধারকের সংকীর্ণতা নয়।

উদাহরণস্বরূপ, তির্যক ম্যাট্রিক্স $10^{-50} \mathbf I$ ক্ষুদ্র নির্ধারক রয়েছে, তবে এটি ।

ফ্লিপ দিকে, আলেকজান্ডার অস্ট্রোস্কির (এবং জিম উইলকিনসন দ্বারা পড়াশোনা করা) কারণে স্কয়ার উচ্চতর ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিকগুলির নিম্নলিখিত পরিবারটি বিবেচনা করুন :

U = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & 2 \\ 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & 2 \\ 1 \end{matrix})

$\mathbf U=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&2\\&1&\ddots&\vdots\\&&\ddots&2\\&&&1\end{pmatrix}$

এর নির্ধারক ম্যাট্রিক্স সর্বদা কিন্তু ক্ষুদ্রতম একবচন মান বৃহত্তম অনুপাত (অর্থাত 2-আদর্শ অবস্থার সংখ্যা ) ওস্ট্রোস্কি দ্বারা equal এর সমান দেখানো হয়েছিল , যা বাড়তি জন্য বাড়তে দেখা যায় । $n\times n$ $\mathbf U$ $1$ $\kappa_2(\mathbf U)=\dfrac{\sigma_1}{\sigma_n}$ $\cot^2\dfrac{\pi}{4n}$ $n$

— জে এম
সূত্র

@ নুনক্সিক: অবশ্যই না; আমি বিশদ প্রবর্তন করার আগে, আপনি ইতিমধ্যে একক মান পচন সঙ্গে পরিচিত?

— জেএম

খুব ভালো. সব thats আপনাকে জানতে হবে. ধারণাটি হ'ল কন্ডিশনার সম্পর্কিত খুব গুরুত্বপূর্ণ তথ্যটি কেন্দ্রীভূত হয় । বিশেষত, আপনি ম্যাট্রিক্সের ত্রিভুজের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মানের সন্ধান করতে চান (মনে রাখবেন যে পচনটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যে এর তির্যক এন্ট্রিগুলি ননএজেক্টিভ রয়েছে)। সবচেয়ে ছোটের তির্যক এন্ট্রিটির অনুপাত হ'ল শর্ত সংখ্যা । আপনি যে কন্ডিশন সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত হবেন তা নির্ভর করে আপনার যে মেশিনটি কাজ করছেন তার উপর ...

Σ

$\mathbf \Sigma$

Σ

$\mathbf \Sigma$

κ

$\kappa$

— জেএম

... কিন্তু সাধারণভাবে যখন যে ম্যাট্রিক্স সঙ্গে রৈখিক সমীকরণ সমাধানে, আপনি হারান দাঁড়ানো base- আপনার সমাধান ডিজিটের। এটি শর্ত সংখ্যার জন্য থাম্বের মোটামুটি নিয়ম; সুতরাং আপনি যদি কেবল ১ সংখ্যার সাথে কাজ করছেন, তবে of একটি উদ্বেগের কারণ হতে হবে।

\approx \log_{b} κ

$\approx \log_b \kappa$

b

$b$

κ

$\kappa$

10^{1} 3

$10^13$

— জেএম

হ্যাঁ, তবে এটি শর্ত নম্বর নির্ধারণের জন্য প্রস্তাবিত পদ্ধতি নয় (যার ব্যাখ্যা অন্য প্রশ্নের জন্য)। আমি অনুমান করি আপনি কীভাবে একটি তির্যক ম্যাট্রিক্সটি উল্টাতে পারবেন, না?

— জেএম

"নিবন্ধ। অঙ্কের ক্ষতি, আপনি কি আমাকে এর জন্য একটি রেফারেন্স দিতে পারেন?" - আমি পারলাম, তবে এটি সেই জিনিসগুলির মধ্যে একটি যা আপনার নিজেরাই শক্তিবৃদ্ধির জন্য একটি কম্পিউটিং পরিবেশে পরীক্ষা করা উচিত।

— জেএম

হিসাবে , নির্ধারক ইচ্ছামত বড় বা সহজ rescaling (যা শর্ত নম্বর পরিবর্তন করে না) দ্বারা ছোট করা যেতে পারে। বিশেষত উচ্চ মাত্রায় এমনকি 2 এর নিরীহ গুণক দ্বারা স্কেলিংও নির্ধারককে বিশাল পরিমাণে পরিবর্তন করে। $\det(kA)=k^n\det A$

সুতরাং একাকীত্বের অবস্থা বা ঘনিষ্ঠতা নির্ধারণের জন্য নির্ধারকটিকে কখনই ব্যবহার করবেন না।

অন্যদিকে, প্রায় সমস্ত উত্থাপিত সংখ্যাসূচক সমস্যার জন্য, পরিস্থিতিটি একাকীত্বের সাথে দূরত্বের সাথে নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত, সমস্যাটিকে অসুবিধাগ্রস্ত করার জন্য ক্ষুদ্রতম আপেক্ষিক ক্ষতিকারক অর্থে। বিশেষত, এটি লিনিয়ার সিস্টেমগুলির জন্য ধারণ করে।

— আর্নল্ড নিউমায়ার
সূত্র